DEUXIEME. LIVRE

THÉORIES OÉNKRALKS RKI. VTIVKS MX COlRDES PLANES

M* EqBalloii de la tentante en un point donné '■■e eoarbe ali^ébriqne.

Soit :

i équation, sous la forme entière et homogène, d'une courbe U,

^egré tn. Prenons sur cette courbe un point M ; nous dési-

giierons les coordonnées par Xo, yo, ^o» et nous supposerons

^ les fonctions /'x, /y, /"^ ne s'annulent pas, simultanément,

Huand on y remplace x,y,Zy par Xoy Po et Zo. Nous réservons

s particulier et nous examinerons, uniquement, les points

^^ îïe présentent pas la singularité en question ; nous les

^Y^^^^.* des points simples. Joignons le point M à un

^ voisin R, de la courbe U et prenons sur la droite MR

poml K, point arbitrairement choisi et dont les coor-

*^«"eessonia:„y„,..

DIXIÈME LEOON

Les coordonnées x, y^ z de R sont données par les formules :

et nous avons pour déterminer X, la relation :

(1) f{x^ H-/.r,, y„ + Xy,, ^^ + X^,) n o.

Développons le premier membre par la formule de Taylor ; le premier terme f{x^, y», ^o) étant nul, puisque M appar-

FiK 49-

tient à la courbe, nous pouvons diviser la relation (0 par X et nous obtenons, finalement, l'équation :

Supposons maintenant que le point R se rapproche indé* Animent du point M et vienne se confondre avec lui ; par définition, la transversale mobile A a pour position limite une droite A ' qui est la tangente à la couri}e U, au point H.

Quant au point A on p3Ut imaginer, pour fixer les idées, qu'il reste toujours à la même distance du point M et il a pour position limite un point A', bien déterminé, point dont nous désignerons les coordonnées par X, Y, Z.

L'équation (2) qui est du degré (m — 1) a donc une racine nulle quand nous remplaçons x^,y^,z^ par X, Y, Z. Nous avons donc, entre ces coordonnées^ la relation :

(T) Xf'^^-hYri + Zn^^o.

Puisque la distance A'M est arbitraire, cette égalité est vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de A', et elle n'est pas identique puisque nous avons admis que Ton n'avait pas, simultanément,

Via relation (T) représente donc Téquation de la tangente au point M.

99. Ikutre forme de Téquailon de la tangente. L'iden* lilé d'Euler donne :

et comme f(xo,yoy^v) est nul, on a :

En combinant cette égalité avec l'équation T, et en observant que les termes z/^ , Z^^ disparaissent, on a :

(X-xg/-;^-h(Y-yo)4 = o.

C'est une seconde forme de Téquation de la tangente, forme qui peut être commode dans certains exemples et qui, comme nous allons le montrer, s'applique à toutes les courbes, algé briques ou transcendantes.

Désignons en effet par F {Xyy)^o Téquation en coordonnées cartésiennes de la courbe U ; soient Xo y» les coor-

données du point M ; o^o -h Ajt:„, y^ + A^o celles du point voisin R. L*équation de la droite A, droite qui passe par ces deux points, est :

Ai/«^ ^

Si nous supposons que le point H se rapproche de M el

vienne se confondre avec lui, le rapport -^ a pour valeur ii-

Aic„

mite celle de la dérivée de y quand on y remplace j; et ^ par

^'o el ^o* Nous avons donc :

y — yo = y[ [^ — -t^o).

D^aulre part, la relation connue :

Fi + y'F;s:o, donne :

et nous obtenons, finalement, Téquation de la tangente suus^ la forme :

08« Appli€$atlon ans: courbes du seeond depr^. — 'Iliéorénie. Dans les courbes du second degré, V équation de la tangente au point x^y^Zo, peut s'écrirCy indifféremment^ sous Vune eu Faul^^e des formes suivantes :

oo/x-^yJl + Zof^ — i).

