LES DIAMETRES ET LES COURBES DIAMÉTRALES
1 98. Définition des diamètres. Dans les courbes du second degré le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée est une droite qu'on appelle un diamètre. Dans les courbes du degré w, ce lieu est une courbe qui est,
généralement, du degré — —^ ; c'est la courbe diamétrale correspondant à la direction donnée. Nous allons établir Texaclitude des propositions que nous venons d'avan-
cer et nous chercherons d'abord, par une généralisation naturelle de ridée qui préside aux définitions précédentes le lieu des milieux des cordes qui, pour une courbe donnée^ passent par un point fixe.
199. Principe. Etant donnée une droite A, déterminée par deuxpoints {XofyoyZo)y{XtyytyZ^); un point M, de A, ayant des coordonnées x^y^z vérifiant les foj'mules connues :
Si ton considère deux points M^ M' équidistants du point (Xçyyo,Zo);lesparamètres\\\'^j qui leur correspondent, satisfovt à légalité :
Considérons, en effet, les quatre points en ligne ^foite
On a :
Flg. 7î.
et, de ces égalités, en tenant compte des relations :
M'M« = M''Mp, M'M'ziiM'Mo,
on déduit bien :
180. Problème. ÉUmt donnée une courbe \], ayant pour équation f {Xyy^z)zzoy trouver le lieu du point /, milieu des cordes qui passent par un point fixe M (a:, , y^ , z^.
Désignons par o^o y» 2o los coordonnées d'un des points I; l'intersection de U avec la droite MI est déterminée par la résolution de réquation :
/" (a^o -h Xo?, , yo 4- >^yi , ^0 -I- >^2, ) = o ,
équation qui, développée par la formule de Taylor, peut s'écrire :
En exprimant que l'équation aux inverses :
à deux racines particulières dont la somme est égale à — a, on obtient une relation du degré -^— qui représente réquation du lieu géométrique demandé, en supposant que Xo^yoj^oj désignent des coordonnées courantes.
181. ApplliMiÉion an JL coniques. Lorsqu'on suppose 971= a, dans l'équation (i) la somme des racines devant être égale à — a (§ 179), on a, pour l'équation du lieu cherché,
En appliquant Fidentité d'Euler :
et, en rendant a:,.,yo,^o coordonnées courantes, on a, enfin,
Cette équation représente une courbe du second degré passant par le point donné (a;,,^,) et par le centre de la conique, quand elle a un centre.
189. mamétres des comiques. Dans le cas particulier où le point rr, ,y, est situé à Tinfini, dans une direction a,p» réquation précédente devient (§ 83 ôw),
(D) an-h»ry = o.
Cette équation est du premier degré. Ainsi : le lieu des milietix des cordes d'une conique^ qui restent parallèles à une direction fixe^ est une droite.
Lorsque les équations /' — o, /"'no admettent une so-
lution (a;' ,y'\ Téquation (D) est vérifiée par ces valeurs d'à? et d'y. Ainsi : dans les coniques qui ont un centre^ tous les diamètres passent par le centre.
Prenons maintenant le cas où i est nul. Les droites qui ont pour équation, respectivement :
flzzkx^Wy-hVy
sont parallèles et il est facile de reconnaître que tous les diamètres sont eux-mêmes parallèles à cette direction commune. En effet Téquation (D) pouvant s'écrire :
a (Aa7 4- B^y-h B') -+- ? (B'^a; 4- A'y H- B) = o,
Aa-hH"P
son coefficient angulaire est égal à —
Jî''a+A'3'
232 DIX-SEPTIÈME LEÇQN
D'autre part, fi élant nu]; on a
A y Aa B^g Aa + B'^
Les coefficients angulaires des droites (Ç) et de la droite (D) sont donc égaux, quelle que soit la direction des cordes. Ainsi dans la parabole totis les diamètres sont parallèles.
On peut encore observer que cette direction uniforme des diamètres est la direction asymptotique de la parabole.
