PA/PA,' -PA

si Ton convient que x^,y^,z^ représentent les coordonnées du

point 1.

En égalant à zéro les coefficients des termes en >."*"*. ... X ; on obtient les (m— 1) polaires du pôle P. En particulier, la dernière polaire s'obtient en égalant à zéro le coefficient de X ; l'équation cherchée est donc :

On peut donner à ce résultat une forme plus remarquable. Développons l'équation (2), par la formule de Taylor, mais en l'écrivant d'abord sous la forme :

/•(Xa;, + Xo, Xy, + y^, Xs^ -4- Zo) = o ; et en tenant compte de l'homogénéilcs nous avons :

154 DOUZrÈME LEÇON

L*équation de la dernière polaire est donc.

C'est la forme que nous voulions obtenir.

199* Théorème. La dernière polaire du point P passe par les points de contact des tangentes issues de ce point à la courbe considérée U.

Soient X, Y,Z, les coordonnées du point de contact M, d'une des tangentes issues de P, à la courbe U. L'équation de la tangente en ce point est :

^f'n + yfx + ^fz-''' Cette droite passant par le point j:o, ^0,^09 on a donc :

(1) Xof'^ H- yof^i -h z^fj, m o.

D*autre part, on vient de voir que Téqualion de la dernière polaire était :

La comparaison des égalités (i) et (2) établit la proposition énoncée.

11S^4. Faisceau des tang^entes Issues d'un point P

^ une courbe U. Soient rro,^o,:?o les coordonnés du point P, Tinterseclion d'une transversale A passant par ce point, avec la courbe U, est déterminée par l'équation:

f[Xo H- Xa;, , y^ + Xy, , Zo + X2,) = o.

Si la droite A est tangente à U cette équation admet pour X deux racines égales. En exprimant cette condition^ par une des méthodes qu'indique l'algèbre, on obtiendra une relation :

<^ {Xo,yoyZo\x,,y,yZ,) —o.

Cette égalité est vérifiée par les coordonnées x^.y^^z^ d'un

VFS POLAIRES ISr,

point quelconque pris sur l'une ou l'autre des tangentes A issues de P à la courbe U; Toquation

représente donc le faisceau des tangentes A; c'est l'équation cherchée.

19&. Applieation aux <M»aiqaei«. Dans le cas de^ courbes du second degré, on a :

La condition pour que l'équation :

/•(a?o-+-Xa?,,yo-f->^y,,2o-l->w,) :=o, admette deux racines égales, est donc :

ou, en rendant x^yp^yZij coordonnées courantes,

(^r;^ + yfy^ + zQ' = ifiXoyVo.Zo) nx,y,z).

Cette équation est particulièrement utile dans les problèmes où Ton cherche le lieu géométrique décrit par le point de concours de deux tangentes à une conique, tangentes qui sont assujetties à vérifier constamment une propriété géométrique donnée.