THÉORIE ANALYTIQUE DE LA LIGNE DROITE

&4. Théorème. Lorsque les coordonnées cTunpoinê mobile M, vérifiant constamment F équation du premier degrés en x et y y

(i) Ax-hEy-hC^o,

Ce point M se meut sur une ligne droite.

Cette proposition est évidente lorsque Tun des coefficients A^ ou B9 est nul. Mais prenons le cas général ; supposons A p:f o et B pf 0^ et soient :

trois solutions différentes de Téquation (1). Nous allons montrer que les points correspondants M^, M., M„ sont placés en ligne droite.

Fig. 36.

Des relations

Ax, -H By, -f- C z: o, Aj?. + By. -h C 1= o, Aj?, 4- By, + C zz o ;

OD déduit :

et,

A (a:, — ii;,)-|- B (y, — y,) = o.

On a donc^ puisque A et B sont différents de zéro,

iC^ *■" M/| *^% ~~* **'•

y. — yi^'yi — yi'

Les deux triangles M,PM, , M,QM, sont donc semblables, comme ayant un angle égal, compris entre côtés proportionnels. Ainsi les angles M,MjP| M,M,Q sont égaux et ceci prouve que les trois points M,, M,; M» sont en ligne droite.

En supposant B;zf o^ réqualion(i) détermine y y quand on donne à la variable x une valeur arbitraire. Il y a donc une infinité de solutions réelles pour l'équation (i), et toutes ces solutions donnent des points qui, d'après ce que nous venons de montrer, sont placés sur une droite bien déterminée, droite qui joint les deux points qui correspondent à deux solutions particulières de Téqualion donnée.

&&. Théitrème. Lorsqu'un point est mobile sur une droite donnée, ses coordonnées sont des nombres variables^ qui véri^ fient constamment une équation du premier degré :

AiPH-By-hCno.

Fig. 37.

Cette proposition est évidente lorsque le point est supposé mobile sur une droite parallèle à l'un des axes de coordonnées.

Considérons le cas général, celui où la droite donnée A n'est parallèle ni à Ox, ni à Oy. Supposons qu'elle soit déterminée par deux points M, et M, et soit M un point quelconque de A ; Xy y désignant ses coordonnnées^ les triangles semblables M,PM„ M.QM, donnent :

a^f — a?, y,— y, x — x^ y—y^' ou,

Cette relation est générale, c'est-à-dire qu'elle est vérifiée, quelle que soit la position du point M, sur A. On remarquera d'ailleurs que les coefficients d'à; et d'y sont différents de zéro

puisque Ton suppose que A n'est parallèle ni à Oa?, ni à Oy. &6. Différentes formes de l'équation d*ane droite.

Nous venons de voir que les coordonnées d'un point mobile sur une droite vérifiaient constamment l'équation :

(i) AaJH-By-hCrro,

que nous nommerons équation générale de la droite.

En faisant usage de la notation abrégée^ nous la représenterons aussi quelquefois par :

(2) U:=o; en supposant^

U = Air-hBy-hC.

Mais il existe encore pour l'équation, d'une droite, d'autres formes que nous emploierons fréquemment et que nous établirons ici.

l'« Forme. Supposons que l'on ait B^ifo, l'équation (i) peut être écrite ainsi :

En posant

LA luîne droite

on a.

(3) y — mx -h n.

Celle équalion représente loutes les droiles du plan,exceplé celles qui sonl parallèles à oy,

^ Forme. Supposons que A, B, C^ soient différents de zéro. L'équalion (i) peut alors se mellre sous la forme suivanle :

ou,

en posanl,

Dans la formule (4), p ^iq désignent des quanlités qui ne sonl ni nulles, ni infinies.

Fig. 38.

Si la droite donnée A rencontre l'axe Oj;au point P, et Taxe Oy au point Q, on remarquera que Ton a :

OP-i), OQ-7.

t>E L. Tout H.

On peut d'ailleurs établir directement Téquation (4) en remarquant que Ton a :

a: __ MQ y MP

mais MP -j- MQ — PQ, et Ton trouve, finalement :

Cette formule est d'ailleurs générale ; elle est vérifiée par les coordonnées du point M, quelle que soit la position de ce point sur la droite donnée.

La forme (4) représente toutes les droites du plan, excepté celles qui passent par Torigine.

3^ Forme. Abaissons de Torigine une perpendiculaire OH

sur la droite A ; posons OU zi ^ et projetons sur OH le contour brisé OAMH ; nous avons, par une formule connue,

(5) X cos 3f 4- y cos (0 — a) — h.

Cette équation est d'ailleurs vérifiée par les coordonnées du point M, quelle que soit la position de ce point sur A ; c'est une nouvelle forme de Téquation de la droite.

On peut remarquer que, dans le cas où les axes donnés sont rectangulaires, cette équalion prend la forme suivante :

(5') X cos a -h y sin a — h,

SV. Définition du coefficient angulaire. Lorsque Téquation d'une droite est mise sous la forme :

y zzmx'hn,

nous dirons que m est le coefficient angulaire de la droite. Pour justifier cette dénomination, nous allons montrer que la valeur de ce paramètre détermine la direction de la droite.

Disons d'abord comment nous fixerons la direction positive d'une droite A. Lorsque A est parallèle à Tun des axes de coordonnées, sa direction positive est celle de Taxe même auquel elle est supposée être parallèle. Si A est une droite quelconque, elle coupe l'axe Ox en un point A, et nous prendrons pour direction positive de AA' celle de la semidroite, qui a pour extrémité le point A, et qui est située dans la même région du plan, par rapport à xaf^ que la semidroite Oy.

Cette convention étant faite, l'inclinaison d'une droite A avec XX' est l'angle a, angle bien déterminé, que fait la direction positive de A avec la semi-droite Ox.

Si nous cherchons les points d'intersection de la droite A avec les axes, nous avons :

OBnw, fct OAzz— ^.

Nous cherchons rn^o ; si m était nul, la droite A serait pa* rallèle à Oa;, son équation se réduisant à la forme y = n, on aurait donc, dans ce cas, a r: o.

Hevenons au cas général. Le triangle OAB donne la relation :

OB sin a

OA sin (0 — x)

(ji<

Sur la figure, OB représente une quantité négative ; il faut donc observer que, dans la relation précédente, qui a lieu pour les valeurs absolues des lignes OA et OB, Ton doit remplacer OB par — n. Ainsi, Ton a :

sin a

7Hrz

sin ( 0 — X)

Fig. .Jo.

On déduit de celte relation,

(A) tga-

wi sin ô

1 + wi cos 0

Si Ton suppose que la valeur de m soit donnée, cette formule délermine, entre o et ?:, un certain angle ; cet angle est bien déterminé et Texpression de coefficient angulaire^ que nous avons appliquée au paramètre m, se trouve ainsi expliquée.

&8. Droites parallèles. Il résulte de ce qui précède que si deux droites sont parallèles, leurs coefficients angulaires sont égaux, et réciproquement.

Si Ton considère une droite passant par Torlgine et dont le coefficient angulaire soit égal à m; son équation est :

y zz mx.

Toute droite parallèle à celle-ci a donc pour équation,

et, quand on suppose que X varie, cette équation représente toutes les droites parallèles à la dii'ection donnée.

59. Droites perpendiculaires. Lorsque deux droites A, à' sont perpendiculaires, les angles a et a', formés par leurs directions positives, avec Oo;, vérifient la relation :

On sait d'ailleurs que,

*„/ /\__ tira — tga'

1 + Ig a Ig y

On a donc, dans le cas particulier qui nous occupo,