En effet, on vérifie immédiatement, pour la forme homogène du second degré f{x,yyZ), l'identité :

LES TANtiENTES 127

Nous rappellerons, à ce propos, que cette identité n'est qu'un cas particulier de celle que nous avons établie en algèbre, dans Tétude des formes quadratiques (Alg., § 349).

99. Classe d^une eoorhe d'ordre m. On appelle classe d'une courbe plane le nombre de tangentes que Ton peut mener à cette courbe par un point quelconque de son plan. Nous allons démontrer que la classe d'une courbe d'ordre m est, généralement, égale à m (m — 1 ).

Soit :

réquation d'une courbe algébrique, du degré m ; la tangente T au point {x„yy„,Zo)y pris sur cette courbe, a pour équation :

Écrivons que T passe par un point S (.r, , t/^ , 2,) et nous aurons pour déterminer a:„, j/o, Zo, les deux équations :

( * ) ^i/lc^ -r y/y^ + ^fz^ = <»>

Si, dans ces équations, nous faisons ^o = S nous obtenons deux équations en x^ et y^ Tune du degré m, Tautre du degré (wi— i) : or, nous avons vu en algèbre que deux équations de degré p e\ q avaient généralement pq solutions, et n'en avaient jamais davantage. Il y a donc, d'après cela, m (m— 1) tangentes issues du point S à la courbe proposée ; du moins, il y en a en général m{m — 1). et, dans tous les cas, il y en a m [m — 1), tout au plus.

190. Corollaire. Les courbes du second degré sont des courbes de seconde classe.

En effet, si m =: 2, on a m (m — i) r: 'x.

191,Tan§^ntesparalléles A une dlreetlon donoée.

L'équation (i), précédemment obtenue, étant écrite sous la forme :

on a, à la limite^ x croissant indéfiniment,

et les coordonnées de point de contact des tangentes parallèles à la direction donnée sont déterminées par les deux relations :

(2') A^o,yo,2o) = o.

Le nombre de ces tangentes est, en général, m (m — 1) ; il peut, dans des cas particuliers, être inférieur à ce nombre ; mais il n'y a jamais plus de m (m — 1) tangentes parallèles à une direction donnée, dans une courbe de Tordre m.

109. Équation générale des tanf^entes dont le coefficient ang^ulaire est donné.

Soit /*(x,y) n: o Téquation de la courbe proposée U ; nous nous proposons d'indiquer ici une méthode qui permet de trouver la condition que vérifient les paramètres 7/e, n, quand la droite A, qui a pour équation :

est tangente à U.

L'équation :

(1) f(x,mx-hn)=:o,

donne les abcisses des points communs à A ei à U ; si A est une droite tangente à U, celte équation a nécessairement deux racines égales. Nous verrons, dans Tétude des points singuliers, que la réciproque n'est pas exacte et qu'une droite qui rencontre une courbe en deux points coïncidents n'est pas nécessairement tangente à cette courbe. Quoiqu'il en soit, en exprimant que Téquation (1) a deux racines égales, on obtiendra une relation :

qui est vérifiée par les paramètres m, n des équations de tontes les droites tangentes à U et dont le coefficient angulaire est égal à m.

Application* Nous ferons, peut-être^ mieux ressortir cette méthode en l'appliquant à un exemple particulier. Considérons la cubique (^), dont Féquation est :

Noiis ayons, ici^ à exprimer que l'équation :

x' — {mx -j- n)* — o,

aune racine double. En supposant n=:o, Téquation à deux racines égales à zéro ; c'est là une solution singulière et qui lient à ce que toute droite menée par Torigine rencontre la courbe en deux points coïncidents. En posant :

mx-\-n on obtient Téquation suivante :

wX'-t-wX — 1 1=0, et la condition cherchée 9 (m,n) = o est, dans cet exemple,

4m' + 2yn zz o.

L'équation générale des tangentes est donc :

y -=. mx .