POLAIRES RÉCIPROQUES

Nous nous proposons maintenant, de donner une idée de la méthode de transformation qu'a imaginée Poncelet et qu'il a nommée méthode des polaires rédproqties. Elle a pour base deux principes très simples que nous démontrerons d'abord.

19B. Théorème 1. Lorsqu'un pomt P est mobile sur une droite A, la polaire de P par rapport à une conique V paisse constamment par le pôle de A.

Désignons par Xo,yoyZQ les coordonnées du point P et soit :

(i) Aa:H-By-hC::r:o,

réqualion de la droite A. La polaire de P a pour équation (§iai):

Le point P étant sur A, nous avons aussi la condition

(2) Aj?o •+" Byo + C^o = o-

Les coefficients A, B, C ne sont pas nuls à la fois; supposons, par exemple, C;^o; Tégalité (2) donne :

Aj:'o4-Byt

— Zo—

et l'équation (P') devient alors :

xo (C/-; - Ari) + y, (C/; - BO = 0.

Lorsque les coordonnées j:©, y© varient, cette droite passe constamment par le point Q, intersection des deux droites qui correspondent aux équations :

c/;-A/*:=o, cr;-Br:=o;

équations qu'on peut encore écrire, sous la forme plus symétrique,

Il reste à montrer que le point Q, point dont les coordonnées sont, en général, bien déterminées par ces équations, est précisément le pôle M, de A.

Soient a:j,y„-4, les coordonnées de M; la polaire de M, a pour équation :

Irtentifions-le avec (i), nous avons alors les relations :

(4) ^.='ii=^'

En comparani les égalités (3) et (4), on reconnaît que XyifjZ, est la solution du système (3). Concluons donc que le pôle {x, jy,,z^\ est bien le point fixe que nous avons trouvé.

1^*9. Théorème D. Lorsqu'une droite A, tourne constamment autour d^un point fixe P, le pôle de l^ a pour lieu géométrique une droite qui est précisément la polaire de P.

Désignons par Q le pôle de A, point dont nous cherchons le lieu géométrique, et soient x^yy^^Zy, ses coordonnées.

La polaire du point Q a pour équation :

<. + yC, + ^f'^, = »'

et comme elle passe par P, les coordonnées de ce point étant Xo,yo,Z(i, on a :

C'est une relation du premier degré en a;, ,y, ,3?,; le lieu cherché est donc la droite qui correspond à l'équation :

c'est-à-dire la polaire du point P.

1^8. Idée gpénérale d*une méthode de transforma- Uon. Imaginons une figure fixe, que nous appellerons la

figure de référence et que nous désignerons par la lettre ? ; mettons en présence de 9 une figure géométrique F et supposons que par une certaine construction géométrique, prenant 9 pour base, on puisse déduire de P une figure /*; nous dirons

158 DOLZIÈMK LEÇON

alors que f est une transformée de F. S*il arrive que la loi géométrique en question^ appliquée à /" (9 étant toujours la figure de référence) reproduise F, on exprime cette propriélé en disant que la transformation est réciproque.

19B. Définition de In trnnsformntion pnr polnlres réciproques. Prenons pour figure de référence une conique 9 ; soit H un point supposé mobile dans une figure F(^)>

et soit (Ji sa polaire, par rapport à <p. La droite (i, dans son mouvement, enveloppe une courbe f. Nous disons, avec Poncelet qui a imaginé cette transformation, que /"est la transformée de F, par polaires réciproques.

180. Tiiéoréme. Si une courbe (est la transformée par polaires réciproques d'une courbe ¥\ réciproquement^ F est la transformée de f.

Fig ôj.

Cette propriété constitue le principe de corrélation des figures f et F : elle s'établit de la manière suivante :

1 . On dit aussi espace F, au lien de figure F : nous avons cru devoir employer ce dernier terme, malgré l'inconvénient que présente la répétition du mot, parce qu'il nous parait rendre, plus netlement, l'idée qu il doit exprimer.

Soient MM' deux points de F, ia et ijl' leurs polaires par rapport à la conique de référence ^ . Les deux droites \k et \l' ^e coupent en un point S qui est le pôle de la droite A, qui joint les points M et M'. (§ 126 et 127).

Supposons maintenant que le point M' se rapproche du point M et vienne se confondre avec lui, A a pour position limite la droite D, droite tangente à F, au point M. D'autre partie point 3 a pour limite le point m, point de contact de [A et de f. La droite D est donc la polaire du point m.

