AA' + BB

relation que nous avons trouvée déjà (§ 94), par une méthode dlfféreule.

Une marche toute semblable à celle que nous venons d'indiquer conduit, daus le cas où les axes de coordonnées font un angle quelconque 0, à la condition suivante :

AA' + BB' - (AB' -h BA') cos 8 zz ^^^^ sin*e.

IIO. DéOnitions. Soit f{Xyy,oL) — o réqualion d'une courbe U, renfermant un paramètre variable a. Nous supposons que /■ désigne une fonction entière ou, dans tous les cas, une fonction continue et bien déterminée, A chaque valeur allribuée à a correspond une courbe F^,; et quand a varie on

a un réseau de courbes. Prenons dans ce réseau deux courbes F , F I ^^; elles ont, en général, un certain nombre de points

communs. Nous distinguerons l'un d'eux en particulier; soit M^^ ce point.

Imaginons maintenant que a ayant une valeur fixe on donne à A des valeurs variables et qui décroissent au delà de toute

limite ; le point M^^ se déplace sur la courbe F et, quand A

est nul, il vient occuper une position limite M .

Le lieu de ce point M , quand a varie, est une courbe V qu'on

nomme Venveloppe du réseau U. On verra tout à Theure la raison de cette dénomination. Ajoutons encore que chacune des courbes U est dite une enveloppée,

11 !• Théorème. L'enveloppe d'un réseau correspondant à Uquation f{Xjy y o[)zzo y s'obtient en éliminant le paramètre variable a, entre l'équation donnée et la dérivée de celle-ci, dérivée prise par rapport à a.

Les coordonnées du point M^^ vérifient les deux équations :

(2) /(a;,y,a-hAa)r:o; et, par suite, la relation suivante :

.^x /'(ar,.v, aH- Ag) — f(x,y, a)

Imaginons maintenant que Aa tendent vers zéro ; le point M^^ a pour position limite le point M^ dont nous cherchons le

lieu géométrique. Les coordonnées de ce point vérifient donc : 1° réquation (1); 2* Téquation (3), quand on suppose Aa zn o. Or, cette dernière équation devient, quand Aa est nul,

Le lieu du point M^, Tenveloppe du réseau, aura donc pour

équation le résultant des équations (1) et (4).

119. Cas de deux fiaramètres variables. Assez souvent, le réseau proposé est défini par une équation :

(1) f{x,y,0Ly6) = o,

renfermant deux paramètres variables a, 6; les paramètres vérifiant constamment la relation :

Si entre (1) et (2) on peut éliminer 6, on revient ainsi au cas que nous venons d'examiner. Mais cette élimination peut présenter des difficultés ; on Tévite en raisonnant comme nous allons le faire.

On peut considérer 6 comme une fonction de « et Ton a, par application du théorème des fonctions composées.

D'autre part, la relation (2) donne :

Ces deux dernières égalités donnent, par combinaison,

L'équation de Fenveloppe s'obtiendra en éliminant les paramètres variables a, 6 entre (1), (2) et (3).

Ainsi : dans le cas où le réseau considéré est déterminé par une équation renfermant deux paramètres variables a , 6 vérifiant la relation ç (a , g) zr 0, il faut adjoindre au système donné une troisième équation qui s'obtient en écrivant que les dérivées partielles des deux équations proposées, dérivées prises par rapport aux paramètres variables, sont proportionnelles.

Véquation de V enveloppe se trouve en éliminant les paramètres a, 6 entre les deux équations données et Véquation adjointe dont nous venons de parler.

113. Examen da cas 'i^énéral. Les deux cas que nous venons de considérer sont ceux que Ton rencontre le plus ordinairement. Nous examinerons pourtant le cas général^ celui où l'équation renferme p paramètres variables, vérifiant (p— *) équations de conditions. Désignons par X, ,X,, ... \ les paramètres variables, et soit :

Téquation d*une des courbes du réseau. Les paramètres variables X, satisfont aux égalités suivantes :

<Pp-i-lCX,,A,, ... Xp) — 0;

et ron peut considérer X, , . . . \ comme des fonctions de la variable indépendante X,. Le théorème des fonctions composées donne :

?Î,X, + ^^2?!,)., + ••• + Vl.>n — "'

?i;-i,x, -^ ^^i?r-i .X, + ••• + '^/)?/)-i,x^ — " î En éliminant X^, ... X^ entre ces équations linéaires on a :

C'est l'équation qu'il faut adjoindre au système proposé pour obtenir Tenveloppe par Télimination des paramètres variables X.

