X :=^Xo h ap, y =.ya-f-6p
et ces formules expriment les coordonnées d'un point mobile sur une droite, en fonction du seul paramètre variable p. Elles sont générales et conviennent à toutes les positions des points M, Mo ; mais en convenant, comme nous le faisons ici, de considérer p comme positif ou négatif suivant que le segment MoM a la direction positive ou négative de la droite.
Si Ton veut que le point M parcoure, sur la droite donnée, un segment M 'M' ; en posant M^M' = p', et MoM'' = p% on fera varier p, depuis p' jusqu'à p\ et Ton aura ainsi les valeurs
d'x et d'y, pour toas les points du segment M'M'", et seulement pour ces points.
91. Équations f^énéralesu— Lorsqu'une courbe mobile doit vérifier constamment certaines conditions géométriques, si réquation :
dans laquelle a ,0 , ... désignent des paramètres variableSi est telle que touto courbe du réseau proposé puisse être représentée par celle équation, pour des valeurs particulières et convenablement choisies des paramètres, et si, réciproquement, à toute équation (i) correspond une courbe vérifiant les conditions imposées, nous dirons que (i) est V équation générale des courbes du réseau proposé.
9î^. Tliéoréme. iSi P = o, Q — o, R n o, représentent les équations de trois droites particulières d^unplan, non concourantes^ toute droite du plan peut être représentée par réquation :
aP-hpQ-l-YKi=o.
Posons :
T:^ ax -h by -h cz, (i) Q:=:a'x-hb'y-^c'Zy R =: a^ic -h V'y -h (fz ; el soit :
une droite A, dans le plan considéré. Nous allons montrer que l'on peut disposer des paramètres a, 6, y de façon que l'on ait :
a(aa;-f- 6y -f- C2)-h g (a'ic -+- 6'y -H c'^;) H-7 (a^a; 4- 6"^ -H c*2)
s:ma?-f-wy+pz.
Pour que cette idenlité soit vérifiée, il est nécessaire et suffisant que Ton ait :
(2) ôa-f-ô'P+ô^Y— w,
ca-hc'^ + c'Y = P^
Posons :
et remarquons que Ion a A;z:o. Ea effet, si nous supposions A — o, les équations linéaires et homogènes Pzzo,Qjzo, R = o, admettraient une infinité de solutions, z étant arbitraire, (Alg.§io6).
Alors, pour zniyon trouverait des valeurs d'à; et d'y vérifiant les équations (i) ; les droites (i) seraient donc concourantes ; ce que nous ne supposons pas.
Cette remarque étant faite, si l'on observe que A est précisément le déterminant des équations (2), on voit donc que celles-ci admettent pour a, g, y des valeurs bien déterminées, non infinies, et qui ne sont pas toutes nulles ; si m, n, p ne sont pas, eux-mêmes, tous nuls.
Nous allons généraliser ce théorème dans le paragraphe suivant.
93. Théorème» Toute courbe du degri m, située dans le plan du triangle dont les côtés ont pour équation, réspectivementy
? z= 0, Q irr 0, R z= o,
peut être représentée par V équation :
F (P, Q, R) désignant une forme entièrCy et homogène^ par rapport aux lettres P, Q, R.
Les notations précédentes étant conservées, les équations (1) peuvent être résolues par rapport aux lettres x, y^ z; parce que le déterminant A n'est pas nul. On trouve ainsi :
œ = AP -)- BQ + CR, y=A'P + B'Q+C% 3 = A'Ph-B''Q-1-C''II.
L*équation de la courbe étant :
f{x, y, 2r)iro,
ces formules donnent bien, après substitution, une fonction entière, homogène, par rapport aux lettres P, Q, R. 94. l>roit€»§( c^ncoarantes. Soient :
ax -^ hy -\' cz :=: 0,
arx-^l/'y-^ez — Ki,
les équations des droites proposées ; si ces droites concourent au point dont les coordonnées sont a;' et 2/, ces équations linéaires et homogènes admettent une solution non nulle :
a?— iij', yzz.y', zzza.
On sait que, dans ce cas, le déterminant général A, est nul.
La condition A = o est donc nécessaire.
