B"' == AA', BB" = A'B
D'autre part, en utilisant ces deux égalités, on a :
A7(^, y . 2) = W'x -4- A'V + A'A"^' + 2 A'By2 -h iBWxz
2AfB'xy,
ou,
A7(a:,y,s)=:(B''a:-|-A'y-[-B4r)* — ^'CB^-A'A').
Sous cette forme, on reconnaît que l'équation fix^y^ z) z=. o, représente deux droites parallèles, réelles, imaginaires ou coïncidentes, suivant que la quantité B* — A'A" est positive, négative, ou nulle.
t. Sur les trois côtés d'un triangle ^ considérés comme étant des dfagcnaleSyOn construit des parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux mêmes directions; démontrer que les trois autres diagonales concourent au même point.
%, Étant donné un quadrilatère ABCD, trouver le lieu d*un point I tel que la somme des surfaces des triangles lAB, ICD soit égale à fa moitié de celle du quadrilatère donné.
On trouve que le lieu demandé est la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère.
8. On considère un quadrilatère ABCD ; sur AB on prend un point P, et sur CD un point Q. Les droites BQ, CP se coupent en tm point M et les droites AQ, DP en un point N ; démontrer que la dtH)ite MN passe par un point fixe quand les points ^ et Q sont mobiles.
4. On donne deux droites fixes A, A' et trois points en ligne droite A, B, C ; par A on mène une transversale mobile qui rencontre ^ en ^ et y en Q ; les droites BP, CQ se coupent en un point I ; le lieti de I est une droite,
(Porisme d*Euclide.)
5. On donne un triangle ABC et deux points fixes 0, 0' ; soit M un point mobile sur BC, OM rencontre AB au point R etO'M reyicontre AC au point S : les droites O'R et OS se coupent en un point I; le lieu de ce point est une droite. (Porisme d'Euclide.)
86. DIsÉance de deux points. Soient M' et M^ les deux points donnés ; soient x',y' ; af , y* leurs coordonnées et d leur distance.
jc
Fig. 4-.
Le triangle M'PM' donne,
f-ipf— xj -h (y^ - y'/ — ^^^ — •»') {y" - f) cos M'PAi" ,
ou,
U) er=:(a;'— rc7 + vy-yT^-2(x"— a;')(y''-y') cos 0.
Celte formule est générale; elle est vérifiée quelles que soient les situations respectives des axes des coordonnées et des points proposés.
89. Eqaatlon du cercle. Soit C le centre du cercle, et soient Xo Vo les coordonnées de ce point. Prenons sur la cir-
no NEUVIÈME LEÇON
conférence un point quelconque D, ses coordonnées x, y, d'après (A), vérifient constamment la relation :
(a; — ojo/ 4- (x^ — yo)N 2(^ — iCo) (y — yo ) cos e = K%
égalité dans laquelle K désigne le rayon de la circonférence donnée.
Si Ton pose :
U =: (iT — XoY -+- (y —yoY + «te — oto) (y — y.) cos e — R%
on voit que Ton a :
U < o, ou U > o
suivant que le point {x,y) est situé à l'intérieur ou à Texlérieur de la circonférence proposée. Enfin, on a U = o, lorsque le point est placé sur la circonférence.
88. €!^ndlUoiis pour que Inéquation (i^énérale du seeond de§^ représente an c^rele.
L'équation générale du second degré, prise sous la forme
homogène^ étant :
Aaf + A'y* + A^'r 4- ^Byz -f- 2B'zx + iB^xy - o.
En y faisant j — i, nous obtenons l'équation générale des courbes du second degré qui, ordonnée par rapport aux lettres X et y, peut s'écrire :
(K) Ax' 4- Ay -f 2ti"xy + aBy 4- aB'j? + A* i= o.
Noos allons chercher les condilions (pii doivent exister entre les coefficients de celle équation^ pour qu'elle représente un cercle.
L'équation U zz o, trouvée tout à l'heure, devient, après développement,
4- j:o*+ .Vo* -+- '^^oVo cos e ^ R' zr 0. En identifiant les équations (H) et (K), on a d*abord :
(1) AzzA'ir
cos O'
on peut donc dire déjà que : si une équation du second degré représente un cercle : i^ les termes en x^ et en y- ont des coefficients égaux et différents de zéro ; 2* le rapport des coefficients des termes en xy et en of est égal au double du cosinus de hngle des axes.
L'objet du calcul qui suit est de montrer que ces conditions nécessaires sont aussi suffisantes et que, si on les suppose vérifiées, Téqiiation proposée représente un cercle, dans le sens général et analytique du mot.
S9. Calcul do rayon. Nous supposons donc que les coefficients de réquation générale vérifient les conditions (1) et nous allons montrer que cette équation représente un cercle dont nous nous propesons de calculer le rayon.
L'identification des équations (H) et (K) donne, outre les conditions (I), les suivantes :
(1) a;o + yocos0-f--r — ^'j
(J) { (2) iCoCOSÔ + yo + T- ^»
(;j) Xo + yS -+ î^cToyo cos ô — U* o.
Les deux premières permettent de calculer les coordonnées du centre; le déterminant des inconnues étant sin* 0, quantité
différente de zéro. Il nous reste à montrer comment on peut calculer U*.
Multiplions les équations J, respectivement par x^^, y^ , et — 1 ; puis, ajoutons ces résultats. Nous avons :
Les équations linéaires (i), (2) et (4) admettant une solution^ nous pouvons écrire :
cos 0 T-
cos 0 i
Les deux premiers éléments de la troisième colonne sont
respectivement égaux à -— + o, et à — -h 0, et nous obtenons,
par application d'une règle connue^
(5) K* sin* 0 +
1 cos 0 -7-
cos 0 1
