IV B A A

Le déterminant qui entre dans cette expression est lié au discriminant du polynôme proposé d'une feçon simple et que nous allons mettre en évidence.

Nous avons posé précédemment (§ 84),

A esl le discriminant de Téquation générale du second degrés à trois variables, et homogène.

Dans le cas où /'(a; ,y 9 z)^ égale à zéro, représente un cercle, nous désignerons par Ao le discriminant de la forme ^ pour le distinguer du discriminant A de la-forme ternaire (')•

Les relations (I) prouvent que Ton a :

A AcosO B'

A cos 6 A B B' B A"

ou,

Ao = A=

1 eus 0

D'après celle observation, Tégalilé {5j peut s'écrire :

A*R* sia' e -h Ao == o.

Ue celte formule, on conclut le théorème suivanl : Théorème. Si A désigne le coefficient du terme en x' {on du terme en y*) d'une équation U=:o, qui représente un cercle, ti si ton rej/résente par A^j, le discriminant du polynôme T, mis sous sa forme homogène: le cercle est réel si AA© est négatif , et son rayon peut se calculer par la formule :

A' sin*e'

On doit encore remarquer que si AAu est posilif, Texpression du rayon est imaginaire ; on exprime ce résultat algébrique en disant que la courbe proposée, celle qui correspond à l'équation U zi o, est un cercle imaginaire.

1. On appelle forme ternaire la forme quadratique générale à troli» va riables.

Db L. Tuxk II.

114 xNEUMKME LEÇUN

On vérifie aisément que Téqualion Uzro, dans Thypollièse où AAo est-positif, n'admet aucune solution réelle : la courbe est donc imaginaire; et pour rappeler que les coefficients A, A', B" satisfont aux conditions (I), qui caractérisent ^es cercles, quand la courbe est réelle, nous lui donnerons le nom de cercle imaginaire, sans attacher à ce mot un sens autre que celui que nous venons de préciser.

Enfin si Ao = o, on a II — 0 : on peut vérifier que Téquation U — o, n'a donc d'autre solution que la suivante -.x-zzxq, y:=iy^ ; pour rappeler ce fait nous dirons que, dans le cas où Ton suppose Ao — 0, le cercle est évanouissant.