Nous avons d'ailleurs fait remarquer tout à Tbeure que si Ton avait A;zfo, les droites (1), (§ 73), ne concouraient pas; ainsi la condition A = 0 est à la fois nécessaire et suffisante. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Pour que trois droites ayant pour équationy respectivement ^
P zz G, Q = 0, R zz 0,
scient concourantes^ il est nécessaire et suffisant que le déterminant général A des formes linéaires P, Q, R, soit nul.
Nous ferons pourtant remarquer, qu'en appliquant le théorème précédent, il n'est pas toujours nécessaire de calculer A, calcul qui peut, dans certains cas, présenter quelques difficultés. En effet, si Ton a A z= o, on sait (Alg. § 1 1 1) qu'il existe des paramètres X, |a, v, qui ne sont pas tous nuls et qui vérifient Tidentité ;
aP-HIaQ-4-vR=:o.
Ainsi, pour constater que trois droites concourent, il suffit de reconnaitre que l'on peut former, avec leurs équations,
une combinaison linéaire, homogène, idenliquement nulle. Par exemple, si Ton considère le triangle M,M,M, dont les côtés ont pour équation, respectivement,
P, =zA,a;-+-B4y-hC, = 0, P. = A,ir-hB,y+C, = o, P3 = A,x-4-B,y-hC,= o;
on trouve facilement que la perpendiculaire abaissée du point M, sur la droite M.M, a pour équation :
En permutant les indices, on obtient les équations des deux autres hauteurs,
Pour vérifier que ces droites concourent, il suffit de remarquer que Ton a :
i , Démontrer qu*en posant :
Dr:
AsBaC,
la surface S du triangle dont les côtés ont pour équation^ respectivement,
P, z=A,a;-hB,2/ + C4i=o, P, — k^x H- B,2/-+- C, = o, p3 = A,a;-hB3y-f-C3=o;
est donnée par la formule :
aS
sin 0 D,U,D,
On suppose, bien entendu, que les droites concourent denx àdenx, mais qu'elles ne concourent pas an même point.
Les quantités D, D|, D^, D3 sont donc différentes de zéro. On prendra . pour point de départ, dans ce calcul, la formule connue,
aS
sinO
^t Vt ^« a?3 Vt ^1
et Ton remplacera les éléments de ce déterminant au mojen des formules
BjCj — W»Cj ^lA, — C,A, A|B| — B,A,
S. On considèfe une droite A, ayant pour équation .*
y etc.
P 1= Arc -h By -h Cz = 0,
et deux points M«, M| ayant pour coordonnées, respectivement, Xo,yoi*o; 'i> ytt «!>' to droite Mo^i rencontre ^en un point M, démontrer que Von a :
iVlAJ,
Po
En appelant x, y, z les coordonnées de M, on a (S 67):
iTo + > o;, 2/0 4- ^2/1 Zo -h A 5,
et, par conséquent,
P.4-XP,zzo,
par suite.
^ MMq ""MM,""
Po
On peut déduire de cette relation diverses conséquences et notamment U démonstration analytique du théorème de MénéluOs.
S. Démontrer qu'en désignant par a, b, c, les longueurs des côtés d'un triangle et par jc'y', a/'y*, x^yff les coordonnées de ses sommets j les coord(innéesdu centre du cercle inscrit peuvent se calculer par les formules:
ax' '\- bx' -^ ex*" ay' -h by' -\- cy'" a-^b-^c
Ces formoles peuvent se trouver en remarquant: i® que le pied
de la bissectrice partage la base dans le rapport des côtés adjacents,
r 30 que le centre du cercle inscrit partage la bissectrice dans le rapport -,
r étant le ravon du cercle inscrit rt h la hauteur. Ou a d'ailleurs 7 z=
h a+b\-c et on applique les formules (U), (S 67).
4. On considère un angle droit yox et Von prend sur ox un point fixe A, sur oy un point fixe B ; soit A la perpendiculaire abaissée de 0 sur AB et soit M un point mobile sur A ; on joint MA et MB et à ces droites aux points X et h on élève des perpendiculaires gui se coupent en un point I.
Démontrer que le lieu de ce point est une droite perpendiculaire sur AB.
6. Démontrer que les perpendiculaires élevées au milieu des bissectrices des angles d*un triangle rencontrent les côtés opposés en trois points en ligne droite.
