MF-|-MF' + 2C

;) — FF'niflr — c.

et, par combinaison, et en posant «*—&•== c*,

p (p — FF') = b\ D*aiitre part, on a :

(p — MF)(p -MF') =:p' — î*ap 4- MF. MF', ou,

(p — MF) (p — MF') 1= MF . MF' — b\

D'ailleurs, la surfece du triangle peut se représenter, indifféremment, par cy, et par ^p (p — FF') (p — MF) (p — MF'); on a donc :

(t) £1- = MF.MF' — ^>'.

On peut maintenant observer qu'un théorème connu donne :

2C* + !iMo'zzMF*-hMF'", on,

(2) 2C* + 2{x* + y*) - MF* + m'\ Les égalités (i) et (a), en tenant compte de la relation:

MF* 4- MF'' + îMF . MF' — ia\ donnent, par combinaison,

OU, après réduction.

C'est réquation que nous retrouverons plus tard, et que nous nommerons, alors, éqtuition de rellipse rapportée à ses axes.

19. Éqnatioii polaire de l'ellipse. Prenons pour origine le foyer F', pour axe polaire F'F; la direction positive de cet axe étant celle qu'on obtient en allant du foyer F', pris pour origine, vers l'autre foyer.

Dans le triangle F'MF, on a,

MF':=p, MF=zM-'P, FF' Des formules connues (*) donnent :

rz 2C,

et,

Kig. 'l-

. (ù ia-t-c)(p-i-c —

2 îîp^

laison,

relation qu'on peut encore écrire,

1 — c COS (I)

en posant :

1. Les formules que nous utilisons ici sont celles qui, dans la notaUon ordinaire de la trigonométrie, sï'crivent sous la forme :

—^^ -> sm —

oc 2

LES COORDONNEES

18. Équation cartésienne et équation polaire de i'hyperliole. Des considérations analogues à celles que nous venons d'exposer et des calculs semblables à ceux que nous avons développées, prouvent que, dans le cas de l'hyperbole, après avoir posé FF' r= ac, MF' — MF n aa, et c* — a* + 6*; on a, pour Téquation de cette courbe,

On trouve aussi, pour Téquation polaire de la courbe,

1 — e cos «»>

en prenant pour direction positive de Taxe polaire celle qui est opposée à la direction obtenue en allant, du foyer choisi pour pôle, à Tautre foyer.

t4U Équation cartésienne de la paraliole. Nous désignerons, suivant Tusage, par p la distance du foyer F à la directrice DD'.

■ar.

Fig. f).

Prenons pour axe des x la perpendiculaire abaissée de Fj

sur DD' ; et pour axe des y une parallèle à DD', équidistante de F et de DD' ; on a :

MF et.

MP:=yM (^-f y,

D'après la définition élémentaire de la parabole, on a :

MFnMQ; et, par suite,

ou, après simplification,

y* — iLpx,

C'est réquation de la parabole quand on choisit les axes que nous avons indiqués.

1&. Équation polaire de la paraiiole. Prenons pour origine le foyer, pour axe polaire la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice, la direction négative de cet axe étant celle d'un mobile se dirigeant du foyer vers la directrice. .

On a :

FH=:p, MQziMFzzp, MFa;=:w.

Le triangle MFP donne d'ailleurs,

FP = pcosu), ou,

PH — FHzzpcosd), et, finalement,

I. Soient A, A' les extrémilés du grand axe d'une ellipse, M un point mobUf sw la couche ; démontrer que si Von pose :

MAA' = a, et MA'A zz a',

oft a:

Tga Tga'-^'.

*. Soient F,F' les foyers d'une ellipse; si Von pose:

<ma:

^2 ® 2 a-hc

8. On considère deux cercles égaux, de rayon R; trouver le lieu des points tels que la somme des tangentes issues^ de l'un d'entre eux^ à ces circonférences, soit constante, et égale à 2a.

