LBS COORDONNÉES. — PREMIÈRES APPLICATIONS

1 . Oa peut dire que la géométrie analytique a pour but principal Tétude des propriétés des courbes et des surfaces, à Taide de formules algébriques. Le moyen employé pour atteindre ce but, se résume dans la représentation du point, dans le plan et dans l'espace ; et cette représentation s'effectue par le secours des coordonnées. Nous indiquerons d*abord les principaux systèmes de coordonnées, dans le plan.

^. Abcisse et ordonnée. Imaginons dans un plan deux droites indéfinies xx^, yy'; se coupant au point o. Sur chacune d'elles nous adoptons une direction positive et nous

De L. Tome II. i

PUEMIÈHE LEÇON

^ convenons. que les semi-droites ox cl oy représentent les directions positives des axes.

jgy

Ceci posé, soit M un point quelconque du plan des deux axes; si par M on trace une parallèle à a:j;' jusqu'à ce qu'elle rencontre yy* au point Q, la longueur MQ représente Xabcisse du point M. Cette longueur est affectée du signe -h , lorsqu'elle se trouve du même côté que la semi-droite ox, par rapport à yy\

De même, si par M on mène une parallèle à yy'^ droite limitée à XX* ; la longueur MP ainsi obtenue représente Xordonnée du point M : cette ordonnée est positive lorsqu'elle se trouve du même côté que la semi-droite oy^ par rapport à xx*\ elle est négative, clans le cas contraire.

De cette définition, il résulte i*" qu'à tout point du plan correspondent une abcisse et une ordonnée, positive ou négative; 20 que, réciproquement, à une abcisse et à une ordonnée, données de grandeur et de signe, correspond un point bien déterminé du plan.

3« Axe» obliques etasces reetAng^ulaires. L*eusemble dendeux droites ara;', yy' constitue les axea de coordonnées. Le

plus petit angle dont il faut faire tourner la semi- droite ox pour rappliquer sur la senti-droite oy est Fangle des axes. Lorsque cet angle est droit, les axes sont dils rectangulaires; ils sont obliques dans tous les autres cas.

Si un point M, pris dans le plan des azes, a une abcisse qui est représentée, en grandeur et en signe, par <x; et une ordonnée qui, dans les mêmes conditions, est égale à 3» nous dirons que a et ^ sont les coordonnées du point H. Le point o, intersection des axes, se nomme Yoingine des coordonnées,

41. Coordonnées cmrAésiennes. C'est à Descartes qu'est due cette représentation du point, et, pour distinguer ce sys* lème de coordonnées de ceux que nous définirons tout à

riieure, nous dirons que a et ^ sont les coordonnées cariésiennes de M.

Lorsque les coordonnées x , y d'un point sont supposées variables, on exprime ordinairement ce fait en disant que x et y sont des coordonnées courantes.

Par exemple, lorsqu'un point M, dont les coordonnées rectangulaires sont X et y, est mobile sur un cercle de rayon R, ayant son centre à l'origine, les nombres x , y vérifient constamment la relation :

x' -\-ifzz \\\

5. Représen talion des courbes. Imaginons, d'une façon générale, qu'un point M se déplace en restant, constamment, sur une courbe A, bien définie. Les coordonnées a?, y de ce point sont des quantités variables, mais ces deux variables ne sont pas indépendantes. Imaginons, en effet, que x prenne une valeur numérique a: tous les points, dont Tabcisse est égale à 2, se trouveront situés sur une droite A', parallèle à yy' et coupant Taxe xxf à une distance a de Torigine. Par suite, à Tabcisse a, correspondent des ordonnées en nombre fini, ces ordonnées étant celles des points qui sont commune à A et ù AMI y a donc une certaine dépendance eulre les variables Xyy ; quand M se déplace sur la courbe A<

Celle dépendance peut, généralement, s'exprimer par une relation entre x eiy:

Nous dirons que la courbe A est représentée par cette équation, et dans le cas où f(x,y) désigne une fonction entière du degré m, en x et y, nous dirons que A est une courbe d'ordre m. Réciproquement^ à une relation donnée entre a? et y, correspond une courbe. Considérons, en effet, l'équation (i) et imaginons toutes les solutions réelles x^yy^\ x^^ 2/i;-- ^^ cette équation, solutions qui, en général, sont en nombre infini. A ces solutions diverses correspondent des points M„ M.,... ; et si Ton suppose que les points soient réunis par un Irait continu, la courbe que Ton peut ainsi concevoir, et construire, est celle qui correspondra Téquation proposée.