Remarquons d'abord que la condition AA'— B'*=:o, prouve que A et A' ne peuvent pas être nuls simultanément. Car, s'il en était ainsi, les trois coefficients A, A' et B' seraient nuls et l'équation proposée ne représenterait pas une courbe du second degré. Supposons donc A';zf o. Nous avons :
ou,
Ax* 4- Ay 4- ^B'xy =: i^ (AA'a;* 4- A' V -+- ^A'B'xy),
Ao;» -h A'y* 4- ^B"xy = -^ (B'x -f A'y)'.
Ainsi, dans la parabole, le groupe homogène des termes en a: et y forme un carré parfait, il y a une direction asympto-
tique double, dont le coefficient angulaire est égal à — -^î
c'est le coefficient angulaire de tous les diamètres.
188. Diamètres singuliers. Nous appellerons ainsi ceux qui correspondent aux directions asymptotiques de Téquation :
(i) Aa;'4-AV4-aB''iry4-aBy4-2B'a?4-A'=:o.
Soit (a,P) une de ces directions; on a (§ i4i)
(a) Aa"4-A'g'4-2B''ag = o.
Nous supposerons d'abord que l'on ait AA'— B'*<o;dans
ce cas, la relation (a) fait connaître, pour -, deux valeurs
réelles et distinctes : les courbes qui correspondent à (i) ont alors deux directions asymptotiques réelles. Soient (a',p') les
paramètres qui définissent Tune de ces directions, le diamètre singulier a donc pour équation :
avec la condition :
Cherchons d'autre part Fasymptote qui correspond à la direction (a',^'). La formule connue (§ 142) appliquée à l'équation ( 1 ) donne :
X (Aa' + W^') + y (B^a' -+- A'P') 4- Bg' -f- B'a' zz o, ou,
a' (Ao: H- B'^y 4- B') -+- &' (B-'ar 4- A'y + B) = o, ou, enfin.
Ainsi le diamètre singviier coïncide avec Pasymptote.
On peut expliquer ce résultat de la manière suivante. Prenons une direction asymptotique et considérons uiie droite A parallèle à cette direction. Nous savons (§ i5i) que A ne rencontre la conique qu'en un point à distance finie, l'autre point étant rejeté à l'infini. Le milieu de la corde est donc lui-même rejeté à Tinfini, excepté dans le cas où A devient l'asymptote même. Dans cette hypothèse les deux points communs sont, l'un et l'autre, rejetés à l'infini, et la relation
r,4-r7 -H- 2 z= 0, est vérifiée par tous les points Mo (fig. 71) de
la droite MoM,, lorsque l'on suppose que les points M' et M* sont à l'infini. Cela tient, comme l'on voit, à ce que chacun
des rapports rr, r;? a pour limite — i. Au point de vue géo-
métrique, on peut dire encore, que le milieu d'un segment qui devient infini est un point quelconque de ce segment.
Considérons maintenant le cas de la Parabole. Cette courbe possède une direction asymptotique unique dont les paramètres (a,p) vérifient la relation (§ 182) :
Le diamètre singulier a donc pour équation :
B" (B"a:-f- A'y -f- B) — A'(Aa? H- B'y -h B') n o.
Les termes en a? et en y disparaissent et cette équation se réduit à la suivante :
BB" - A'B' zi 0.
Si BB^zz A'B'; on a vu (§ -85), et Ton vérifie sans difficulté, que réquation proposée représente deux droites parallèles ; si, au contraire, BB" est différent de A'B', ce qui est le cas des paraboles, on voit que le diamètre singulier, ou l'asymptote qui correspond à la direction asymptotique unique de la courbe, est rejeté à Vinfini.
184. IMamétres eonjH|piés. — Directions eonjni^ées. On dit que deux diamètres A, A' sont conjugués, lorsque A partage en deux parties égales les cordes parallèles à A', et inversement.
