Théorème. Les droites qui ont pour équation
P-+-aQ = o, P— XQ=:o
forment un faisceau qui est conjugué de celui des droites qui correspondent aux équations ; P— 0, Q — o.
Il suffit, évidemment, de vérifier que les parallèles menées par Torigine aux droites qui ont pour équation :
(0 ax-^-byzzo, (2) a'x+b'yz=^o\
f jrment un faisceau qui est conjugué de celui des deux droites qui correspondent, respectivement, aux équations :
(3) (a-+-Xa')j:-h(6 -f-X6')y-o,
(4) (a-AaV + (6 — AÔ')y-o.
DeL. TuMKlL 7
Le faisceau formé par les droites (i) et (2), a pour équation :
(5) aa'x^ -h (a6'+ ba!) xy +bb'y* zz 0 ;
et celui des droites (3) et (4),
(6) (a* - \W*) x' + 2 (a6 — X*a'6'j xy -f (fc*— X*6"} y* - o.
En appliquant, aux équations (5) et (6), la condition (7), trouvée au paragraphe précédent, on voit que cetle condition se trouve vérifiée, en vertu de ridentilé :
aa'(b* - X*6'*3 - (afc' -h ba*) {ab — X'a'b') -h ftft' (a' — XV) =: o.
8t. Problème. Mener ^ par un point donné (Xo, ^o)» ^'^ faisceau parallèle à un faisceau donné.
Soil,
ax* -f- 2^»j?y 4" ^y* — ^9
l'équation du faisceau proposé ; une droite de ce faisceau ayant pour équation,
ux-\-vy=^Oy la parallèle menée par le point {xo^yo) a pour équation,
M (a? - j?o) + « (y — yo) = o- Mais on a :
av* — 2ftwt? + ctt* — o, et, par conséquent,
a(a;— a7oy-f-2Ô(j?— j;o)(y— yo)4-c(y— yo)' — 0.
C'est 1 équation du Saisceau cherché.
Cette formule, comme celle qui a été établie plus haut (§ 78), est susceptible d'une généralisation évidente, et en appliquant le raisonnement précédent au faisceau qui correspond à Téquation :
AoJ;'"^- A.jc^'-'y + ... -h A„y"* - o.
LA LIGiNE DROITE 99
on voit que le faisceau parallèle, issu du point (x^, y»), a pour équation :
Ao (x-xoT 4-A, (x-o^or"* {y-y.) + • • • -^ A^ (y-yor = o.
8Ji. Problème. Etant données deux courbes A, A', ayant pour équations :
trouver Véquation du faisceau des droites qui vont de l'on'" gine aux points communs à ces deux courbes.
Entre les équations (1) et (2), éliminons z, par l'une des méthodes indiquées en algèbre et qui n'introduisent pas de fadeurs étrangers. Si nous désignons par R(a?,y), le résultant ainsi obtenu, Téquation :
(3) R(a:,y):ro,
dont le premier membre est une fonction homogène en x et y, représente un faisceau de droites ayant pour sommet Torigine. C'est Téquation cherchée.
En effet, soit M' un point commun aux courbes A et A'; et soient x' , y' ses coordonnées ; on a donc :
et ces deux équations en z admettent une racine commune, savoir zzzi.Le résultant de /* et de 9 est donc nul et Ton a, par suite,
La droite OM' fait donc partie du faisceau des droites représentées par l'équation (3).
Réciproquement. Toute droitç du faisceau (3) représente une droite sur laquelle se trouve un point commun aux deux courbes.
Considérons, en effet, une droite U de ce faisceau et soient
a;*y* les coordonnées d'un poinl M" de celte droile. Nous avons donc : '
et Ton peul dire que les deux équations en z :
admettent, au moins, une racine commune ; soit 2" cette racine qui vérifie les deux relations :
Considérons maintenant un point M,^ dont les coordonnées soient calculées par les formules :
(4) ^,=-7, yi = 3r;
nous aurons :
ou,
Ces deux dernières relations prouvent que les équations des courbes A et A ' sont vérifiées par :
le point M, est donc commun à A et à A'. D'ailleurs les formules (4) donnent la proportion :
et Ton voit ainsi que M, est silué sur la droite OW. La réciproque est donc démontrée.