D'après cette remarque^ si Ton veut transformer la courbe f, par la loi des polaires réciproques, on doit chercher l'enveloppe des droites D; cette enveloppe est la courbe F, ellemême. La réciprocité delà transformation est donc établie.

131 . Utilité de la transfomiation précédente. Sans entrer dans de plus longs détails sur cette importante théorie géométrique, nous nous bornerons à indiquer quelle est son application la plus fréquente, et aussi quel est le théorème général qui définit le lien qui existe entre deux coui'bes, transformées Tune de Tautre par polaires réciproques.

Imaginons que, dans une figure F^ on ait à démontrer que trois droites A,B,C sont concourantes. On transformera F par polaires réciproques, au moyen d'un cercle par exemple, et Ton obtiendra trois points a,b,c; pôles des droites données. Si Ton peut reconnaître que ces trois points sont en ligne droite il sera démontré, par cela même, que A,B,G sont bien trois droites concourantes.

Dans d'autres cas, au contraire, ayant à démontrer que Irois points P,Q, H d'une figure F sont placés en ligne droite, on cherchera à reconnaitre que les polaires p^q^r de ces points sont des droites concourantes.

Voici maintenant le théorème auquel nous avons fait allusion.

13S. Théorème. Si Von transforme une courbe F, de clas9e^et d'ordre [Lypar polaires réciproques; la transformée f est une courbe de clause ;a et d'ordre *,

Soit A une droite quelconque de la figure F; elle rencontre cette courbe en jx points Aj, ... A„. A cette droite A correspond un point 8 et, au point A,, une droite a^ qui passe par B et qui est tangente à f. Cette remarque s'applique à tous les points A,, ... A„; il a y donc ij. droites passant par 3 et tan-

gentes à la transformée f. D'ailleurs il n'y en a pas davantage

et comme 8 est un point quelconque du plan, puisque l est le

pôle d'une droite A arbitrairement choisie, on voit que la classe

de f est égale à ;j..

La réciprocité des courbes F et f, prouve que l'ordre de f est égal à la classe de F, et que, par conséquent, il est égal à V.

i. On considère un cercle C, et une droite quelconque^ à, dans son plan. Soit G un point fixe de C; par 0, on mène une transversale^ qui rencontre C en k et à en B; trouver le lieu décrit par le conjugué harmonique de 0 par rapport aux points A, B.

Le résultat est une courbe du second degré.

S. On donne deux cercles A, A' ayant un point commun en 0; par 0 on mène une transversale qui coupe A en A, A' en B. Trouver le lieu décrit par le conjugué harmonique de 0, par rapport aux points A et B.

Ou trouvera pour le lieu demandé une cubique ayant pour point doubh* (), et passant par les ombilics du plan. On pourra vérifier que les tangeute^ à la cubique trouvée en 0 sont les tangentes aux cercles A, A' et que la direction asymptotique s'obtient en menant par le point 0 une perpendidulaire à la droite qui joint 0 au milieu de la distance des centres .

On examinera le cas particulier où les cercles se coupent orthogonalement.

8. Trouver la transformée par polaires réciproques^ dun ceiH^le A', par rapport à un autre cercle A .

La ligne des centres étant prise pour axe des x^ l'origine étant le centre de A, et les axes étant rectangulaires, on trouve :

, (dx—WV

dans cette relation : d désigne la distance des centres, H et R' les rayons des circonférences A, A'.

4. Démontrer que le triangle dont les côtes ont pour équation, respectiitment,

(1) P = o, (a) Q = o, (3) R = o; jouity relativement à la conique qui correspond à l'équation : '

sP«-|-e'Q« + c''R* = o,

de cette propriété que chaque sommet est le pôle du côté opposé.

En appelant (^e,^0)^) les coordonnées du point commun aux droites (i) et (3) ou voit, en effet, par application de l'équation (P) (§ ui), que la polaire de ce point a pour équaUon P = o.

Un triangle qui jouit de cette propriété remarquable est dit triangle autopolaire on encore triangle conjugué relativement à la conique considérée.

5. On considère une conique fixe V et un point fixe P ; par P on mine deux transversales arbitraires qui coupent V : l'une aux points K et h; l'autre aux points C, D ; démontrer que le lieu des points de concours des droites AC, BD est la polaire du point P.

On prend pour axes (mais ce choix est tout i\ fait particulier â cette question) les droites mobiles AB, Ci) et l'on Térifie que le point commuu il ces deux droites appartient à la polaire de P.

