h tga tg a' zz
Désignons par m et m' les coefficients angulaires de A et de A', la formule (A) donne :
Il +- m cos ô) (i -h m' cos 6) -h mm' sin '0 zz o, ou,
(B) 1 -h (m H- m') cos 0 -+- mm' = o.
C'est la condition de perpendicularilé de deux droites ; cette condition est d'ailleurs nécessaire et suffisante.
On doit remarquer que dans le cas où les axes sont rectan- (fulaires, les coefficients angulaires de deux directions rectangulaires ont un produit égal à — i .
GO. Angola de deux directions. Soient deux droites A, A'y ayant pour équation, respectivement,
(i) ax + by-hczizo, (2) a'x + b'y + c' := 0.
Menons par l'origine deux semi-droites 8, S', parallèles aux directions positives de A et de A' et désignons par V l'angle de ces deux semi-droites, angle qui est bien déterminé.
Lorsque la semi-droite Ox tourne, dans le sens positif, autour de Torigine, elle vient coïncider successivement avec les semi-droites î, 8' ; nous supposerons qu'elle rencontre d'abord 8', puis 8.
Dans ces conditions, on a toujours,
Vzza — a', et, par conséquent,
tgV=:
tgg— tga^ 1 -f- ts? a t<? a'
Les équations (1) et (2) donnent d'ailleurs, pour les coefficients angulaires des droites A, A' :
mzn — -, m'— -7-, 0 b'
On a donc ;
— ^sinO ^ , — a'sînO ^g* = 7 T. tga' =
b — a cos 0 b* — a' cos 0 '
et, finalement,
(G) tgv= (tniz^^nml .
aa'-h bb' - {ab* H- ba') cos 6
En appliquant cette formule, ou doit observer que le coefficient a' désigne le coefficient du terme en or, dans Téquation de celle des deux droites données qui fait, avec la semi-droite Oa;, le plus petit angle.
Si les directions proposées sont celles des deux droites qui correspondent à Téquation :
en appliquant la formule (C), puis en tenant compte de Tiden-
lité:
{ax + by) {a'x + h'y) == Arc* -i- A'y* 4- ^B^icy, on trouve
. „ ^2sinev/B"*— AA' tff V m ~ti
® ' ' AH-A'— 2B"cosO'
Remarque I. Il résulte de cette formule que si Ton veut exprimer que Téquation :
kx" + ti!y* -I- TB'^xy n o,
représente deux droites rectangulaires, on écrira la relation suivante :
A+A'— aB^cosOno.
Remarque II. Lorsqu*on cherche à exprimer que deux droites ont des directions rectangulaires, on peut appliquer Tégalité (B), si les coefficients angulaires sont en évidence. Dans le cas contraire, on emploie la condilion :
AA' "h BB' — (AB' -f- BA') cos 6 = o,
qui découle, soit de la formule (C), soit de la relation (B), lorsqu'on remplace, dans celle-ci, m et m', respectivement A , A'
61. Droite passant par an point x' ,y\ L'équation générale des droites étant prise sous la forme :
Aa;-l-By + C:=o,
si Ton exprime que cette équation est vérifiée par xz- x' y = y', ona :
Aoî' + By'+Cizo,
et, par suite,
C'est réqualion générale des droites passant par le point dont les coordonnées sont a;' et y\
Remarque. Lorsque le point donné est déterminé par Tintersection de deux droites correspondant aux équations Pzro, Qzio, réqualion générale des droites passant par le point commun est aP 4- PQ i= o ; a et P étant arbitraires.
Cette formule, facile à vérifier, s'applique encore au cas particulier où le point est à Tinfini, ce qui arrive lorsque les droites proposées sont parallèles.
09. Droite passant par deux points a;', 2^' ; o:'',^''. L'équation générale des droites passant par le premier point est, comme nous venons de le montrer :
\{x— x^)-hB{y — y) = a.