114. Théorème. L enveloppe est tangente aux enveloppées auœ points qui lui sont communs avec ces courbes.

Soit /* (a:, y, a) =:o Téquation d'une enveloppée LJ ; celle de l'enveloppe V est le résultant des deux équations :

Désignons par ic,y , les coordonnées du point M^, point que

nous avons défini précédemment. La tangente à U, au point M , a pour équation :

(X-a;)/-;(x,y,a) + (Y-2/)/';fx,y,a)zio.

Pour obtenir maintenant la tangente à la courbe V, au point M , on peut prendre les dérivées partielles, du premier membre

de l'équation (i), par rapportât et à y, en considérant a comme

nnejpnction de x et de y définie par (a). Le coefficient angulaire de la tangente à Y est donc :

En tenant compte de (2) on voit que ce rapport est égal à :

'y L*équation de la. tangente à V, au point x,y , est donc :

C'est réquation déjà trouvée pour la tangente à Tenveloppée au point M^^. La propriété énoncée se trouve établie ; elle

justifie la dénomination d'enveloppe et d'enveloppées> que nous avons adoptée.

11&. Problème. Étant donnée réquation tangentielle (tune courbe^ trouvet^ son équation cartésienne.

Nous avons déjà expliqué (§ to4 et io5) comment on passait d'une équation cartésienne à une équation tangentielle; nous nous proposons ici la transformation inverse.

Soit:

(i) o(u,v,io)=:n,

réquation tangentielle d'une courbe U. Nous supposons que U est tangente à la droite qui a pour équation :

(A) ux + oy -h wz — o ;

pour toutes les valeurs de UyV,w qui représentent une solution de l'équation (1). Si nous cherchons l'enveloppe de A, nous obtenons une équation cartésienne.

(2) F(a;,y,3) — 0, c'est l'équation cherchée.

En résumé, toute courbe peut être considérée comm^renveloppe de ses tangentes et Ton passe précisément de Téquation tangentielle à Téquation cartésienne, en cherchant celte enveloppe.

1 IG. Exemples d'enveloppes. L*équation de l*enveloppe s'obtenant en éliminant a entre les deux équations :

on peut dire que cette élimination revient à exprimer que réquation proposée admet une racine double en a.

Nous allons appliquer celte remarque à quelques exemples simples.

1® Le paramètre <x entre au second degré. On peut toujours écrire l'équation sous la forme :

Pa« + Qa + K iz (),

P,Q,R désignant des fonctions entières d'icetdV- L'enveloppe a pour équation :

2^ Enveloppe des courbes qui ont pour équation :

P sin (p + Q cos !? -I- R = o,

ç désignant le paramètre variable.

On doit, dans cet exemple, éliminer 7 entre cette équation et la suivante :

P cos ç — Q sin <f = 0, le résultat est, par une combinaison évidente,

On peut d'ailleurs ramener ce cas au précédent en posant :

'Il

sin o zz

COS 9 = ; r.

On obtient une équation du second degré en t et, en écrivant qu'elle a ses racines égales, on retrouve la relation précédente.

3** Trouver V enveloppe du réseau défini par V équation :

Ptgç+Qcolg?=:K,

j étant un paramètre variable.

£n posant tg 9 = 0, on a :

PO*— RO + Qrro.

L'enveloppe a donc pour équation ':

R« — 4PQ=o.

4® En désignant par 9 un paramètre variable^ trouver l'enveloppe du réseau qui correspond à Véquation :

4— -^-Mi=:o.

sin 9 cos 9

Dans cet exemple^ comme dans ceux qui précèdent, il est sous-entendu que P, Q, R désignent des fonctions entières, ou, dans tous les cas, des fonctions continues et bien déterminées d'à; et d'^. En prenant la dérivée de l'équation, par rapport à 9, on a d'abord :

P cos 9 0 sin 9 1 ^: o^

sin* 9 cos* 9 ou,

sm 9 cos 9

en désignant par X la valeur commune de ces deux rapports On a, par une première combinaison,

Di L. Toac U. lo

D autre pari, on peut écrire la relation (i), sous la forme

__sin(p__cos? — R

D'où Ton conclut

(p' + UV =u',

ou, enfin,

11 V, Méthode g^éométriqae pour trouver les enveloppes. Dans la méthode que nous voulons indiquer, on considère deux courbes voisines du réseau donné et Ton cherche leurs points communs ; observant Tun d'entre eux, particulièrement, on cherche quelle est sa position limite quand les deux courbes viennent se confondre. Si Ton peut déterminer cette position, d'une façon précise, on cherchera le lieu de ce point. Le problème proposé se trouve modifié dans sa forme, et il est ainsi ramené à un lieu géométrique ordinaire, lieu dont la recherche peut, dans certains cas, être très simple.