11 existe une infinité de systèmes de diamètres conjugués. En effet, soit :
(1) a(Aa;-f-B''y-hB')-[-3(B''iP-hA'y-hB)=:o,
réquation du diamètre A, qui partage en deux parties égales
S les cordes U, dont le coefficient angulaire est - •
et Considérons maintenant un second diamètre A', correspondant à réquation,
(2) «'(Aa;4-BV4-B')-|-3'(B''a;-f-A'y + B)=:o.
Cette droite A' sera parallèle aux droites U^ si l'on a :
3 Aa' -h B^g'
CENTRES. - DUMËTRES. - AXES 235
(3) k%%' -4- B" (a&' -h 3a') 4- A'gP' = o.
Cette relation reste identique à elle-même lorsqu'on per* lute les lettres « et of, d'une part ; p et g', d'autre part ; et ette remarque prouve que : si Ton cherche le diamètre qui lartage en deux parties égales les cordes V, dont le coefficient
iDgulaire est —«ce diamètre est précisément la droite A.
Concluons]donc que les deux droites A , A' qui correspondent IQX équations (i) et (a), sont deux diamètres conjugués, iuand la relation (3) est vérifiée.
Deux cordes U et V dont les coefficients angulaires " , ^
férifient Tégalité (3) ont des directions qu'on nomme direc- \ims conjuguées. En d^autres termes, deux cordes ont des directions conjuguées quand elles sont parallèles à deux diamètres conjugués.
18&. Axes. Lorsqu'une droite A prise dans le plan d'une coarbeU, est telle que toutes les cordes l, perpendiculaires à A sont partagées par cette droite etpa r U en deux parties égales, on dit que A est un axe de U et que les cordes 3 sont parallèles à une direction principale de cette courbe.
La recherche des directions principales et celles des axes nous occupera, surtout, quand nous discuterons les propriétés des coniques; nous indiquerons seulement ici comment on peut trouver les axes d'une courbe donnée.
Soit, en coordonnées rectangulaires,
(a? — a?o) sin ç — (y — yo) cos ç 1= o ,
f équation de l'axe d'une courbe dont Féquation est f{x,y) zz. o. I^nsportons les axes de coordonnées, parallèlement à euxmèmes; au point {x^y t/oj) en utilisant les formules :
Inéquation de la courbe est alors :
/(^o + $,yo + Y)) = o.
236 dix-sephëme leçon
Effectuons maintenant une rotation des axes, Tamplitude de cette rotation étant égale à 9 ; les formules de transformation sont :
$ := X cos © — Y sin 9 , k; z= X sin ç + Y cos ç ; et réquation de la courbe devient :
/"(ar^ -h X cos (p — Y sîn 9 , yo + X sin <p + Y cos <p) := o.
Si A, qui est le nouvel axe des X, est un axe de la courbe, cette équation ne doit renfermer que des puissances paires de Y.
i. On considère une courbe \} et la courbe diamétrale V lieu des milieux des cordes qui sont parallèles à une droite fixe A. On demande de dé^ montrer les propriétés suivantes :
lO V passe par les points de contact des droites A' gui sont parallèles à A et tangentes à U.
a» V est tangente à ces droites A', en w— a points, si m est le degré
deV.
3** A une boucle de la courbe V, correspond dans V une boucle dont la surface est moitié moindre,
4** Si U possède un point double en P, V va passer par ce point et la tan* gente à V est la branche conjuguée de la direction A, par rapport aux tangentes à Ut au point P.
5* St. P est un point de rebroussement, V passe par le point P, tangentiellement à U, et possède (m ^ a) points de rebroussement sur la parallèle à A menée par P.
S. On considère une courbe U et un point fixe P ; par ce point on mène des transversales A, et Von cherche le lieu V des milieux des cordes inter. ceptées par V, sur A.
Soit AB Vun de ces segments, I son point milieu^ et soit enfin J, le symétrique du point P, par rapport à I. Démontrer que la tangente en l à la courbe V, est parallèle à la droite qui, passant par J, est partagée par ce points et par les tangentes à U aux points A,B, en deux parties égales,
Oq appliquera l'idée des traasverBales réciproques à deux sécantes voisines A et A'.
