PUIS

r^^y'Cy+y' {f:,-^y' r,^)-^y n=».

Aux points d'inflexion, on a y" = o. Par conséquent, Tégalité précédente peut être simplifiée et devient :

et comme Ton a :

'^y'flj + y'Yy^ - *s

les points d'inflexion ont des coordonnées qui vérifient les deux équations :

r{x,y)z:zi^,

C'est cette dernière relation que nous allons transformer. Remarquons, d*abord, que cette relation peut s'écrire :

t X* ' xy * X

W/ fW w

f ay I y* ly

déterminant qu'on obtient en égalant à zéro le discriminant de la forme quadratique :

xy:. + yy;. h- '^wtL -^ 2XZ/; + aYz/-:.

SEIZIÈME LEÇOiN

Prenons maintenant, pour plus de symétrie dans le calcul, réquation de la courbe sous la forme homogène :

de telle sorte que Ton ait :

/^(x,y)=:9(a?,y,2), (pour^zri)

Le théorème d'Euler donne :

L'égalité (1) peut s'écrire, en supposant zzz t,

Multiplions la première colonne par — o;, la deuxième par -ry et la troisième par (m— 1), puis ajoutons, à cette dernière, la somme des deux autres; nous obtenons, en tenant

compte des identités (i),

9x* 9xy

9xy ?y«

— ^?x— yçi

Le point {Xyy^z) étant sur la courbe, on a :

9(a;,y,2)=io.

D'ailleurs Tidentilé d'Ëuler :

prouve, qu'au point considéré, on a :

Le déterminant (3) devient, d'après celte remarque,

Multiplions^ enfin, la première ligne par — a?, la deuxième par —y et ajoutons-les à la troisième, après avoir multiplié celle-ci par (m — i), nous avons :

zz o.

C'est le hessien des points d'inflexion. Ce déterminant a surtout un intérêt théorique ; il est du degré 3 (m — 2) et prouve, entre autres choses, que le nombre des points dinflexion cTune courbe du degré m, est tout au plus égal à 3m (m — a).

tus. Remarque. Dans le cas où le point M, considéré sur la courbe, est un point simple offrant cette particularité relative, que la tangente en ce point est une droite parallèle à Taxe desy, droite correspondant à l'équation a;=A ; la position des deux bras de courbe en M se trouve ordinairement sans difficulté, en cherchant les valeurs réelles de y qui correspondent aux valeurs hzti, données à x.

Par exemple, dans la lemniscate qui correspond à l'équation:

on trouve au point Xo = a, yo = v/^ une tangente parallèle à râxe des y. On voit immédiatement que les deux bras de la courbe sont placés à la gauche de cette tangente. On vérifie aussi, facilement, que l'équation y'^ z: o a pour racine xzzi.

et il y a une inflexion, au point a? = i , y =: ", sur le bras de courbe qui correspond à Téquation :

les signes étant explicites.

189, Définitions. Lorsque deux bras réels de courbe 8e coupent mutuellement en un point M, on dit que ce point est un ncetid de la courbe (fig. A).

Lorsqu'un point est multiple, conformément à la définition donnée précédemment (§ 162), s'il n'y a pas de points de la courbe dans son voisinage on dit que le point est isolé.

Un point de rebroussement est celui d'où partent, dans la même direction, deux bras de la courbe ; on distingue deux espèces de rebroussements, suivant que les deux bras de courbe sont situés du même côté par rapport à la tangente, ou de côtés différents. Celui-ci est le rebroussement de première espèce (fig. B), l'autre constitue un rebroussement de seconde espèce (fig. C).

Fig. 68.

Enfin, on rencontre dans les points doubles, les seuls que nous voulions discuter ici, deux autres espèces de points, lesquels sont formés par deux branches ayant la même tangente; si les deux branches sont de côtés différents, on dit qu'il y a osculation (fig. D) ; il y a embrassement lorsque les deux branches sont du même côté (fig. E).

Lorsque Tune des branches passant au point double présente une inflexion, on a un point double, à simple inflexion; si les deux branches se croisent en présentant, Tune et Tautre, une inflexion au point commun, on est alors en présence (Tun point double ^ à double inflexion.

On appelle point d' arrêta celui d'où part un seul bras de courbe; \e point anguleux est celui d^où partent deux bras de courbe, dans des directions différentes. Nous démontrerons d'abord qu'il n'y a, dans les courbes algébriques, ni point d*arrèt, ni point anguleux.

t90« Théorème. Il n'y a pas de point d"" arrêt dans les courbes algébriques.

Soit une courbe AB présentant, au point A, un point d'arrêt. Prenons pour axe des x une droite passant par A et soit fix^y) z: o l'équation de la courbe A proposée.

Fig. (H).

Transformons cette courbe par les formules :

A un bras AB, correspond un bras de courbe A'B' asymptote à la droite A, qui a pour équation :x^0\. S'il n'y avait qu'un

bras de courbe partant de A, il n*y aurait qu'un bras de la courbe transformée^ asymptote à A. Mais si fix^y) est une

forme algébrique, l'équation /*( X, - j — o est algébrique et la

courbe qu'elle représente ne peut avoir un bras unique, asymptote à A.

Plus généralement, il ne peut y avoir un nombre impair de bras, partant du même point.

1 VI. Théorème. // ny a pas de point anguleux dans les courbes algébriques.

Soit 0 un point d'où partent deux bras de courbe, dans des directions différentes; prenons pour axes les tangentes ox, oy aux deux bras^ et transformons la courbe proposée, par les formules :

x = X , Xy -h y' = ixY.

y' désignant la dérivée de y par rapport à x. Ces formules de transformation, font correspondre, à une courbe algébrique, une autre courbe algébrique.

Fig. 70.

A la courbe of correspond un bras de courbe o? passant

par rorigine, y' ayant pour limite zéro quand le point se déplace sur of, pour aboutir au point o. Au contraire y' croit au delà de toute limite pour le mobile qui arrive à Torigine en parcourant oF, et le bras oF se transforme en un bras $ asymptote à oy.

On déduit de là que le nombre des bras de la courbe transformée qui partent de l'origine serait impair, et nous avons reconnu qu'il n'en pouvait être ainsi dans les courbes algébriques.

LMmpossibilité du point anguleux apparaît encore en observant que la courbe transformée aurait un nombre impair de bras asymptotes à Taxe des y.

Il y a pourtant objection à la conclusion précédente si Ton suppose deux, ou un nombre pair^ de points anguleux disposés sur oyy et ayant chacun un de leurs bras tangent à cet axe. Pour lever celte objection, si improbable que paraisse sa réalisation, il suffit d^effectuer, sur la courbe donnée, rapportée aux tangentes d'un des points anguleux, une première transformation, par les formules :

.en Y, yYzzi.

Les bras du point anguleux considéré deviennent deux bras asymptotes à l'axe des y; les points anguleux restent des points anguleux (^); ils sont alors en nombre impair et Ton revient au cas considéré plus haut.

ILUft. DéÉermination des pointe doablt^i* — Théorème. Lorsqu'en transportant les axes des coordonnéeSy en un point M d^une courbe U, on voit disparaître les termes du premier degrés mais non tous ceux du second degrés M est un point doiLble. Soit ax*'h 2bxy-{- cy*, r ensemble des termes du second degré ; si ton a:b* — ac > o, il y a deux branches de courbe passant réellement par le point M, et les tangentes s* obtiennent en égalant à zéro l'ensemble des termes du second degré.