Exprimons que celte équation admet la solution : a; zz ar" yz=y\ nous avons :
Les coefficients A et B n'étant pas nuls, à la fois, nous avons donc :
T'" r-' ti'f *«'
Cette relation donne :
ou encore,
De ces deux égalités, on peut encore déduire la suivante
LA Ur.NE DROITE
G3« Points en li|i;ae droite. Il résulte de ces formules que si les trois points a?', y' ; x", y"; a;'', y'' ; sont en ligne droite, on a la relation :
Réciproquement , si cette égalité a lieu^ les trois points considérés sont en ligne droite.
Mais on peut établir plus directement cette condition et la donner sous une forme plus symétrique, comme nous allons le montrer.
Soit :
Ax-hBy-hCzro,
réquationde la droite qui passe par les trois points donnés. Nous avons donc :
Ax' + By' 4- C - o, \x' -hBy'-hCzz «», Aa;'^4-By*'H-Crro.
Nous pouvons considérer ces équations comme étant linéaires et homogènes, par rapport aux lettres A, B, C ; elles sont d'ailleurs vérifiées par des valeurs de A, B et C, qui ne sont pas toutes nulles, et nous avons (Alg., g 105),
Cest, sous une autre forme, la relation (1).
64. Scoriacé du triangle x' , y' ; x" , y" ; x^ , y"", La condition que nous venons de trouver et qui exprime que trois points donnés sont en ligne droite, est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. Nous allons, à cet effet, démontrer que la surface S, du triangle formé par les trois points o:', y' ; x" .y*' •.x'^^y" ; est donnée par la formule :
S -r — - sin 0 'À
Soient M', M* , M" les points donnés^ on a ;
el, par conséquent,
sinO En développant les calculs, on trouve :
aS sinO
Fig. 4i.
ou, enfin,
(M) S 3:-- SinO
Cette formule est générale, elle est vérifiée parles coordonnées de trois points quelconques pris dans le plan yOx ; il faut pourtant, pour éviter l'ambiguïté du signe, convenir que si l'on imagine le cercle circonscrit au triangle M% M', M"*, puis un mobile parcourant cette circonférence, dans le sens des ai* guilles d'une montre, et partant du point dont les coordonnées sont désignées par x'yy'; on prendra pour a;', y* les coordonnées du point qui sera rencontré, le premier, par ce mobile.
65. Siurince du polygooeo?, ,2^, ; ^1 9 ^i ; ••• x„ ,y„. Laformiile que nous venons de trouver peut s*écrire :
sin6
xf'y^'
Celte forme remarquable donnée à l'expression de S s'applique à un polygone de n sommets ; c'est ce que nous allons montrer.
Nous admettons que la formule ait été vérifiée pour un polygone convexe de (n — 1) sommets et nous allons reconnaître qu'elle est encore applicable à un polygone convexe de n sommets. Si nous établissons ce point, la formule sera généralisée.
Prenons donc n points A,, A„ ... A„p A„ ; et désignons les coordonnées de ces points par a?,,y, ; ... a;„,y„.
Les(n— 1) points A,, A„ ... A„„ forment un polygone fermé dont la surface S' est donnée, nous le supposons, par la formule :
sin 0
^«-1 Vn^K
Le polygone A,, A„ ... A„ étant convexe et les sommets étant rencontrés par un point mobile, parcourant son périmètre, dans l'ordre marqué par les indices, nous voyons que le mobile qui est supposé décrire la circonférence circonscrite au triangle A,, A„p A^ rencontre ces points dans l'ordre où nous venons de les écrire. En désignant par S' la surface du triangle A,, A„p A„, nous avons donc :
sm 0
^«-1 Vn^K
^n Vn
aî, y,
Les formules (1) et (2) donnent, par combinaison, et en désignant par S la surface A, A, ... A,,,
aS
sino
xjHr
a;>yj
\, Si nous revenons à la formule (M) {$ 64), et si nous observons que trois points en ligne droite forment un triangle de surface nulle, nous avons :
iro.
Nous retrouvons ainsi la condition, précédemment établie, et qui exprime que trois points donnés sont situés en ligne droite.