8. Soit U une courbe donnée, AB une corde mobile parallèle à une ai» rection fixe, et soit I le milieu de AB ; démontrer que la tangente enlàUi courbe diamétrale V, s'obtient en joignant le point I au point de concours des tangentes à U, aux points k et B.
4. Trouver la courbe diamétrale des cordes de la strophoîde, qui sont parallèles à Taxe de cette courbe.
L'équation de la strophoîde étant :
y a — or.
OD trouTG :
[a-hixy
y^ziz—x^ .
Pour obtenir ce résultat, simplement, on peut employer une méthode particulière, mais très naturelle ; nous Youlons parler du procédé qui consiste à couper par la droite (y=X) et à remarquer que Tabcisse du point dont on cherche le lieu géométrique est une moyenne arithmétique entre les abcisses de deux des points d'intersection de la sécante et de la courbe.
On pourra vérifier sur la courbe trouvée quelques-unes des propriétés énoncées à l'exercice L
S. Trouver la courbe diamétrale des cordes qui sont parallèles à la dirtefion dont le coefficient angulaire est m et qui apparliennetit à la eulaque dont Véquation est :
Le résultat est:
On l'obtient, si l'on veut, par un procédé qoi est ordinairement commode, mais qui est particulièrement avantageux dans le cas où la courbe proposée est une cubique.
On prend les formules : (§ 71)
a? r= 070 -+- ap, ynyo + Sp, et Ton trouve une équation du troisième degré en p :
Ap'-hBp*+Cp + D=:o.
Ponr exprimer qu'elle a deux racines égales et de signes contraires, Tm a la conditlou BC=: AD; on trouve ainsi, rapidement, l'équation de la coari)e diamétrale.
•. Si une cubique admet un centre ; ce point est un point d*in flexion de la courbe ; démontrer que c*est aussi un centre et un point dUn flexion pour toutes les courbes diamétrales,
9. Lorsqu'une courbe admet un centre les asymptotes passent par ce points ou sont situées symétriquement^ par rapport à lui.
HOMOTHÉTIE ET SIMILITUDE
MHS. Définitions. Soient deux courbes U et V, que nous supposons placées dans le même plan : s'il existe dans ce plan deux points 0, 0' tels que deux semi-droites parallèles partant de ces points rencontrent U et V, respectivement, en des points M, , M,, ... ; 7n, ,m, , ... ; et si les égalités :
OM, OM, __ O'w, ~0'm, ^'
sont vérifiées quelle que soit la direction des semi-droites considérées, nous dirons que U et V sont des courbes hotmthéttques. Les points 0 et 0' sont les pôles de Thomothétie, K est le rapport d'homothétie. Lorsque K est positif, Thomothétie est directe ; elle est inverse, quand on suppose K négatif.
Nous dirons aussi que V est une transformée homothétique de V, et les points w, jM^; »i,,M,;... seront appelés points correspondants.
Ces définitions étant données, on reconnaît sans difficullts par des considérations de géométrie élémentaire, les propriétés suivantes, que nous nous bornerons à énoncer.
Théorèmes divers, i® Si par les pôles 0> 0' on mène deux segments rectilignes dans la même direction ; u» et »'
étant les extrémités de ces segments; si Ton a — — , riK, les
deux courbes U et V sont encore homotliétiques par rapport aux pôles (i> et &>'
HOMOTHÉTIE ET SIMILITUDE 239
a* La droite qui joint deux points correspondants coupe la ligne des pôles en un point fixe quels que soient les points considérés ; il y a une infinité de pôles, mais ce point fixe est le même pour tous. C'est le centre d'homothétie.
^ Les tangentes aux points correspondants sont parallèles.
4* Les périmètres de deux lignes correspondantes ont un rapport constant, et égal à K.
5' Les surfaces des espaces fermés correspondants ont un rapport constant, et égal à K*.