De L. Tome it. * *

133. Directions asymptotiques Lorsque l'équaiion d'une courbe U, est coiislanimenl vérifiée par les coordoimées j?, y d*un point M s'éloignant à Fintini dans une direction («>3) (§ 83 his\ nous dirons que la droite qui correspond à réquation ^-- ay = o, est une direction asymplotique de la courbe U.

Nous supposerons d'abord que U est une courbe dont réquation Q%\ f [x,y,z):=:o^ /"désignant une forme entière des lettres ic,y,j;nous examinerons, plus tard, le cas où réquation est irrationnelle, ou transcendante.

184. Définition des Asymptotes. Imaginons un bras de courbe parcouru par un point M dont les coordonnées croissent au delà de toute limite et vérifient constamment réquation :

Si) à chaque instant, on construit la tangente au point M, cette droite a, en général, connue nous le montrerons tout à l'heure, une position limite bien déterminée. C'est cette droite, ainsi définie, que nous appellerons une asymptote de la courbe. Ainsi : Vasymptote qui correspond à une direction asymplotique est la position limite de la tangente au point qui s'est éloigné à t infini, sur la courbe^ dans la direction donnée.

Les asymptotes sont donc, d'après cette définition, des tangentes particulières de la courbe ; et elles sont caracté-

risées par ce fait, que leur point de contact est rejeté à rinfini. Elles jouissent de propriétés remarquables et leur détermination est, très spécialement, utile au tracé des courbes. Nous allons apprendre à les déterminer; mais nous nous occuperons d'aboitl des asymptotes parallèles à Taxe des y, ces droites se déterminant par des considérations particulières.

I3&. iLsymptote» parallèles itOy. — Théorème. Les (utympiotes parallèles à taxe des y s'obtiennent en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de y, dans V équation de la courbe donnée.

Soit :

f[x,y,z)^iy,

réquation de la courbe; on peut ordonner la fonction entière /■par rapport aux puissances décroissantes de y, en écrivant :

f(x,y,z):s:y^f,{x,z)'k'y^''^f,^[x,z)-h ,,. ; on a donc,

f[j^py^-'r,{x.z)-^..,.

Soient x',y,«les coordonnées d'un point M mobile sur la courbe; y est une fonction implicite de x, mais une fonction qui peut être considérée comme bien déterminée. (Alg. % 3i3). Nous supposons que x est une variable indépendante, atteignant une valeur a; et que y, valeur réelle bien déterminée, qui correspond à x, croit au delà de toute limite, quand x leud vers a. Dans ces conditions, le point M décrit un bras de courbe A, que nous allons considérer.

La tangente A', au point M, a pour équation :

ou,

16i TREIZIEME LEÇON

Supposons que le point M s'éloigne à rinBni> 1 équation précédente, pour a: =: a et y := », devient :

C'est réquation de Tasymptote; mais on peut lui donner une forme plus simple.

L'identité d^Euler appliquée à la fonlion/;(u?,j), fonction dont nous désignerons le degré par A, donne :

D autro part, Téquation de la courbe étant mise sous la forme :

donne, si elle est vérifiée par une valeur infinie de y et par la valeur a donnée a Xy

L^identité {'i) conduit donc à Tégalilé suivante :

En comparant (i) et (^\ on a :

X zi a.

Ainsi : lorsqu'un point s'éloigne à V infini dans la direction Oy, V asymptote s'obtient en égalant à zéro l'un des facteurs binômes de la fonction entière de x qui constitue le coefficient de la plus haute puissance de y.

La réciproque de cette proposition n'est pas vraie ; nous donnerons, plus loin, un exemple de cette inexactitude

138. Théorème. La distance, d'un point mobile sur un bras de courbCy à Vasymptote qui correspond à ce bras^ tend vers zéro, quand le point s'éloigne à l'infini.

LES ASyAfPSOTES

Considérons d'abord le cas d'une asymptote parallèle à Oy. Soit M le point considéré sur le bras de courbe AB, A

lasymptotedecebras; abaissons sur à la perpendiculaire MP, nous avons :

ou

MP = MN sin 0,

MPzi(a — ir)sine;

Fig. 53.

X désignant Tabcisse du point M. Si nous imaginons maintenant que M s'éloigne à Tinfini^ sur AB, la limite de x est égale à o; d'où il rt^sulle que la limite de MP est nulle.

Si nous considérons maintenant une asymptote A^ non'parallèle à Oy, en effectuant un changement d'axes et en prenant la direction de A, pour nouvel axe des y, nous retombons dans le cas que nous venons d'examiner; la propriété énoncée, propriété très importante pour le tracé des courbes, appartient donc à toutes les asymptotes.

