Voyez, sur ce point, l'exercice i de celte leçon

ns SEIZIÈME LEÇON

Soit:

(0 (U,ï = ?m(«-î') + em-i(-E,V)-f-..-+?.(J-,y)='>,

réquatîon de la courbe, en posant :

(a) ?,(x.y) — ax' + séxi/ + cî/'.

Nons représenterons les coordonnées d'un point A par x:=.h,y =.^h, de telle sorte que 0 représenle le coefficient angulairejOA , et nous poserons :

t et l' sont des nombres réels, puisque nous avons supposé b* -j,ac > 0 ; soient A et A' les deux droites qui correspondent awi ^T'°''""^-y — '^ — ■■- Comme nous disposons du signe d'un coefficient de réquation(t^, nous supposerons c>-i>; si l'on avait c = o, on effectuerait un changement d'axes.

Fig- -t.

Pour tous les poinls situés dans la région ombrée de la figure on remarquera que ç, (-p,y) est négatif ; au contraire Oi {^jV) prend une valeur positive pour les points pris dans l'autre région.

Ceci posé, soient h et ^h les coordonnées d'an point A que nous allons supposer mobile sur la droite S. Substituons ces coordonnées dans Téquation (i), nous aurons :

Le multiplicateur de A* a le signe du terme 9^ (s^) pour des valeurs de A, positives ou négatives, mais choisies suffisamment petites. D*ailleurs l'identité (3), donne :

Pour le point A, 6 est supérieur à ^ et à ^ et l'on a

au point A'» au contraire 91 prend une valeur négative ; enfin Çi est de nouveau positif quand on considère le point A". On a donc, d'après cela,

Si Ton considère la fonction entière de y,U^y,'on voit donc qu'elle s'annule pour une valeur de y comprise entre PA et PA', et aussi pour une valeur comprise entre PA' et Vk\ La droite S rencontre donc deux bras de courbe partant du point 0 et situés à droite de Taxe des y. La même conclusion subsiste quand on considère des parallèles à Taxe des y situées à gauche de oy^^l dans le voisinage de cet axe.

Enfin si Ton observe que les droites qui ont pour équation, respectivement, y:=tx, y:=:t'x rencontrent la courbe en trois points coïncidant avec l'origine, on reconnaît que ces droites sont tangentes aux deux branches de courbe dont nous avons démontré Texistence.

Le même raisonnement établit que si b* — ac est négatif, il n'y pas de bras réels de courbe dans le voisinage de l'origine parce que la fonction ?, (1 ,6) ne peut pas changer de signe ; c'est le cas du point isolé.

Le cas oiib*^aczzo est plus délicat ; les branches qui passent par le point sont tantôt réelles, tantôt imaginaires,

et la disposition des bras de la courbe peut, suiTant les exemples, correspoadre aux points de rebroussement de première ou de seconde espèce, ou à ces points que nous avons nommés points d'osculation ou d'embrassement.

Une discussion particulière déterminera, dans chaque exemple à laquelle de ces dispositions on a affaire; maïs nous ne pouvons entrer ici, plus profondément, dans la théorie générale, que comporte la détermination de la variété d'un point singulier donné.

1. Démontrer que iri ron effectue la tt an format ion au moyen des formules :

les tangentes aux points correspondants m et M, coupent Vaxe des x en est points également éloignés du pied de la droite mM. En déduire que, par cette transformation, un point anguleux reste un pointde même genre, A Cex' ception de celui qui est placé à l'origine,

ft. Démontrer que^ dans une courbe du degré m, le nombre des points doubler est tout au plus égala — ZLJ i^Zl'.

On suppose que le premier membre de réquaUon de la courbe n'est pas décomposable en (acteurs rationnels, par rapport aux lettres x,y.

On imagine qu'il y ait — "" ]} " ■ -f* i points doubles et Ton fait passer,

ce qui est possible, une courbe du degré (m — i), par ces points doubles

et par am — 3 autres points pris sur la courbe.

On trouve alors qu'il y aurait m (m — i) -f-j, points communs à deux courbes de degrés m et (m — i). Ce qui est impossible si la courbe imaginée ne fait pas partie de la courbe proposée ou si so^ équation ne représente pas une décomposition rationnelle telle que Tnn des facteurs obtenus appartienne au premier membre de l'équation proposée.

On appelle genre d'une courbe la différence entre le maximum des point* doubles d'une courbe et le nombre effectif de ses points doubles.

