Condition pour que deux CM»urbes soient tan
Soient deux courbes U et V, dont les équations sont :
f[x,y,z)zzoy F(a?,y,j)=o.
1. Pour la commodité du langage, nous appellerons qnelquefois cu/i/^u^, une courbe du troisième degré ; de mênie» le mot quartique désignera une coarbe du quatrième degré. Enfin, nous donnerons le nom de coniques, aax courbes du second ordre ; la raison de cette dernière dénomination sera donnée plus tard.
De L. Tomb II. 9
On dit que ces courbes sont tangentes au point M {x^^yoyZ^ lorsqu'elles admettent la même tangente en ce point. Il résulte de cette définition que les deux équations :
représentent la même droite. On a donc :
^ rk 4 ^'-o
En exprimant que les équations (i) et (2) sont vérifiées par (^o»yo,2o), on a encore les conditions suivantes:
(4) xj'^^-hyjy^-^zj'.^zzo,
Les relations (3), (4) et (5) nç sont pas indépendantes et Ton voit comment Tégalité (5) est dépendante des relations (3) et (4).
En faisant i^o = * > et en éliminant Xo el yo entre (3) et (4), on obtiendra la condition cherchée.
Autrement. Deux courbes tangentes peuvent être considérées comme deux courbes qui ont deux points communs coïncidents ; ce point commun n'étant pas Tun de ces points singuliers dont nous avons réservé Félude.
En partant de cotte remarque^ on aboutit à une méthode, ordinairement plus simple, et donnant lieu à des calculs moins compliqués que la méthode que nous avons d^abord exposée.
Soient :
les équations proposées. En éliminant z nous obtenons une équation homogène en x et y,
qui, comme nous l'avons montré (§ 82), représente le faisceau des droites qui joignent L'origine aux points qui sont communs à U et à V. Il suffit donc d'exprimer que cette équation a une racine double. La condition trouvée par cette méthode est une relation nécessaire, mais elle n'est pas suffisante (^).
IIM. Condition pour qa*unc droite soit tang^ente à uae c€Nirbe. Dans le cas où Tune des courbes U considérées tout à l'heure, se réduit à une droite A, il suffit d'identifier, avec l'équation de A, celle de la tangente à V, au point
Nous donnerons ici une application, aux coniques, de cette idée générale.
Suit :
(1) Ax' -h\'y*+ A." z^ + 2Byz-h 2Wzx -h ^B"xy -o,
l'équation de la courbe, et,
(2) UX + vy-^-wzzzoy
celle de la droite. La tangente au point [Xo.yo, z^ a pour équation :
(3) X (Axo + B>o 4- B%) -h y {b' x^ H- k'y, 4- B^o.
En identifiant (2) et (3), on a :
Aa:o-4-B^yo+B'^o Wx,+k'yo + \\Zo Wx^-^By^+k" z, u ^ V "^ w '
Désignons par ( — ).), la valeur commune de ces rapports et nous avons les relations suivantes :
(4) kx, 4- B>o + B'5„ + u\ - o,
(5) B^Xo-f- A'i/o -h B:;„ 4- v\ n o,
(6) B'Xo + Byo 4- A'' z^ + w\ - o .
I . Pour citer un exemple d'exception, on voit que si, parmi les points Gonimans, deux sont situés en ligne droite aver l'origine, la relation' est vérifiée.
Multiplions maintenant ces équations, respectivement, par ^0 9^0 1 ^o> et tenons compte de la relation :
nous obtenons :
(7) uxo -h y^o ■+■ y^^^ = 0 .
Les relations (4), (o), (6) et (7) donnent, par élimination des paramètres 0:0^02^0 et X
xo
A désignant le discriminant de la forme ternaire.
10&. Idée des cMiordonnées tang^entielles. Lorsqu'une droite ayant pour équation : uX'^i^y-\-xoz n o, est constamment tangente à une courbe U,les paramètres w,v,i(> vérifient constamment une certaine relation 6(i«, v, z^j) = o. Dans cette relation, pour des raisons évidentes, et qui découlent de la méthode que nous avons indiquée tout'à riieure. Le premier membre est une fonction entière et homogène des lettres
Nous dirons que Uy v, w sont les coordonnées tangentielles de la droite A, et Téquation 6 (m, v,î/?) — o, sera dite Téquation tangentielle de U. Cette équation est d'un degré égal à la classe de la courbe considérée.
Quelquefois on suppose ti; =— i, hypothèse permise puisque les équations trangentielles sont homogènes ; les paramètres M et t) représentent alors les inverses dés coordonnées à Torigine de la droite A. En représentant par :
l'équation de cette droite, Téquation tangentielle est alors une relation entre p et q.
D'après ces explications, réquation (A), trouvée plus haut, est réquation tangentielle des coniques.
fOB. Monnaie. La normale en un point M, (0:0,^0,2:0) d'une courbe U est la perpendiculaire à la tangente, en ce point H.