B. DéfiniÉion des lieux ^éiowaéixî^ue». Imaginons une figure fixe F et associons-lui, par une construction géométrique effectuée sur F, une seconde figure mobile F', dans laquelle nous distinguons, particulièrement, un certain point I. Lorsque la mobilité de la figure F' est convenablement réglée, nous verrons, dans la suite, ce qu'il faut entendre par là, le point I se déplace, avec F% et engendre, par ce mouvement, une courbe A. Nous convenons de dire que A est le lieu géométrique du point I.

La recherche des lieux géométriques constitue l'un des problèmes les plus ordinaires de la géométrie analytique, et cette recherche repose sur un théorème fondamental, que nous établirons d'abord.

1. Théorème. Lorsque les coordonnées x, y, d'ww poi7U I, vérifient cojistamment les deux équations :

datis lesquelles a représente un paramètre variable, Véqualion du lieu décrit par I s'obtient en calculant le résultant de ces deux équations^ par rapport à a.

En effet; soit R {x, y) = o, le résultant des équations (i) et (a^; désignons par a?y les coordonnées d'un point T, lesquelles vérifient les équations (i) et (a). Nous avons vu, en algèbre, que les deux systèmes :

W{x,y,\)z^i^ if{x,yy\)-o

étaient équivalents et que toute solution xf,y\\', du système (A), vérifiait aussi les équations (B). On a donc, en particulier, R {x\ y*) z: o ; ce qui prouve déjà que les coordonnées d'un point quelconque du lieu satisfont à Téqualion : R(ic,3/)zio. Réciproquement y soit x^y" , une solution de l'équation R ( a: , y ) = o ; l'équation fi^x" .y" y\)zzo, détermine pour X des valeurs correspondantes, réelles ou imaginaires. Soit X* l'une de ces valeurs. Les nombres x!'y^\\ vérifiant le système (B) et celui-ci étant équivalent à (A) on a :

axr,yr,r)-o,

o[lxf,y\r)^o.

Par suite, le point V qui a pour coordonnées x^y^ est un des points du lieu cherché, puisque af et y" vérifient les équatiens (A), quand on donne, au paramètre variable X, la valeur particulière X" .

On remarquera que cette démonstration suppose que le paramètre variable peut prendre des valeurs quelconques et même des valeurs imaginaires. Nous aurons occasion de nous appuyer sur cette observation pour expliquer certains faits, d'apparence paradoxale, et pour distinguer, par exemple, dans un lieu géométrique, trouvé par cette méthode, les points de ce lieu qui correspondent à la construction géométrique donnée, de ceux qui proviennent des solutions réelles d'équations à coefficients imaginaires.

8. Remarque. Les coordonnées du point mobile I peuvent être liées à deux paramètres variables par trois équations; et, généralement, à p paramètres variables, par {p + ±) équations.

fi PREMIÈIIE LEÇON

L'équation du lieu s*oblient encore par rélimination des paramètreSy mais le résultat de cette élimination : F {x,y) =: o, ne représente pas toujours, uniquement, le lieu géométrique demandé. Sans doute, tous les points considérés ont des coordonnées qui vérifient l'équation F (a? , y) = o, mais la réciproque n'est pas nécessairement vraie. On ne peut pas, eti général, affirmer que toute solution de Téquation obtenue représente les coordonnées d'un point du lieu. Ceci tient à ce que, comme nous l'avons signalé en algèbre, on ne sait pas, toujours , éliminer plusieurs paramètres, sans introduire des solutions étrangères.

Nous allons montrer, dès ces premières leçons, diverses applications du principe précédent; mais nous compléterons d'abord la notion que nous avons donnée de la représentation du point.

9. Coordonnées! polaires. Imaginons une droite indéfinie xx'y que nous nommerons Vaxe polaire; sur cette droite prenons un point fixe o et adoptons la semi-droite ox, comme direction positive de l'axe polaire. Faisons tourner maintenant oxy autour du point o, d'un angle que nous désignerons

Fig. j.

par (ù ; nous obtenons une position nouvelle oi de la semidroite ox. Enfin prenons sur ot un point M et désignons par p la longueur oM. Les valeurs p et <o , ainsi définies, représentent les coordonnées polaires du point M.

Pour compléter cette définition et représenter le point M sans ambiguïté, nous ferons ici les conventions suivantes :

LKS COORDONNÉES 7

i^ Tangle <ù est pris positivement quand ox tourne autour du point o dans le sens inverse des aiguilles d'une montre; 2° la valeur de p est positive quand le point M est situé sur la semidroite ox, lorsque celle-ci a tourné de l'angle w; elle est négative quand le point M est placé sur le prolongement de cette semi-droite.

Dans ces conditions, la position d'un point est bien déterminée, c'est-à-dire qu'à des coordonnées p et w , données de

grandeur et de signe, correspond un point unique.