Une Traie cubique ne peut avoir qu'un point double^ elle est du genre wt, ou du genre séro.

Une Traie quartique ne peut avoir trois points doubles ; elle peut être du genre 3, a, i ou zéro.

S. Démontrer que la présence d'un point double abaisse la classe d'une eowrbe de 2 unités, et que celle d^un point de rebroussement l'abaisse de 3 unités; en général, un point multiple d'ordre p, produit un abaissement de p{p—i) unités, dans la classe.

CENTRES -- DIAMETRES — AXES

198. Définition du centre. On dit qu'un point 0 est centre d'une courbe U, lorsque les points communs à U et à une transversale quelconque A, passant par 0^ sont, deux à deux, symétriques par rapport à ce point.

IV^ Principe. Lorsque Vorigine des coordonnées est centre d'une courbe, V équation de celle-ci reste identique à elle-même^ quand on change xefi — x^y en — y; et réciproquement.

En effet, soit A un point de la courbe qui a pour centre Torigine .0 ; et soient x eiy ses coordonnées. Considérons le point A' symétrique A, par rapport à 0 , ses coordonnées sont : — 0? et — y, et puisque q est un centre, A' est un point de la courbe. L^équation de celle-ci ne peut donc admettre la solution xy, sans être vérifiée par les valeurs — x, —y: ainsi, les deux équations :f{x,y)zzo,f{ — x, — y) = «, ont les mêmes solutions. Les deux fonctions f{x,y) , /* — Xy—y) sont donc identiques à une constante près. Cette constante est d'ailleurs égale à + 1^ ou à — i ; car si le changement de a; en — a?, et de y en — y, donnait

/'(a;,y)=:KA— a?, — y), en changeant a; en — a?; y en —y; on aurait :

/^(-x,~y) = KA.c,y), et, en comparant ces deux identités, on a bien K' r= i .

La réciproque est d'ailleurs évidente et ce principe est souvent invoqué pour vérifier que Torigine est le centre d'une courbe correspondant à une équation donnée.

Soit, par exemple ,

si Ton change u; en -—x, y en —y, l'équation n'est pas modifiée : l'origine est donc un centre de la courbe qui correspond à cette équation.

19S. Théorème. Lorsque l'origine des coo7'données est le centred'une courbe ayant pour équation f[x^y) — o; sif{x,y) désigne une forme entière cTx et (fy , elle ne renferme que des termes de la même parité.

Soit hy et ^h les coordonnées d'un point A de la courbe proposée U ; et soit

9ni(x,y) + ?m-i (x^y)-^ ... + ?, {x,y)f-9o - «, réquation de celle-ci. On a donc :

Les coordonnées du point A', symétrique de A par rapport

à l'origine, sont : — A et — OA ; ce point A' étant sur U, par hypothèse, Tégalité (i) sera encore vérifiée en changeant A en — A, et Ton a :

(2) ( - irA«?^(i ,0) -h(-~ ir-vi'»-'?„.-i (1,6) -h ...

Supposons que m soit pair, pour fixer les idées, et retranchons les égalités (i) et (2), nous obtenons, après avoir supprimé le facteur 2/1 ,

Si Ton suppose que 0 consrve une valeur fixe, cette relalation qui est du degré (m — 2) est vérifiée par m valeurs

de hy puisqu'il y a m points communs à la courbe et à la droite AA'. Elle est donc identiquement nulle et Ton peut poser :

On peut, il est vrai, objecter que Torigine peut être un point simple de la courbe; mais il y a encore (m— i) valeurs de h, différentes de zéro et la conclusion précédente subsiste; si Forigine est un point double, on a ^t{x , y) =: o^ Tégalité (3) devient divisible par h, et il reste une équation du degré {m — 3) admettant (m — 2) racines ; et ainsi de suite. Les relations (4} sont donc toujours vérifiées.

Prenons Tune d'elles 9^,(i,6)=:o, et remarquons qu'elle

est vérifiée pour une infinité de valeurs de 0, puisque AA' est une droite quelconque passant par Torigine. Nous avons donc:

et réquation de la courbe se réduit à la forme suivante :

?m(^,y) -+- <?fn«2(^,y) + •.. 4- ?o = O,

elle ne renferme que des groupes homogènes de parité paire. Le même raisonnement, appliqué à une équation du degré impair, conduit à la même conclusion, et Ton trouve, pour réquation de la courbe :

On voit^ par ce résultat, que si un point est centre d'une courbe de degré impair, il est situé sur la courbe ; et si, dans une courbe de degré pair, un point, centre de la courbe, est situé sur elle, c'est nécessairement un point de multiplicité

paire.