83. Points et droites imasinaires. Le problème précédent conduit, assez naturellement, à la considération des points et des droites imaginaires. Nous nous sommes déjà servi de cette expression (§ 36), en traitant une question du genre de celle qui vient de nous occuper; mais il nous faut entrer maintenant dans des détails plus circonstanciés sur les équations à coefficients imaginaires. .
L'équation linéaire renfermant le signe symbolique t\ peut toujours s'écrire sous la forme :
(I) P -^Qi-o,
P et Q désignant deux formes linéaires, à coefficients réels et Q n'étant pas identiquement nul. Nous convenons, ici de dire que Téqualion (i) représente une droite imaginaire. En adoptant ce langage, les équations :
P +- Oi zi o, P — Qizzo;
représentent des droites dites imaginaires conjuguées.
Lorsque les coordonnées d'un point sont données par des expressions imaginaires :
nous dirons qu'à ces formules, correspond un point imaginaire.
Aux formules :
correspond un point imaginaire, quo nous nommerons conjoigne du précédent.
Lorsque Téqualion U r: o, à coefficients réels ou imaginaires, est vérifiée par des valeurs imaginaires A'x et d'y, nous dirons, pour rappeler ce fait algébrique, que la courbe passe par le point (ar,y), sans attacher d'ailleurs à cette expression un sens autre que celui que nous venons de préciser.
Ces conventions étant faites, on vérifie facilement les propositions suivantes :
i° Une droite imaginaire passe toujours par un point réel.
a* Lorsqu'une droite est réelle^ si elle passe par un point imaginaire, elle passe auôsîpar le point conjugué.
3* Une droite guipasse par deux points xmagirMires conjugués est réelle,
40 Deux droites imaginaires conjuguées ont un point cornmtm réel.
5** Une droite A qui passe par deux points imaginaires quelconques V, Q; et la droite A' qui passe par les points P', Q' conjugués de ceux-ci, sont deux droites im^xginaires conjuguées.
83 &i^. Points A rinani. Lorsque les coordonnées d'un point M croissent indéfiniment, Tune et Tautre, mais en restant proportionnelles à des quantités fixes a, p, ou à des quantités variables mais ayant pour limites des valeurs bien déterminées a, P; si Ton désigne par P le point qui a pour coordonnées a et p, on dit que M s'est éloigné à l'infini dans la direction obtenue en joignant l'origine au point P.
Lorsque plusieurs points M,, M,, ... sont supposés mobiles sur des droites parallèles ayant pour équation, respectivement;
S' Aa;4-By-4-C,2fz:o,
Si leuxs coordonnées croissent au-delà de toute limite, ces points s'éloignent à Tinfini dans la même direction. En effet, les équations précédentes étant écrites sous la forme :
A-hB| + C,^::ro,
et X croissant au-delà de toute limite» le rapport - a, dans
toutes ces équations, la même valeur limite, savoir celle de ——. Les coordonnées du point P sont donc :
az= — A,3=B; ou ar=A,Piz — B;
pour toutes ces droites parallèles. Ainsi, on peut dire que tons les points M«,M„ ... s'éloignent à rinfini dans la direction positive ou négative de la droite OP qui a pour équation :
Arc 4- By no.
■ On remarquera que cette droite est une parallèle menée par Torigine à Tune quelconque des droites proposées A.
Si Ton précise la direction suivie par le mobile en s'éloignant à l'infini sur une droite A, la position du point P se trouve elle-même bien déterminée ; et, en supposant , par exemple, A<o et B>o, si Ton veut rappeler que le mobile s^est éloignée Tinfini en parcourant la partie positive de A, on prendra : a z: — A et 3 = B.
Ces diflférentes remarques s'appliquent, évidemment, aux points rejetés à Tinfini dans la direction de Tun ou de Tautre des axes de coordonnées.
Remarque. Lorsqu'une égalité est constamment vérifiée par les coordonnées x,, y,, d'un point qui s'éloigne à l'infini, dans la direction a , 0 ; on peut chercher ce que devient cette relation^ à la limite. Dans le cas d'une relation algébrique entière, le résultat s'obtient immédiatement. Soit :
l'équation qui est constamment vérifiée par les coordonnées x,,y, du point mobile; ©^, ^ ^ ... désignant des fonctions
entières, homogènes, dont les degrés respectifs sont : m, m— i, ... L'égalité précédente peut s'écrire :
i04 HUITIÈME LEÇON
A la lirnile, on a donc :
ou,
Ainsi, la relation cherchée s^obtient, dans le cas des équations algébriques rationnelles, en prenant le groupe homogène du degré le plus élevé et en y remplaçant x^ par a, y, par p.
