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font connaître les coordonnées d'un point quelconque de celle droite A et si nous voulons déterminer l'intersection de A, el de la courbe (1), nous aurons, pour déterminer p, l'équation :
ÉTL'DE ANALYTIQUE DU CERCLE lio
Mais on a :
et la formule (i) devient :
(K) r[x,,y^) -4- ? (a/-;^ + ^/J + V (Aa* 4- A'?' H- -iB" x^)-o.
Celte relation remarquable est susceptible^ dans le cas du cercle, d'une simplification notable, et qui résulte des con-
ditions : A = A' zr . L'égalité f K) s'écrit alors :
cosO
/■(^o, Vo) + ? ( Vi, + i^flj,) +A?* (r -f- îi* + uaji cos e) =0.
Mais on a {i 49) :
a* + ?*-*-2a3cosÔ= I, el, par suite, /
Ap" -h p (a/;, + 3/-;j 4- nx,, yo) = o.
Cette relation prouve que le produit des segments MA et MB, esl égal à - — ^^ ; c'est une quantité indépendante de la di-
reclion donnée à la transversale A ; elle est donc constante, quand A tourne, comme nous Pavons supposé, autour du point (Xo, yo).
91. Axes radicaux. — Théorème. Le lieu géométrique des poinU qui ont la nvéïiie puissance par rapport à detu: cercles \ y A,, est une droite ; cette droite est nommée l'axe radical des deux circonférences.
Soient, en adoptant la notation abrégée,
U zz o, V iz »,
les équa lions des deux circonférences proposées ; À, et A, les coefficients de j;* dans ces équations; soient enfin x^, y» les coordonnées d'un point M d'égale puissance par rapport à A, , et A,. Nous venons de reconnaître que la puissance de M par
rapport a A, était égale à--^ , en désignant par Uo ce que
Al
devient U quand on y remplace x, et y, par x^ el y^. Nous avons donc Tégalité,
Le A.
En
rendant les
coordonnées courantes»*,
nous
obtenons
réquation du lieu :
C'est réquation d'utfie droite, parce que les ternies du second degré disparaissent dans les deux membres.
019. Centre radical* — Théorème* Les axes radicaux de trois cercles^ considérés deux à deuXy concourent en un même point; ce point est nommé le centre radical des trois circonférences.
Soient ;
Uno, V=o, \Vz:o;
les équations des trois cercles donnés; celles des axes radicaux sont^ d'après ce qui précède,
Ces trois droites sont concourantes ; car, en ajoutant les trois équations précédentes, on a une idenlité.
98. Théoréne. Detix cei'cles situés dans le même plan n'admettent que detuc points communs^ à distance finie. Soient :
(i) • Urzo, V=o,
les équations des deux cercles considérés. Ces deux éq[uations sont Tune et l'autre du second degré : nous avons montre, en algèbre^ qu'un pareil système admettait, en général, quatre solutions. Mais, le système (i) est équivalent au suivant :