Elle est d'ailleurs caractéristique de ces droites, comme le prouve la réciproque que nous allons maintenant établir.

ISV.Théoréttie. Lorsqu'un point M mobile sur un bras courbe AB, courbe coiTespondant à une équation algébrique de forme entière^ peut s'éloigner à V infini, sa distance à une droite A tendant vei^s zéro; A est asymptote au bras considéré.

Prenons Taxe Oy parallèle à A (fig. 53) et remarquons, en vertu de la relation : MP.n MN sin 0, que MN tend vers zéro, en même temps que MP. Soient x^y^z, les coordonnées de M, réquation de la tangente est (§ i34) :

x(C(^.^) + ^/;,,+.-) + Yg/^.+...)+z(/;,.(ar..)+i/:^,. + ...)x Puisque MN a pour limite zéro, nous pouvons poser,

e étant une fonction de x et de y qui est nulle pour

:r — a, et - — o.

L'équation précédente devient alors, par application de la formule de Taylor,

les termes qui ne sont pas écrits renfermant tous le facteur s,

ou le facteur - , multiplié par des quantités qui ont une va-

leur finie. La position limite de la tangente considérée est donc une droite dont l'équation est :

ou, comme nous l'avons remarqué plus haut. Ainsi A est bien la limite des positions d'une tangente dont

le point de contact s'est «loigné à Tinfini ; A est donc, conformément à notre définition, une asymptote.

188. Théorème. Dans le cas généraly il y a deux bras de courbe asymptotes à une droite A, et ces deux bras sontdispom, de part et d'autre de A, aux extrémités opposées.

Supposons, comme tout à Theure, que A soit parallèle à Oy, puisque cette condition peut toujours être réalisée, par un changement d'axes, et prenons Téquation de la courbe sous la forme :

Dans le cas général que nous voulons examiner, celui qui correspond à Tabsence de relations entre les coefficients de réquation donnée, a est une racine simple de Téquation /; = o, et nous avons :

/;(a,2);2fo.

Posons :

/•, {X,Z)ZZ{X—%Z)?, [XyZ),

Nous avons aussi.

Ceci posé, écrivons l'équation (i) sous la forme suivante

Pourx = a, nous avons - =: o, et nous pouvons remarquer

que le premier membre n'admet qu'une seule racine nulle en -, puisquenous supposons ft{ixyZ)^o. Pour des valeurs de x voisines de a, le premier membre admet donc des valeurs réelles de-; car si, pour a; = a -H e, le premier membre admettait

pour -, une racine a + bi, a et ô étant des fonctions d'e, fonclions telles que Ton eut :

Lim a = o, et Liin 6 = 0, (ijour s = o); réquation(2) admettrait aussi la racine a—bi etl'on obtiendrait

deux racines nulles pour -, quand on suppose x ^ a. Ceci est

en contradiction avec Thypothèse.

Le raisonnement précédent conduit à une conclusion qui subsiste quand on donne à x des valeurs un peu supérieures, ou un peu inférieures à a. Il y a donc deux bras réels de la courbe dans le voisinage de A et de part et d'autre de cette tiroite; il nous reste à montrer qu'ils sont situés aux extrémités opposées de cette droite.

En effet, Tégalité (a) étant écrite sous la forme :

I (x — oLz) F,

Avant le passage par a, le signe du second membre est

celui de ^ — — ; quantité qui n'est ni nulle, ni infinie ; après le

passage, le second membre a, au contraire, le signe de

* ; ' ,. Ainsi, - a unevaleurpositive, avant le passage, et né-

gative après, ou inversement. Dans tous les cas, les deux bras de la courbe qui sont asymptotes à A, sont placés de pari et (Tautrey et aux extrémités opposées^ de celte droite.

Cette disposition est celle que l'on rencontre quand il n'y a pas de singularités dans la courbe au point à Tinfini considéré ; on peut la nommer la disposition normale. Elle subsiste quand on suppose que a est une racine, de multiplicité impaire, dç l'équation f^ = o, n'appartenant pas à l'équation /", = 0.

189. Théorème. Le nombre des bras de la courbe qui sont asymptotes à une droite A est toujours un nombre pair.

En effet, supposons que la racine a annule les fonctions /if/a» — /f-t» ™^*s non /). Pour a? z; a, il y a donc / valeurs

de - qui sont nulles ; pour ir=:x — silya aussi i valeurs de

- dans le voisinage de zéro et parmi elles t qui sont réelles et 2O qui sont imaginaires. On a donc :

Pour irma-l-eilya encore i valeurs de - voisines de zéro ; /' sont réelles, a6' sont imaginaires, et Ton a encore :

Ces égalités donnent :

Le nombre (t+f) des bras réels qui sont asymptotes à A est donc un nombre pair.