Orolte de rinfinl. Lorsqu'une droite A passe constamment par deux points M, , M,, si ces points s'éloignent à Finfini, dans des directions différentes, A s'éloigne elle-même toute eniiwe à rinfini ; c'est-à-dire qu'elle ne passe par aucun point situé à distance finie. Soient a;,, y,, 2, ; j?,, y„ 2, ; les coordonnées des points M,, M.. L'équation de A est,
ou,
•Ti
Vt
Posons
lim ~~m„ et lim^'-
on a, à la limite^
ou,
z{m^ — m^ zz u.
Cette équation n*est vérifiée par aucune valeur finie é!x et d ^9 quand on suppose m^ — m^'^o\ elle est, au contraire, identique dans l'hypothèse wi, ir m,. Celte dernière indétermination s'explique, d'ailleurs, en remarquant que toutes les droites du plan, parallèles à la direction commune des droites données, passent parles points M^ et M,, quand ils sont rejetés à l'infini, dans celte direction.
Ainsi toules les droites du plan, rejetées à l'infini, ont pour équation z n o.
Pour rappeler ce fail, nous imaginerons que ces droites sont confondues, à Tinfini, en une seule et même droite, que nous nommerons la droite de Vinfini du plan*
84. Condition pour que Téquation générale du second de§^ représente un système de deux droites*
L'équation générale du second degré, homogène en x, y, z est,
/■(a:,y,2)zio; en posant :
f{x,y,z) s: Ao;' f- Ay + A" s* -}- 'x^yz +- aB'2.r f- 2Vi"xy. Pour qu'elle représente deux droites il faut que Ton ail :
(i) /•(.r,y,^)s:(a.r-i-Py-hY2)(a'j; f-g'y-hy'^);
par conséquent, la forme quadratique /"(iTjyj^) est décomposable en une somme de deux carrés. Mais nous avons vu en algèbre (§ 348) que dans ce cas, le discriminant de la forme était nul. Réciproquement, si le discriminant est nul, la décomposition de la forme en une somme des deux carrés et, par suite, sa décomposition en deux facteurs linéaires, est possible. Ainsi la condition cherchée, condition nécessaire et suffisante, est A — o, en posant :
On peut observer que si Tune des droites est rejelée à Tinfini, si Ton a :
a z= 0 et ? n 0 ;
on a aussi :
et, par conséquent, A := o ; cette condition exprime donc que /= 0 représente deux droites, à dislance finie ou infinie.
8S. Conditions i^ur que réqandon g^énéraie dn second deg^ré représente deux droites pamiiéles»
On a d abord, comme tout à Theure, A = o ; de plus les droites qui ont pour équation :
étant parallèles, on a :
ou,
ftX — TLfà O.
D'autre part, l'identité (i) donne :
A n:aa',
De ces égalités, on déduit :
On trouve aussi la condition nouvelle :
Î = AA' — B** = o.
Les conditions : A — o, et 8 1= o, sont donc vérifiées quand l'équation du second degré représente un système de deux droites parallèles.
BéciproquemenL Si les conditions ont lieu, Téquation représente un système de deux droites parallèles, ces droites pouvant être réelles, imaginaires ou coïncidentes.
Les conditions données sont :
(i) A zz hXAy -4- îBB'B'' — AB* ^ A'B'* — A'^B''* j= o, (2) 8-AA' — B'^'^o.
Nous torons remarquer d^abord que A et A' ne peuvent être nuls simultanément. En effet, si l'on avait A = 0 et A' =: 0, on aurait aussi B' = o et Téquation proposée serait du premier degré par rapport aux lettres x et y. Nous supposerons A'psf 0.
Les relations (1) et (2) donnent d'abord, pour combinaison,
AB' + A'B'*— aBB'B''=o;
ou en multipliant par A', et en remplaçant AA' par B'*,
(BB"-A'B')" = o.
Ainsi les relations données peuvent être remplacée? par celles-ci :