6** Si deux coniques à centre sont homothétiques, les centres peuvent être considérés comme deux pôles de Thomothétie.
j'* Si deux coniques à centre sont homothétiques, elles peuvent être considérées comme homothétiques directes et comme homothétiques inverses : les centres de ces homo- Ihéties sont deux points situés sur la ligne des centres, partageant cette droite harmoniquement, et dans le rapport K.
8** Quand on transforme une courbe par Thomothétie ; à un point, correspond un point; à une droite, une droite parallèle ; et, généralement, à une courbe /"d'ordre m et de classe n, une courbe F également d'ordre m et de classe n.
8« Deux figures homothétiques à une troisième sont homo* thétiques entre elles.
189. Fonnnles de transffomiatloii. Soient 0 et CK les deux pôles donnés ; prenons l'un d'entre eux, le point 0, pour origine des coordonnées, et désignons par a,^ les coordonnées du point 0'. Soient m et M deux points correspondants; les droites Om, O'M sont parallèles, et dans un rapport donné K, Les triangles semblables OmP, O'MQ donnent les relations :
Telles sont les formules de transformation, et si le point m décrit une courbe fj dont l'équation soit,
le lieu décrit par le point correspondant est une courbe ayant pour équation.
1S8. Homothétie de deux coniques. —Théorème.
Pour que deux coniques soient homothétiques, il est nécessaire et suffisant que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.
Soient :
(i) l]=:ax* + a'y* ^- ^b'xy + 2by + 2b'x -f o" — o, (a) V zz Aa?'4- ^V + ^B'xy -f aBy + «B'u: -+- A" = o,
les équations des deux coniques proposées. D'après ce que nous venons de voir, l'équation générale des coniques homethétîques à la première est,
ou, après développement,
(3) ax* -h «y + 2b''xy -f bk
ay 4- b'k
— ax
ax + p r: 0 ;
HOMOTHÉTIE. - SIMILITUDE
en posant :
(4) p = oa* ^- o'^* 4- 26'a3 — 2*Pft — ^b'(xk -+■ a"k\
Identifions les équations (2) et (3), nous obtenons les relations :
a a' b" bk — b'a - g^g; fc'A — gg — b"?, p I""A'""B''^ B "" B' ^A'''
Dans ces égalités^ les inconnues sont a, 3 et A: : on voit
a a' b" d^abord qu'elles exigent que les rapports -, —, , ^, soient
égaux; la condition que nous avons énoncée toutàTheure est donc nécessaire ; il nous reste à montrer qu'elle est suffisante, en admettant, pourtant, que la valeur de k soit susceptible de prendre des valeurs imaginaires.
a a' b" Désignons par X la valeur commune des rapports 7» tv » m '
les inconues a , 3 et ^ vérifient les équations suivantes : *
ax + 6''3 — b'k + B'X := o,
(ij fc"a-f-a'3— 6^-f-BX = u,
ar + a'i^* -+- 2b"x^ — ^b'^k — 26'aA -h a"k* — A'^X = o.
Multiplions ces égalités, respectivement, par a, 3 et — 1, puis ajoutons les résultats obtenus, nous avons :
X (B'X + b'k) + 3 (BX + bk)+ A"X - a"k* =: o. Les équations (1) donnent donc:
b" a' — 6/c -h BX
B"k + b'k hl + bk ^a"k^ + AX
ou, en appliquant une règle connue (Alg. g 89),
b'k+b'K 6A+BX De L. Tomb II.
Xi b" a B
. ô'A+B'X 6^4-BX A"
iG
OU, encore, par application de la même règle,
a' b —Xk
a b" W b" a' B B'X BX A"
Si nous simplifions celte égalité, nous avons,
BX
ou, finalement,
c et A désignant les discriminants des deux coniques proposées. On peut toujours supposer que A et a sont positifs : alors X est une quantité positive et les valeurs de k sonl réelles si les deux coniques considérées ont leurs discriminants de même signe ; elles sont imaginaires, dans le cas contraire. On peut aussi remarquer que la valeur de /r*, n'est jamais ni nulle, ni infinie, quand A et 8 sont différents de zéro.