Nous avons supposé que A était une droite parallèle à Oy, condition à laquelle on peut toujours satisfaire, par un changement d'axes.

Exemples divers. Lorsque, pour a? = a, on trouve que l'équation proposée est vérifiée par la valeur :- =1 0, la

droite qui correspond à Téquation a? — a = 0, peut être asymptote à des bras réels de la courbe ; il peut aussi arriver qu'elle soit asymptote à des bras dont le nombre soit supérieur à 2 ; enfin, il est nécessaire pour le tracé de la courbe de fixer la disposition relative de Tasymptote et des différents bras qui aboutissent aux extrémités de cette droite.

Cette discussion est, dans certains . cas, assez délicate, comme nous le montrerons, tout à Theure, sur un exemple particulier. Mais quand Téquation de la courbe est résoluble par rapport à y, la position des bras se fixe, le plus souvent, sans difficulté.

Les équations suivantes, et les figures que nous avons placées en regard, montrent la disposition des courbes qui correspondent à ces équations, dans le voisinage et aux extrémités de la droite qui a pour équation : x — ^1 = 0.

, 1 — IX Pour.r=i, - r=:o; il n'v a aucun bras \^ V rAel asymptote à la droite (.r = j).

(ar-ir

go yt -- J- V -^

Vj

Fijr. h\.

Fi g. 5;>.

Fig. 06.

Fig. 5-.

Vj

io .,« — ^ 1 1' F

Fig. 58.

Fig. 59.

Fig. 60.

Fig. 61.

a + Jx — t + \fx

Fifr. <îi.

140. Méthode §^énérale. — Appliisatlon li an exemple. Supposons maintenant, c'est le cas qui exige quelque attention et auquel nous avons fait allusion tout à l'heure,

que réquatîon proposée soit vérifiée par a: — a et - :r: o, et

qu'elle ne soit pas résoluble par rapport à y. Le problème qui se pose en pareil cas, est le suivant : i* déterminer le nombre des bras réels de la courbe qui sont asymptotes à la droite (.c rr a), 2* fixer la position de ces différents bras relativement à cette droite.

Soit : F (j:,y)=ro, l'équation cartésienne de la courbe proposée; en la coupant par la droite dont l'équation est xzz^-^t^

on peut chercher combien il y a de valeurs réelles de - dans

le voisinage de zéro, quand on suppose : Lim s = 0. Dans d'autres cas, on considérera la droite qui a pour équation : y = A ; on supposera h très grand, d'abord positif, puis négatif^ et on déterminera combien de valeurs réelles de x, voisines de a, vérifient l'équation donnée.

Prenons l'exemple suivant. Soit :

(i) a;*(i-ha?) + a;(i— a;)^ + (i-|-ar)^ = o.

réqaation de la courbe donnée, on propose d'étudier cette courbe, dans le voisinage de l'axe des y*

Désignons par e, une quantité variable, négative ou positive, et aussi petite que l'on voudra. Considérons la droite

qui a pour équation : a? =: s , et posons - zz U. A cette valeur e.

donnée à Xy correspondent trois valeurs de U, lesquelles sont racines de l'équation:

(2) U'+U^-iî-^-f-e* = o.

La réalité des racines de cette équation dépend du signe de la quantité V,

Dans cette formule, la quantité placée dans la parenthèse a pour limite -H 4, quand s tend vers zéro. Ainsi V a le même signe que celui de e.

Quand on suppose e > o, il y a donc une seule valeur réelle

pour-; et cette racine a un signe contraire à celui du

dernier terme -+-£*, est négative. Il y a, par conséquent, un seul bras de la courbe, situé à la droite de Taxe des y ; il est dirigé vers la partie inférieure.

Si Ton donne maintenant à e, une valeur négative, l'équation (2) a ses trois racines réelles et, comme elle présente deux variations ; elle admet donc deux racines positives et

JC/

une racine négative. Ainsi il y a, à gauche de Taxe des y, deux bras de courbe dirigés vers l'extrémité supérieure, et un troisième placé à l'extrémité inférieure. En résumé, la courbe, dans le voisinage de l'axe des>, a Taspect général indiqué par la figure ci-dessus.

i. Construire la courbe qui a pour équation:

t. Donner ta forme générale de la courbe qui çorres^jond à Véquation

^ — 'Z*'^ "^^ '^ "^"^ X "^ ••' "^ ^^^ï ir«'