Coordonnées bi-polaires. — Coordonnées tri

latères. Il existe beaucoup d'autres moyens pour représenter un point, mais les deux procédés que nous venons d'indiquer sont ceux que nous emploierons presque exclusivement. Nous citerons pourtant, à titre de renseignement, les cooi'^ données hi-polaires dans lesquelles la position du point est définie par ses distances t«, v à deux points fixes, nommés pôles; et le système des coordonnées trilàtères.

Dans ce système, on imagine un triangle ABC, dit triangle de référence, et la position d'un point M, pris dans le plan de ce triangle, se trouve déterminée par les distances Xy y, j, du point M aux droites BC,CA, et AB. Ces valeurs a?, y, Zy dites coordonnées trilatères de M, sont prises positivement ou négativement ; par exemple, x est positif si les points A et M sont situés du même côté de BC; il est négatif, s'ils sont de côtés différents.

On doit remarquer que les données rr, y, z, qui déterminent le point M, sont surabondantes et qu'elles doivent vérifier, constamment, la relation :

aa? -h 6y -h C5 — aS,

dans laquelle a, h, c désignent les côtés, et S la surface, du triangle de référence.

11. Éqoation eartésienne de Tellipse. Lorsqu'un point M, mobile dans un plan, doit satisfaire constamment, dans ses positions diverses, à une certaine loi géométrique, les coordonnées a?, y de ce point vérifient une relation algébrique : f{Xy y) zz o, que nous avons déjà nommée l'équation

du lieu décrit par le point M. Noos nous proposons de rechercher quelques-unes de ces équations, en prenant pour exemples des lieux géométriques simples et connus.

Examinons d*abord le cas où le point M décrit une ellipse, dont les foyers sont F et F',

Fig. 3.

et choisissons i<> pour axe des x, la ligne des foyers, 2» pour axe des y, une perpendiculaire à FF', en son milieu.

A ce début de la géométrie analytique, la seule méthode que nous puissions indiquer, pour trouver Téquation du lieu décrit par un point, peut se résumer ainsi : traduire la propriété géométrique proposée en une égalité algébrique entre x et y, en utilisant, au besoin, les relations qui peuvent exister entre les éléments de la figure, relations qui découlent, d'ailleurs, des propriétés de cette figure.

Considérons le triangle FMF'; soit a/? son périmètre, et S sa suriace.

On a,

ou.

par suite.