180* Théorème. Lorsque réquation d'une courbe ne renferme qu'un seul paramètre p, toutes ces courbes sont homothétiques, quand p varie.
Soit ;
réquation de la courbe proposée U ; le premier membre de cette équation est une forme entière et homogène (§ 34) des lettres a?, y et p. Donnons à p une valeur nouvelle P, et considérons la courbe V qui correspond à réqualion/'(a?,y,P)r:o: nous allons montrer que U et V sont des courbes homoUiéthiques.
HOMOTHÉTTE. - SIMILITUDE 243
Posons :
réqualion de V peut s'écrire :
Effectuons maintenant une transformation de coordonnées, conformément aux formules :
réquation de V devient alors,
/•(XX, XY,Xp)zzo,
ou, en remarquant que /"est une forme homogène en X, Y, et p.
AX,Y,p) = o.
Ainsi, une transformation homothétique de V la rend identique à U ; ces deux courbes sont donc homothétiques.
100« Slmilltade. On dit que deux courbes \] elN sont semblables lorsque un déplacement effectué sur Vune d'elles^ la rend homothétique à Pautre.
La méthode générale pour reconnaître que deux courbes r, V sont semblables peut être résumée de la manière suivante : On effectue d'abord, pour Tune des courbes, pour U par exemple, une rotation des axes proposés autour de l'origine; on cherche ensuite l'équation générale des courbes homothétiques de U, dans le nouveau système d'axes. Si l'on peut, après cette rotation, et cette transformation, identifier la courbe obtenue avec la courbe donnée V, on peut conclure que U et V sont semblables.
Cette méthode donne lieu ordinairement à des calculs compliqués ; nous indiquerons plus loin un moyen plus rapide, permettant d'exprimer que deux coniques sont semblables.
2ii DIX-HUITIÈME LEÇON
191. Homographie. Les figures homothétiques peuvent être considérées comme constituant un cas particulier des figures homographiques. Sans entrer dans les développements que comporte la transformation homographique, nous indiquerons seulement les formules qui servent de base à cette transformation et qui sont dues à Waring.
Lorsque les coordonnées variables x,y d'un point m sont liées aux coordonnées X, Y d'un autre point M, par les formules :
__ a\^b\+r a'X-hb'Y-hc\ ^ ^ -^-î^iX+nY+y ^""/wX-t-nY -+-;?'
nous dirons, avec Chasles, que les deux points ?w,M si correspondent, homographiquement. Si le point m décrit une figure /*, le point M décrit, lui aussi, une figure F; nous dirons que les figures /" et F se correspondent homographiquement, ou que F est une transformée homographique de/*.
Il est facile de reconnaître que si F est une transformée homographique de fy réciproq%ieinenty on peut considérer F comme une transformée homographique de f.
En effet, les formules (A) donnent :
i^ + ^y -<- ? ' ;^ -H vy +- p '
en posant :
a zzpV — ne' y a' — me* — pa\ ^ — na' — mb\ P z: wc — pb, i3' :=, pa — me, ^ zz mb — na, ^(:=,bç* —eb\ 7'— ca' —ae\ f zzab' —ba\
Ces formules (A') prouvent que F est une figure qui peut èlre considérée comme une transformée homographique de/".
D'après les formules (A), à une droite S, de la figure /*, correspond, dans F, une droite A ; et si Téquation de 8 est :
Celle de A est :
u (a\ i^b\-he) + v {a'X -h 6' Y -h c') -h w {mX -4- «Y -hp) =««
HOMOTHÉTIE. - SIMILITUDE 245
D'une façon plus générale, on voit que si l'équation d'une rourbe est, en coordonnées homogènes,
celle de la transformée est
/'(aX + ôY + c,a'X + ft'Y4-c',mX + nY + />)=io.
De cette remarque, on déduit cette conséquence importante, indiquée par Waring, dans la transformation homographique^ Vordre des courbes n'est pas modifié.