Nous ferons encore remarquer que le théorème que nous venons d'établir peut se démontrer aussi en s'appuyant sur le principe exposé au paragraphe précédent et sur cette propriété connue, ou facile à vérifier, qu une fonction de

plusieurs variables ne peut èlre identiquement nulle que si tons les coefficients sont nuls. Mais cette propriété étant fondamentale dans la théorie des centres des courbes algébriques, il nous a paru préférable de l'établir par une voie directe.

1 9S. Théorème. Les courbes algébriques dun degré supérieur à 2, rConty généralement^ pas de centre: dans tous les cas elles ne peuvent en avoir qu'un seul.

Soit F (x,y) = o, l'équation de la courbe proposée U ; supposons qu'elle ait un centre o) et transportons les axes, parallèlement à eux-mêmes, en ce point. En désignant para^o^o les coordonnées de o), la nouvelle équation est :

ou

(«) F (a:.,y.) + XF;^ + YF;^ + — - F",^ + XYF^^,

L»tf"«*

Dans les courbes du troisième ordre, le point {Xo,yo) ne peut être centre de la courbe que si Ton a :

F (œo,yo) — o, lA r= o, F^^^ zz o, F^. - o.

Or, en général, quatre équations à deux inconnues ne sont pas susceptibles d'uxie solution commune. Il n'y a donc pas en général, de centre, dans les cubiques et, à fortiori, dans les courbes d'un ordre supérieur.

Je dis maintenant qu'il n'y en pas deux, à moins que la courbe ne soit formée par un système de droites parallèles. Des considérations de géométrie élémentaire, les plus simples, font voir immédiatement qu'il y aurait, en effet, une infinité de points de la courbe situés sur deux droites parallèles à la ligne qui joint les deux centres, et équidistantes de celle droite.

Le calcul qui précède constitue une méthode pour trouver

De L. Tome U. i^

le centre d'une courbe algébrique et nous allons, notamment, rappliquer à la recherche des centres dans les courbes du second degré.

199. Centre des eoniqiMïs. Soit F (a;,y) =: o, Téquation d'une courbe du second degré, en posant,

F (ic,y) s: Aa:*+ A'y* + -î&'xy -h aBy -f- aB'x + A\

l)*après réquation (i),du paragraphe précédent, on obtient, au point {Xo,yo), un centre de cette courbe, si Ton peut déterminer ces coordonnées au moyen des deux équations :

B'x^-hA'y^-hBzzo.

L'équation de la conique considérée prend alors la forme nouvelle :

OU

(a) AX* + 2B^XY + A'r-i-Ki=o; en posant :

(g) K^V{Xo,yoy

D'ailleurs, les équations (C) permettent de trouver, pour ^0 et yo, des valeurs finies et bien déterminées, si Ton suppose :

On remarquera que les termes du second degré, dans (a), sont les mêmes que dans Péquation proposée. 11 nous reste à calculer la nouvelle constante K.

Les égalités C el (g) multipliées respectivement pariCo,yo, t, donnent, par combinaison,

(y) B'xo + Byo-+-A" — Kzio.

Entre (C) el (y) on peut éliminer Xo et y©, et Ton a :

La dernière colonne étant écrite sous la forme :

on a, par application d^une règle connue.

ou, par une nolalion déjà signalée (§ io4),

Les coordonnées du centre s'obliennent d'ailleurs en résolvant les équations (C); par conséquent, elles sont données par les formules :

«ZTq

— Vo

Nous résumerons les résultats que nous venons d'obtenir de la manière suivante :

1** Lorsque y dans V équation cTune conique^ on ao'pto ; cetêe courbe admet un centre^ à distance finie.

a^ Ce centre est à r intersection des deux droites obtenues en égalant à zéro les dérivées partielles, par rapport à x, ei par rapport à y, du premier membre de réquation de la conique.

3® Les coordonnées Xo, t/o, ^o de ce centre, sont proportionneUes aux mineurs du second ordre du discriminant A, qtiand on développe celui-ci par rapport aux éléments de la troisième colonnCy ou de la troisième ligne.

4** Lorsqu'on transporte les axes de coordonnées parallèlement à eux-mêmes au centre de la courbe :