L'équation de la tangente étant :
celle de la normale sera donc, en supposant les axes rectangttlaires,
1 09. Sous- tangente. Si Ton considère un point M, sur une courbe U, on nomme sous- tangente la distance qui sépare le pied de l'ordonnée du point de rencontre de la tangente en M^ avec Taxe des x.
U faut ajouter, pour que cette valeur soit bien définie, que la sous-tangente se porte à partir du pied de l'ordonnée, dans le sens positif ou négatif de ox, suivant qu'elle est positive ou négative.
Soit U la courbe proposée, ¥{x,y) z=, o son équation ; soient 0:0,^0, les coordonnées d'un point M de cette courbe. La tangente, en ce point, a pour équation (§ 97) :
[x — Xo) Fi^ -h (y — Vo) fJ^ = o.
Faisons y^=:o, nous avons :
En désignant par t la sous-tangente, ^peut donc se calculer par la formule :
yo
Celte formule est générale et convient à toutes les dîsposilions que peuvent affecter la courbe et les axes de coordonnées; elle représente toujours, en grandeur et en signe, la
Fig. :V.
sous-tangente, pourvu que Ton n'ait pas, simultanément, F^ :z: o Fy = 0. Mais si ces deux relations sont vérifiées, en
mettant Téqua tion donnée sous la forme homogène f{Xyy, s) — o , on voit, en utilisant l'identité d'Euler, qu'au point M les trois
dérivées partielles f^, f'yy /*!, sont nulles. C'est le cas singulier qui a été réservé au début de cette leçon.
Cette exception étant faite, on peut dire que la formule (B) peut quelquefois donner par i une valeur nulle ou infinie, mais qu'elle ne fournit jamais une expression indéterminée.
lus. ISons-normale. La sous-nonnale est la dislance qui sépare le point de rencontre de la normale avec Taxe des x\ du pied de Tordonnée.
Lorsque la sous-normale est positive, elle est comptée à partir du pied de l'ordonnée dans le sens négatif de l'axe ox ; ou inversement.
LES TANGENTES i35
L*équalion :
Vo
donne, pour y — o,
x-Xç,— — y^^,
ou,
AN = yo -r • F
En désîgnnnt la sous-normale par 8, on a donc :
Il esl facile de vérifier que celle formule est générale. On remarquera, enfin, que les formules (B) el (C) donnent la relation é^denle :
lOO.TaDg^entes communes A deox cniarbes* Soient :
f, {XyV.z) zz o, /; (x,y,z) zz o ;
les équations des deux courbes proposées lJt,l\' En exprimant que la droite qui correspond à Féquation
vx-hvy -hwz zz o,
esl tangente à Uj et à U„ nous aurons deux relations homogènes :
ce sont les équations tangenlielles des courbes considérées.
Si Ton peut trouver une solution w',v',t^', de ces équations, la droite dont Téquation est :
est une tangente commune à U, et à U,. On remarquera que si U, est une courbe de classe jp, et U, une courbe de classe g, les équations tangenlielles sont, respectivement, de degrés p et q et le nombre des tangentes communes est, en général, égal à pq.
Le problème des tangentes communes est plus particulièrement simple dans le cas où les courbes proposées sont des cercles. Des considérations géométriques, bien connues, indiquent que les tangentes communes passent, deux à deux, aux points qui divisent la ligne des centres dans le rapport des rayons. Ces points se déterminent facilement par les formules U (§ 67) et, après avoir calculé leurs coordonnées, on écrira, en utilisant une formule que nous verrons bientôt, et qui est relative au faisceau des tangentes issues d'un point à une conique, deux équations du second degré, qui représentent les deux groupes des tangentes communes aux deux cercles proposés.
4. On considère un parallélogramme ABCD, par le point C on mène une transversale mobile qui i^ncontre AB en 1^ et AD en Q ; sur PC e< PD comme diamètres, on décrit des cercles A, A' ; trouver le lieu décrit par le centre de similitude de ces deux circonférences,
Od trouve facilemeot, en s'aidaat de considérations géométriques, qae le lieu demandé est une droite passant par le centre du parallélogramme ABCD.
5. Étant données les équations de deux courbes, dans un système de coordonnées u,v; qu*on ne définit pas ,
/•(w,t)) = o, <?(tt,v) = o;
trouver la condition gîte doivent vérifier les coefficients qui entrent dans ces éqttations pour que les deux courbes soient tangentes.
On considère deux solutions de ces équations,
en appliquant la formule de Taylor, on trouve que u et v doivent vérifier les équations proposées et ausi>i la suivante :
lu ?«
S. Trouver la condition pour que la droite qui a pour équation :
ioU tangente à Vune ou Vautr/f des courbes qui correspondent aux équations mvantes :
On trouve les résultats ci dessous :
L'équation générale des t.isigentes est :
L'équation générale des langeutes est :