19^. InterpréÉation içéométrlqae de l*hoiiio||^raphie. Nous nous proposons de montrer que la transformation homographique revient, à la bien considérer, à un simple changement de coordonnées.
Pour simplifier la démonstration qui suit, supposons que les axes proposés soient rectangulaires et que les formules de transformation soient prises sous la forme :
X ces a + Y sin a — a X cos 6 -+- Y sin 6 — 6
X cos 9 + Y sin ç — ^ X cos ç -h Y sin <p — /
Considérons les droites qui correspondent aux équations :
P .- X cos a + Y sin a — a z= 0, QirXcos6 +Ysin6— 6 = 0, R rz X cos 9 H- Y sin ç — l =: o.
Et supposons, pour ne nous occuper que du cas général, que ces droites forment un triangle, que nous nommerons le Iriangle de référence de la transformation considérée. Soit :
(0 fix,y,z)zzo,
Téquation de la courbe considérée; l'équation transformée est donc :
Considérons maintenant un point m, et appelons 5 , tq i î ses distances aux côtés du triangle de référence. Nous avons
par conséquent, nous pouvons écrire :
Si nous comparons maintenant les équations (i) et (2), nous voyons qu'elles ne diffèrent que par le simple changement des lettres : x,y, z, d'une part; ^^ iqi C» d'autre part. La transformation homographique revient donc à conserver l'équalion proposée, mais en donnant aux lettres a;, 3/, 2: celte signification nouvelle, qu'elles représentent les distances d'un point aux côtés du triangle de référence, ou, du moins, des quantités proportionnelles.
108. Transfformatioii homolog^que* La transformation homologique a été imaginée par Poncelet ; elle constitue un cas particulier de la transformation homographique de Chasles et on peut la définir de la manière suivante :
Fig. -4.
Imaginons une droite fixe A, que nous nommerons Xaxe d'homologiey et un point fixe P qui sera le pôle de la iransfor' malion. Abaissons du point P une perpendiculaire PQ sur A et considérons deux points m et M se correspondant ainsi :
se une
HUMOTHÉTIE — SIMILITUDE 247
1" La droite mU passe coiislammeiU par le pôle P.
2" La droite A est bissectrice de Va^igle mQM.
Ces points m et M, ainsi associés, sont des points qui correspondent homologiquement ; et si m, (a;, y), décrit Unc courbe/*, le point M, (X,Y), décrit une courbe correspondante F; cette courbe F est la transformée homologique de /*.
Ayant pris les axes indiqués par la figure, en posant VQzid^ on a:
De ces égalités, on tire :
(/X dY
^"'2X-rf' ^"2X — rf*
Ce sont les formules de la transformation homologique, dans le système d'axes que nous avons adopté.
I. Démontrer que, dans la transformation homoyraphique ^ à quatre points en ligne droite ff|, a^, Os, a^, con^espondent quatre points A4, A,, As, A4 qui tontaïusi en ligne droite et qui sont tels que leur rapport anharmonique soit égal à celui des quatre points a ; ce qui s exprime par la notation conventionnelle,
Pour résoudre ceUc queâtiou par l'auulyse, ou établira d abord que si l'ou coDsidère quatre points A, B, C, D ou ligue droite et si l'on désigne par X, 3f Y, ^ leurs distances à une droite A, par a', ^/, y'i 0' les distauces
de ces mêmes points à uue seconde droite A' (ou des quantités proportionnelles à ces distances), on a :
S. Démontrer que dans la transfoinnation homologique deux droites correspondantes se coupent toujours sur Vaxe d'homologie.
3. Démonlrei- que deux cercles quelconques peuvent être considérés comme transformés l'un de Vautre par homologie ; le centre d'homologit étant l'un des centres de similitude^ et Vaxe d'homologie^ Vaxe radical.
Cette propriété est un cas particulier d'un théorème plus général, relatif à deux couiques quelconques. (Poncelet ; Trai/é des propriétés projeclires.)