Donnons un exemple de cette manière de faire en cherchant Tenveloppe des cercles qui ont leur centre mobile sur une ellipse donnée et qui passent constamment par un des foyers F, de la courbe.

Prenons sur Pellipse deux points voisins M, M' et soient A et A' les cercles décrits, de ces points comme centre, respectivement avec MF et M'F pour rayons; A et A' auront un second point commun A symétrique de P par rapport à la

décante MM'. Imaginons maintenant que M' vienne se confondre avec M ; MM' devient une droite A tangente à Tellipse au point M et la limite du point A est bien déterminée^ c*est le point A.' symétrique de F, par rapport à A. On sait que le lieu du point A' est le cercle directeur ayant son centre au second foyer F'.

Fig. r>i.

Nous aurons occasion de revenir dans la suite de ce cours sur les enveloppes, notamment quand nous chercherons les développées^ courhesqui sont ïenwéloppe des normales; mais avant de quitter ce sujets nous donnerons encore le théorème suivant, théorème qui est fondamental dans la théorie dus coniques.

118. Théorème. La droite qui joint les points coirespondants de deux divisions homographiquesy enveloppe une conique.

On sait que si Ton considère deux droites A, A'; sur ces droites des origines «o et (o'; deux mobiles M et M^ décrivent sur A et A' des divisions homographiques lorsque les distances ù)M=w,w'M' zz t), vérifient constamment la relation

xHV + &<* + V^H- î — o.

Ceci étant rappelé^ supposons d'abord que les droites A et A' se coupent en un point 0 et prenons-les pour axes de coordonnées; la relation homographique subsistant évidemment, quand on transporte les origines o) et (i>^ si Ton pose

OMnU, OM'izV,

on a constamment :

(i) aUV4-6U-4-cV-hc? = o.

D'ailleurs l'équation de MM' est

Entre (0 et (2) éliminons V, nous obtenons d'abord la relation

- U* {ay + 6) + U (cy — to -4- d) — dx zz o.

L'enveloppe a donc pour équation (§116) :

{cy — bx-h df -h Adx (ay + b)^o.

C'est une équation du second degré qui peut encore s'écrire

{cy -{-bx-h dy = ixy [bc — ad).

Sous cette dernière forme on voit que la courbe est tangente aux axes de coordonnées.

Le cas où les droites A et A' sont parallèles peut se ramener au précédent en prenant l'une des droites pour axe des j? et la droite MM' dans une position particulière pour axe des y. On peut aussi, dans le cas général, traiter la question directement, et très simplement, en prenant pour axe des y la droite qui joint les deux points o) et (o', points tellement choisis que le produit <oM. w'M' soit constant.

i» Trouver l'enveloppe dune droite mobile, sachant que le produit de ses dittances à deux points fixes A^A^ eft constant et égal à b*.

En posant AA' = aa, on trouve l'ellipse qui a pour équation

kk' est pris pour axe des x et la perpendiculaire au milieu de Ak', pour axe des y.

ft. Trouver V enveloppe des droites qui forment avec deux droites fixes ox, oy un triangle de surface donnée.

3. On considère la cubique qui a pour équation : y*x =iit on prend sur cette courbe un point quelconque yi^ soient MA cl MB ses coordonnées. Trouver l'enveloppe des droites AB.

On trouvera pour l'équation de cette enveloppe :.y*r = ~ .

La même question, appliquer aux courbes dont los équations sont respectivement,

2/* — ic'zio, y — x'=io, donne les résultats suivants:

4x* — 27/ =. o, 4x''h i-jy z= o.

On pourra remarquer que ces difft'Tentes équation^ rentrent dans le type suivant :

et le calcul donne pour l'enveloppe des droites AB, définies comme il est dit dans l'énoncé ci-dessus, l'équation :

4. Par un point M supposé mobile sur une parabole P, on mène une perpendiculaire A, à la droite qui joint M au sommet de la courbe: trouver Venveloppe des droites A.

On trouve :

119. Définition. A Télude que nous venons de faire, dos tangentes aux courbes planes, se rattache, d'une façon très étroite, celle des polaires.

Imaginons, sur une droite A, une origine P et m points A,, Aï, ... A^; considérons aussi sur cette même droite un point A, tellement lié aux précédents que Ton ait :