Construire la courbe qui correspond à Véquation

X X — 1 wt;--2 X — S Uu pourra rdiiiarquer que celle équatiou peut s'écrire :

ou,

'IX — \\ 2X — ii

QUATORZIÈME LEljON

LES ASYMPTOTES (Saite).

Nous nous occuperons maintenant des asymptotes non parallèles à Taxe des y, des asymptotes quelconques^ comme on les appelle aussi, pour les distinguer des premières.

141. Théorème I. Les directions as^ymplotiques appartiennent au faisceau de droites qui coiTespondent à Véquation que Von obtient^ en égalant à zéro le groupe homogène formé par les termes du degré le plus élevé en x et en y.

Soii f{x,y,z)z:zo Téquation de la courbe proposée U; ordonnons la fonction entière ^ par rapport aux puissances croissantes de z et posons :

(i) f(x,y,z):s:o^^{x,y)-hz<f„^^(x,y) + ... + z\z:zo.

Dans cette notation ç^(j:, y) désigne une fonction entière, homogène et du degré A. En particulier ©^ représente le groupe

homogène des termes du degré m en x et y, d'ailleurs la courbe étant supposée du degré m, on doit observer que ç^ n'est pas identiquement nul.

L'équation de la courbe donnée peut s'écrire :

Imaginons un point M, mobile sur U et s'éloignanl à rinfini dans une direction («,(3,) qui, nous le supposerons d'abord,

n'est pas celle de y. Alors, a n'est pas nul, la variable arbitraire x croit au delà de toute limite, et - a une valeur limite,

bien déterminée et non infinie, -. L'équation (a) étant toujours

vérifiée par les coordonnées du point mobile, on a, à la limite,

les directions asymptotiques sont donc des droites, partant de Torigine^ et faisant partie du faisceau qui correspond à Téquation :

Cette équation donne aussi la droite Oy quand elle est une direction asymptotique. En effet, si le polynôme ^^ [x^y) renferme le terme y"*, le coefficient de y"* est une constante, il n'y a pas de points s'éloignaut à Tinfini dans la direction Oy

{% i34). Si, au contraire, 9^ ne renferme pas de terme en y"*, il

peut y avoir des asymptotes parallèles à Oy, mais alors 0^

renferme le facteur x et l'axe Oy sera, dans ce cas, une direction asymptotique.

ËD résumé, dans tous les cas, les directions asymptotiques vérifient l'équation : ^^^^ [x^y) = o.

14S. Equation de Tasymptote. Nous supposons qu^un point M s'éloigne à l'infini, sur une courbe, dans une direction (a,g). Désignons par (iT, y, 2) les coordonnées de M, quand il est à distance finie, et remarquons qu'en vertu des identités:

identités déduites de (i), Téquation de la tangente au point

(x,y,z) est :

Divisons par x**^^ puis passons à la limite et multiplions réquation obtenue par a*"-* ; nous avons pour résultat :

(A) ^U^ , g) -h ^>;^y (a , ^) -h Zu^ (« , P) = o.

Cette droite (A) est toujours bien déterminée^ et à dislance finie, quand p.'r — <xy est un diviseur simple du polynôme ç^.

En eflfet, les deux dérivées partielles ç^^^ , çj^ ^ ne peuvent

s'annuler simultanément que si Px — ay est un diviseur multiple de 9^. (Alg. § 4o6).

Nous supposerons d'abord que ^ — ay soit un diviseur simple de 9^; c'est le cas général: mais nous reviendrons pluft tard sur les cas particuliers, qui peuvent se présenter dans celte recherche. Nous ferons observer encore que çj^^y

est nécessairement différent de zéro; car s'il était nul,

l'asymptote serait parallèle à l'axe des y, ce que nous ne

supposons pas.