THÉORIE ANALYTIQUE DE LA LIGNE DROITE
(Suite et fin.)
95. OiiiÉance d*on point A ane droite. Nous désignerons par 0 l'angle des axes et nous déterminerons, d'abord, la dislance de Torigine à la droite A, dont l'équation est :
(i) Aa;-f-By-f-C=:o.
Nous avons vu (§ 56), que l'équation d'une droite pouvait s'écrire encore sous la forme :
(•i) X cos a -+-y cos (6 — a) ir A,
h désignant la distance de Torigine, à la droite. Les équations (i) et (2) représentant la même droite, on a:
cos a "" cos (6 — a) h '
Ces relations donnent :
R — A cos 0 ^^*" AsinO
et,
Ah
cos a — —.
Appliquons, à ces formules, Tidenlilé :
i-+-tg*a=:— ^
cos X
et nous avons
(B — A cos 6)* C*
A» si a» 0 AVr
ou, finalement,
... I C sin 0
(a) hz= +
V^A'-f-B* — 2ABcosO
Celte expression de A, bien que renfermant un double signe, donne pour h une valeur qui est toujours bien déterminée, pour les raisons que nous allons développer.
Remarquons d'abord que la quantité placée sous le radical pouvant se mettre sous la forme : A' sin* 0-4-(B — A cos G)*, indiquée d'ailleurs par régalité(i), cette quantité est une valeur qui ne peut être égale à zéro, si A et B ne sont pas nuls à la fois. Celte condition est évidemment remplie par toutes les droites du plan. Ainsi, la valeur de h est toujours réelle et finie et nous allons montrer qu'elle est bien déterminée. D'abord, le dénominateur ne pouvant pas êlre nul, h ne se
présente jamais sous la forme- ; enfin, h étant un nombre
absolu, positif, on choisit, dans la formule (a), le signe + quand l'origine est dans la région positive et le signe — quand, au contraire, elle est placée dans la région négative qui correspond à la droite donnée.
Cherchons maintenant la distance du point M (o^oi^o), à la droite A.
Menons par le point M une parallèle à A, cette parallèle a pour équation :
A {x — Xo)-hB(y ^ yo) = o,
Ax -\- By — Aa^o — Byo = «•
Supposons, pour fixer les idées, que l'origine soit placée dans la région posilive et que le point M soit dans la région
négative. Ayant abaissé de 0 une perpendiculaire sur les deux parallèles, nous avons :
CsinO
V^A'-f-b' — aABcos6
et,
Fig. 44.
Qj|,^ (— Aa?o — Byo)sine
v/a' + B*— aABcos.e
Dans cette dernière formule on doit observer, pour vérifier son exactitude, que le point Xo y© étant dans la région négative, on a :
AiCo-f-Byo + C<o,
et comme C est positif, il faut nécessairement que {kx^-^- Byo) soit négatif.
En posant :
MIizOIl'— OHztB,
les formules précédentes donnent :
— • Po sin ô
VA"4-B*— «ABcosO
Cette formule est générale et se trouve vérifiée pour toutes les positions respectives du point, de la droite et des axes ; il faut seulement changer le signe du numérateur quand on suppose Po>o, de façon à obtenir pour 5 un résultat toujours positif.
'90. Équation de la bissectrice. Soient :
P =r ax -f- fty + c — 0, Q = a'y-hb'y-hc'zzo;
les équations de deux droites données. Leurs bissectrices A > A' partagent le plan en quatre régions et Torigine est située dans Tune de ces régions que nous distinguerons des autres et que nous désignerons par A. Des droites A et A' une seule pénètre dans la région A et nous nous proposons de trouver réquation de cette droite A, droite qui, d'après ces explications, est bien déterminée.
Fig. .\^.
On peut toujours, dans une équation donnée, disposer du signe d'un terme ; on peut donc toujours supposer c>o, et c' > 0. D'après cela, l'origine est située dans la région positive, pour la droite F, et aussi pour la droite Q.
é LA LIGNE DROITE 93
Soient x, y les coordonnées d*uii point M pris sur la semidroite A, qui est située dans la région A ; les distances du point M aux droites P et Q sont données par les formules