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA LIGNE DROITE {Suite),
69. Équations d*an seg^inent de droite. {Premières formules.) Soient A et B, deux points donnés ; ir©, yo ; x,, y, leurs coordonnées: soient enfin j;^ y celles d'un point M, supposé mobile sur la droite AB. Les formules (3) {% 62)^ donnent :
X —^o__y — yo
Si nous désignons par a la valeur commune de ces rapports, uous obtenons^ pour a; et y, les valeurs suivantes :
^.To + /^, ^^ yg + >-y;
Mais on donne à ces expressions une forme plus symétrique en employant les coordonnées homogènes^ que nous allons définir.
Lorsque x et y déoignent les coordonnées cartésiennes d'un point M, on peut, sans inconvénient, les représenter
par -, - ; pourvu que Ton convienne que z soit égal à Tunité.
Nous dirons alors que x^ y, j, sont les coordonnées homo gènes du point M.
Les formules que nous venons de trouver peuvent s'écrire, sous la forme symétrique :
Xo -+- >Hr 4 y» -h Ay , -« -h >w ,
en supposant.
jZ -^ Zq ~— <W| ■^— 1 •
Ces formules offrent l'avantage d^exprimer les coordonnées d'un point, mobile sur une droite, au moyen d'un seul paramètre variable X. A chaque valeur de X, correspond un point M, bien déterminé sur AB, et si l'on veut limiter la mobilité du point M sur cette droite, si l'on veut que ce point parcoure seulement un segment donné M'M*^ ; en désignant par // et a" les valeurs de X qui correspondent à ces points M', M' , on fera varier X dans Fintervalle X', X*".
Le paramètre X est susceptible d'une interprétation géométrique qu'il est utile de connaître. Il représente, abstraction faite du signe, le rapport des distances du point M aux
MA points A et B, et Ton a X - rrr., A désignant celui des deux
MB
points qui a pour coordonnées Xo yo 2o. Si Ton suppose que le point M soit situé entre les deux points donnés, les différences X — a:©, x^ — X ont le même signe ; par conséquent, X est positif. En précisant davantage, on voit que X varie, de o à + 00, quand le point M parcourt le segment AB ; de —00 à — 1, quand il est mobile sur le segment indéfini qui a pour extrémité le point B, et dont la direction est opposée à celle de BA ; enfin, de o à — i, quand il décrit le troisième segment.
08« Théorème. Soitf{Xy y, z) — o, V équation d'une courbe A ; 6*1 Von considère deux points M', M" dans le plan de A, points dont les coordonnées homogènes sont respectivement x' yy\z' \ 0?" ,y % 2" si le segment M'M" contient un seul point de A, le rap-
port ,/ y^, est négatif; ilest^ au contraire y positif, si le
f [x ^y yZ )
segment M'M*^, ne renferme aucun point le A.
Considérons en effet un point M, sur le segment M 'M*", soient a;,y2;, ses coordonnées; f [XyyyZ)z=:o est Téquation de la
courbe A^ quand on a remplacé xei y y respectivement) par
~ el ^, et quand on a chassé les dénominateurs; de telle sorte
que/'(j;,y^ j) représente une forme entière et homogène des lettres Xy y, z. Nous désignerons par m le degré de cette forme. Cherchons Tintersection de la droite M'M* avec A ; les formules U donnent, pour la déterminer, Téqualion :
f (Xo -+- Xr, , yo +- Ay, , 2o -h A-5, ) =: ",
équation dans laquelle l'inconnu est le paramètre X. Si nous développons cette équation par la formule de Taylor (\Ig. S 3ii), le terme indépendant de X est f {XoyyoiZo)- On voit aussi^ en effectuant le développement de :
f (Xo?, + Xo, Xy, -h yo, Xz, 4- 5j, que le terme du de^é le plus élevé en X est :
fO-x:^y\yt,\z^), ou,
D'après cette double remarque, Téquation en X est :
(i) X'"/(x',,y,,2,)-f-... h/*(a7g,yo,Jo)r: o.
