BC-+-B
L'équation de Tasymptote est donc :
Bc-t-B'
OU
(«) — A'xc'-h c (AV — B'^ -hB)-h B"y + h' = o.
Entre les équations (i) et (2) éliminons c, nous obtenons le résultat suivant :
A' {Kx -I- B'y -I- B')* = (- Wx — k'y — B) [ (AA' — 28'*) y — AB^x-HAB — aB'B"].
En remarquant que la dernière parenthèse de cette égalité peut s*écrire sous la forme :
Kf'y - 2B7;, on obtient Téquation suivante :
A/-; + x'fx - ^by;;/^; = «.
Cette relation est vérifiée par les coordonnées x,yy d'un point quelconque pris sur l'une des asymptotes de la conique, elle est du second degré, elle représente donc l'ensemble de deux droites, asymptotes de cette courbe.
fif/i. Asymptotes rejetées A rinfinl. Reprenons l'équation (A), et supposons que nous ayons :
?m,x(«'3) = o, 9;;,y(a,&) -o, et (p^^ (a , ?) ;zf 0.
L'équation se réduit à 2 = 0 ; c'est la droite de l'infini. Si l'on suit, sur la courbe, le déplacement du point mobile, et les positions successives de la tangente en ce point, on voit que cette droite se déplace, en s'éloignant de plus en plus de l'origine mais en ayant une direction très voisine de celle de la droite qui a pour équation :
(1) go; — ayzro.
Cette remarque a une grande importance dans le tracé des courbes, et quand on rencontre une direction asymptotique multiple^ à laquelle correspond la droite de l'infini, on doit tourner la concavité du bras de courbe, correspondant, vers la droite (1).
145. Asymptotes Imaginaires. Directions isotro* pes. Lorsque l'équation
(0 ?m(^iy)-«J
admet la solution :
<x' et ^' n*étaat pas nuls en même temps^ on dit que cette solution constitue une direction asymplotique imaginaire. En adoptant ce langage, on voit que l'équation (i) ayant toujours m racines réelles, imaginaires ou coïncidentes, il y a m directions cisymptotiques dans une courbe du degré m. Mais il faut entendre que ces directions sont, comme les racines d'une équation, réelles, imaginaires ou coïncidentes.
Parmi les directions asymptotiques imaginaires, on distingue, tout particulièrement, celles qu'on nomme isotropes et qui correspondent à réqus^tion :
i^'* -+■ y* -+■ '^xy cos 6 — 0.
Nous montrerons ici, un exemple de l'intérêt qui s'attache à ces directions isotropes, en démontrant le théorème suivant.
14G. Théorème. Lorsqu'une courbe algébrique U, admet pour directions asymptotiques les directions isotropes ; elle passe par les ombilics du plan.
Les axes étant rectangulaires^ posons :
et considérons aussi un cercle quelconque dans le plan de la courbe^ cercle correspondant à l'équation :
L'équation de U étant mise sous la forme
Si nous cherchons les points communs au cercle et à la courbe, nous devons résoudre les équations (i) et (a), ou considérer Tune d'elles, avec la combinaison suivante :
Celte dernière se décompose en deux ; z zz o,qui représente la droite de Tinfini ; et une équation qui est seulement du degré (w — i). Par conséquent on obtiendra i[m — i) — 2m— 2 points communs, à distance finie, au lieu de 2 m. Deux points imaginaires parmi les points cherchés sont rejetés à Tinâni. Ainsi, la courbe U passe par les ombilics du plan, quand elle admet les directions isotropes. On peut dire aussi, si Ton préfère ce langage, que tout cercle pris dans le plan de la courbe ne la rencontre qu'en (2 m — 2) points à distance finie ; m désignant Tordre delà courbe.
