TT U V
et celui-ci étant constitué par deux équations, Tune du premier, Tautre du second degré, on voit qu'il n'admet que deux solutions.
Deux circonférences ont donc seulement deux points communs, réels, imaginaires, ou coïncidents, à distance finie, points situés sur Taxe radical. Nous ferons valoir plus tard (S 266) les considérations qui ont fait admettre que toutes les circonférences d'un plan passaient aussi, d'une façon imaginaire, par deux points fixes de ce plan, situés à l'infini, qu'on a nommés les ombilics du plan (*).
94. CTereles ortliosonainK. L'étude analytique du cercle rentre trop directement dans celle des courbes du second degré, qui nous occupera plus loin, pour que nous nous arrêtions ici à la démonstration de propriétés qui appartiennent à toutes les courbes du second degré, et au cercle, particulièrement. Nous avons indiqué dans les paragraphes précédents quelques théorèmes qui sont vérifiés dans le cas du cercle, mais qui cessent d'être vrais pour les courbes qui correspondent à l'équation générale du second degré. Nous chercherons encore, en terminant cette étude particulière du cercle, la condition d'orthogonalité de deux cercles.
1. Cette déDominatioQ est due à M. Lagaerre. Ces points sont aussi appelés poin^jr drctilûireify à Vinfini, sur te plan et points cycliqua du pfan.
118 NEUVIK.ME LEÇON
On dit que deux courbes U et V se coupent orthogonalement an point M, lorsque les tangentes en ce point sont rectangulaires. On voit, immédiatement, que dans le cas de deux cercles dont les centres sont 0 et O', la condition nécessaire et suffisante pour qu'ils se coupent orthogonalement, au point M, est que le triangle OMO' soit rectangle.
Prenons des axes rectangulaires, et soient :
(U) 07* + y' -I- îsAa? 4- aB^/ -hC =: o, (V) .r'4-.v'-h«Vir-|-2B'y+r/=o:
les équations des deux cercles proposés. Soient aussi a,^ ; x^', les coordonnées des centres 0 et 0^ En désignant par R et R' les rayons des cercles considérés, les équations de ces cercles sont :
(f) (x-^r-h(y-?ri=ir,
En comparant U et U', nous avons :
(i) —azzA, -g = B, et R«=:A'-hB* — C. Les équations (V) et (V) donnent, de môme,
(2) — a'ziA', — lâ'nB' et R'' = A'*+ B'* — C. Ceci posé, le triangle O'MO' étant rectangle, nous avons,
ÔÔ''r=ÔM*-f-0¥*, ou,
(3) (a-a')*-h(g — g')' = R'^-K'^ Les relations (1), (a) et (3) donnent la condition cherchée :
(4) 2AA'4-2BB' = C-f-C'.
9&m €>ewele orthotomiqae. On nomme ainsi celui qui coupe orthogonalement trois cercles donnés. Soient, dans la notation abrégée,
P = o, Q z= o, R zr (I
iift
les équations des trois cercles donnés. Nous supposons les axes rectangulaires et nous avons :
Soit :
l'équation du cercle cherché, la relation (4), établie au paragraphe précédent, donne :
S/.A -1- 3itB — V — C = 0,
iXA'+2;AB'— V — C' = o,
aXA'-l- ajiB' — V — C = o.
Les équations (i), (2), (3) et (4) linéaires en a , i^ , v donnent, par élimination de ces paramètres,
zzo;
c'est réquation du cercle orthotomique.
On peut donner à cette équation une forme remarquable, qne nous allons indiquer.
Multiplions la deuxième colonne par x, la troisième par^ el retranchons, de la première, la somme de ces deux colonnes ainsi modifiées. L^uation (5) devient :
c — A.T — By
C — A'ir — B'y
ZZ o.
Ajoutons maintenant la première ligrte, successivement,
aux autres lignes^ nous obtenons le résultat suivant :
C — Aa; — By
k' Arx
Cette relation peut encore s'écrire sous la forme :
kx k'x
By-hC k-k-x BH-y B'y + C k' + x B'+y
ou, en supposant que les équations proposées sont homo gènes.
C'est la forme remarquable que nous voulions donner à l'équation (5).
•1. On donne un cercle rapporté à un diamètre ox^et à la tangente à l'une dex extrémités 0 de ce diamètre. Soit 0' l'autre extrémité, et A la tangente en ce point ; par 0 on mène une transversale mobile^ qui rencontre le cercle en m, et A au point A : Démontrer que si Von prend AM =: wA, le lieu du point M est une courbe ayant pour équation :
Construire la tangente en un point de cette courbe par la méthode des trunsversales réciproques.
E3CERGICES
Ul
t. Démontrer que si 0 est V angle des axes, la condition pour que les detix rtrden qui correspondent aux équations :
X* + y* -{• nxy cos 0 a;' H- y* H- 2 J7y cos 6
2By + 2B'x 4- A" = o, 26y -\- 9.Vx -ha" znoy
mmt orthogonaux, est :