Dans cette équation, les termes extrêmes qui, seuls, ont été mis en évidence, sont d^illeurs différents de zéro, car nous ne supposons pas que les points M'etM% que nous considérons, soient situés sur A.
Ceci posé, s'il existe un seul point de A sur le segment M'M', réquation (i) doit avoir une seule racine positive et son premier membre doit présenter un nombre impair de varialions; f{x^ , yi , ^i) et /{xo^yo , ^o) ont donc des signes contraires. Au contraire, s'il n'existe aucun point réel de A sur le segment M'H', réquation (i) n'admet aucune racine positive réelle; le nombre de ses variations est un nombre pair ; par suite, /la?, y, 2.) et fix^y^zo) ont le même signe.
OO. Il résulte du théorème précédent que la fonction F{x,y) ne peut changer de signe que si Ton traverse la courbe A, qui correspond à Téquation :
car Ton a :
f{x,y,z)::=¥{x,y)y (pour 2;= 1).
Ainsi, A sépare le plan en diverses régions ; mais si Ton imagine un point M mobile dans Tune d'elles, la fonction ¥{x,y) conserve un signe invariable, tant que M ne quitte pas la région considérée. Il y a donc, dans le plan d'une courbe, des régions pour lesquelles la fonction F (x,y) est constamment positive et que Ton peut nommer les régions positives du plan de la courbe ; et d autres régions pour lesquelles F (Xty) a, au contraire, une valeur constamment négative et que, par opposition, nous nommerons régions négatives.
Pour distinguer les régions positives et négatives, on donne à j; et à y, des valeurs très simples : x zio, y zz o; on x rzy zzt ; t étant très grand ; ou, encore, xzz z yzz\ ; s étant très petit, et X très grand; de telle sorle enfin, que, pour le point considéré, le signe de V{x, y) apparaisse nettement. Une fois que Ton a reconnu le signe d'une région, on détermine immédiatement le signe des autres régions, en supposant un mobile décrivant le plan et traversant «uccessîvement les différents bras de la courbe.
Par exemple, si Ton considère Tçquation fx, y) — o,
/{x, y) = x" H- y' — 3axy, («> 0).
Celte courbe qui est le folium de Descartes, et que nous étudierons plus loin, a la forme indiquée par la figure cidessous.
Dans cette figure, les régions ombrées sont les régions négatives.
Nous ferons, à ce propos, une dernière remarque pour faire observer que la démonstration que nous avons donnée au paragraphe précédent, exige qu'entre les points M', M", il
n'eiiste qu'un seul point de la courbe A. Lorsque la droîle U'M' est tangente à A au point M, la démonstmlion que nous venons de rappeler prouve que Téquation en X que nous avons considérée ayant deux racines égales, la fonction a le même signe aux points M' et M'. De même, si, dans la
Fig. .'il.
figure précédente, on passe de la région B à la région C, en franchissant le point 0, quoique l'on ait, réellement, traversé la courbe au point 0, la fonction f (x, y), n'a pas changé de signe parce qu'on a coupé deux bras de la courbe et l'équa- Uon en X dont nous avons parlé plus haut a, dans ce cas, deux racines égales, pour j: r= o et y = o.
RemarqDes. — Lorsqu'on applique le théorème précédent à une droito A, on voit que celle-ci partage le plan seulement en deux régions, Tune positive, l'autre négative.
VO. Equation d'un segracnÉ de droite. {Secondes formules.) Dans les formules (U), établies plus haut, nous avons imaginé que la droite considérée était déterminée par deux poiats ; dans celles que nous allons donner maintenant, nous supposerons que la droite est déGnie par un point Ma [x„ y*) et par ses parami-'lres liirocleurs (a, f;).
tin L TuME ri. fi
Prenons sur A un point M et désignons par Xy y ses coordonnées; soit P le point directeur de A, et soient a, 0 ses coordonnées. En posant MoM = p, et en remarquant que OP =: 1, les triangles semblables MMoA» OPB donnent :
Fig 43.
x — xo __y — yc
On a donc :
