MS
V^a* 4-6' — aab coaO Qsine
y/a^ + ô'" — 2a'6'cosO'
on a donc :
Si Ton prend maintenant un point M' sur la semi-droite A opposée à la précédente, ce point M' étant placé dans la région négative, pour les droites P et Q, on a :
vV-l-6* — aaôcosO et,
— QsinO-
on a donc encore :
y/a* -f- 6* — 2ab cos 6 y/ a'' -f- b'* — la'b' cos 0
C'est réquation de la bissectrice qui pénètre dans la région (lu plan où est placée l'origine. Un raisonnement semblable montre que la seconde bissectrice a pour équation :
Va* -h 6' — '^ab cos 0 \'a" -+- 6" — -la'b' cos 0
Il est facile de déduire de ces formules^ entre autres conséquences, que les six bissectrices des angles d*un triangle^ sonl^ trois à trois, concourantes.
■99. Théorème. Étant donnée V équation :
ax* + 2bxy + cy* — o,
qui représente un faisceau de deux droites P, Q, passant par V origine ; V équation:
bx* — (a — c)xy — by* rz o
est celle du faisceau de deux bissectrices A, A' des droites PetQ.
Nous supposons que Ton ail b* — ac > o, et, dans celle hypolhèse, nous avons :
(i) ax*-h 2bxy + (^y* = {u*x-hv'y) (u'a; -+- v'y),
w', v' ; w' , v" étant des coefficients réels qui vérifient les relations :
Prenons sur la bissectrice A un point M ; a; et y étant les coordonnées de ce point, ses distances aux droites P et Q sont, au signe près :
u'x 4- v'y ti"x -\-v'y
Les coordonnées x^y vérifient donc la relation :
[u'x -»- v'iy)* [u^x + ly^y)^
W-hv'* "■ w''* + v''*
En considérant maintenant un point de la seconde bissectrice A', on voit, de même, que ses coordonnées vérifient la relation précédente. Celle-ci a donc lieu pour toutes les valeurs d'à? et dV représentant les coordonnées d'un point pris, soit sur A, soit sur A'. Réciproquement, si Ton imagine une solution x^y' de (3), on a :
u'x* + v'y' , n' x' -f- ify^
le point xV est donc situé sur Tune, ou sur l'autre, des bissectrices.
En résumé, Téquation (3) représente Tensemble des deux bissectrices.
Cette relation peut s'écrire :
(4) X* (m'V - v'V*) + 2xy(u'u'' — i/v") {v'u" — u'v") Les égalités (2) donnent d'ailleurs, par combinaison,
et cette égalité montre que u'v' — v'u' n'est pas nul, b* — ac étant supposé positif.
Nous pouvons donc diviser les deux membres de l'égalité (4) par m'u' — v'm', et nous obtenons le résultat suivant :
ou, finalement,
bx^ — {a—c)xy — by^ :z. o.
\. Problème. Abaisser d'un point donné x^, y^ ; un faisceau perpendiculaire sur un faisceau quadratique^ donné.
Les notations du paragraphe précédent étant conservées, on voit que les deux perpendiculaires que nous cherchons ont pour équations, respectivement.
w' iy — yo) —v'{x- Xo) = o, w' (y — yo) - V'ix — Xo) z: 0.
Le faisceau de ces deux perpendiculaires est donc :
ou,
«V {y -^o)'- (w'u'4- Vu" )(y -^o) (J?-^o) + v'v" (x^x^Y - o :
ou, enfin,
« (y — y^y — ^biy — yo) (x — Xo)-hc [x—XoY = o.
99. Faisceaux harmoniques. Tlkéoréwne. Pour que le faisceau des OP, OQ; faisceau qui correspond à V équation C"^
(i) ax*-\'iba:y-{-cy^z=:o\
soit conjugué harmonique du faisceau des droites 01, OJ; correspondant à Véquation :
(a) a*x^ 4" ^^'^y + c V = « ; il est nécessaire et suffisant que la relation : ,
(3) ac'-\-ca' — 266' — o,
soit vérifiée.
Prenons sur OP un point M ; soit Xo Vo ses coordonnées ; on i sait que si par ce point M on mène AB parallèle à OQ, cette >. droite est partagée par le faisceau 01, OJ, et par M, en deux parties égales.
Fig. 4tî.
L'équation de OQ élant : u" x^ v^y r: o ; celle de AB est
(4) u'x-h v'yzz u^Xq -jr^^y^' Cherchons Tinterseclion de cette droite avec le faisceau^
pi, OJ ; nous avons^ pour déterminer y^ Féquation suivante, jlbtenue en éliminant x entre (2) et (4) :
Le point M étant le milieu du segment AB, la somme des racines de cette équation est égale à ly^- Nous, avons donc lia relation :
ou, après réductions,
(5) yoCc'w'-^VjzrXoCaV-ô'MO.
Le point x», 2^0 appartenant à la droite Or, nous avons d'ailleurs,
(6) i^'iCo-f-uVo"^'^; et, par combinaison des relations (5) et (6),
w'(c'«*— 6 V)-f v\a*v"—b'iir)=z 0, ou, enfin,
En tenant compte des égalités (2), (§ 'j'j)\ on trouve la relation annoncée :
(7) ca' — 266'H"a6'zro.