En prenaat ]a ligne des centres pour axe des x, et l uxe radical des deux cercles pour axe des y, on trouve

4. Soit M un point mobile sur une parabole ; démontrer que si l'on joint ce point M au foyer F et au point H, projection de F sur la directrice^ on a o)nslamment :

cotg*a — colg*6 — 1 ;

eh posant:

mWzzoL et MFHi=6.

s. Deux droites à et à' tournent autour de deux points fixes o et o/ d'un mouvement uniforme, et dans des sens différents; trouver le lieu décrit par le point de concours \, de ces droites, sachant que dans la position iiùtiale on a :

1 i EXEUCICFS

En posant ooi =: 2a et en prenant pour axe des x lu droite oo'^ pour axe des y la perpendiculaire à oc/ en son milieu on trouve :

6. On considère un cercle A rapporté à deux diamètres rectangulaires AOA', BOB'. Par le point A' on mène une droite quelconque qui rencoiUre BB/ au point C, et en ce point C on élève à A'C une perpendiculaire qui rencontre ^ aux points? et Q; les tangentes à 1, aux pointsP,Q,'se coupent en un point I dont on demande le lieu géométrique.

En posant GA'A =: ?, H désignant le point commun aux droites PQ et 01, on a :

OH . 01 ii: \{\ OH -. OC sin ? et OC iz R tg 9,

On trouve, finalement,

le lieu est une parabole.

1. On considère deux droites rectangulaires xx' et gy' ; sur xxt deux points A, A' également éloignés de Vorigine, Ayant posé oA =oA' =«/, démontrer que si Von considère deux points m, M qui soient vus du point A', sous un angle nul, et du point A sous un angle droit, les coordonnées de ces points x. y; X, Y vérifient les relations :

Montrer que ces formules sont réciproques; c'est-à-dire que l'on peut permuler les lettres x,X ; et y, Y.

8. Démontrer que si Ion considère les deux points m, M de rexcrcice précédent et si Von pose :

K'm :=, w, A'M = v, mk'k — w ; on a:

uv —^ {u + v) CCS iû + d' zz o.

9. On considère deux droites rectangulaires lix, oy; et surox, deua: points fixes ()',o". Ayatit posé :

' - d, o'u" = fi' ;

on prend deux points m, M en ligne droite avec le point o et tels que les droites atm, o//M soient rcclangulaires, Demo?ttr€r que les coordonnées

x,y; X,Y de ces dmix points vén fient les formules :

x XjX — d—d') d^X'-hV'^{d+d')\' y Y(X — ^^(Q ê/"X*-t-Y'' — (6/-hd')X'

En déduire les formules suivantes, tjui peuvent servir à effectuer la transformation inverse :

d-hd' Y

"y'-hx-

— dx

d-hd'

— dx

Démontrer ifuen posant'.

om — w, OM — u el max — w ;

on a:

d{d-^d') fd d-hd\ ^

- cos 0) I - H ) 4- 1 zr o.

uo \u

10. Démontrer que si deux équations f (a;,y) = o F (x,y) = o représentent la même coui'be, les coefficients des mêmes termes en x et y, sont proportionnels.

Si ToQ fiiit y=:hj on obtient deux équations f{x^h) =u F (a.-,/t) = o qui doivent avoir les mêmes racines ; on sait alors que les coefficients des mêmes puissances de x doivent être proportionnels. On obtient ainsi des relations qui doivent être vérifiées, quel que soit ht et on voit alors que les coefficients correspondants sont proportionnels dans les deux équations proposées.

il. On donne un point o et une droite A, par o on même une trans» lertale mobile qui l'encontre une courbe donnée U, en un point m^et ^au point A ; o« prend alors AM = mA, trouver Véquation de la courbe V, lieu du point M.

Eo prenant pour axe des x la perpendiculaire OH abaissée de 0 sur A, et une parallèle à A, pour axe desi/t on trouve pour les formules de trausfonuatlon, permettant de passer de l'équation de U, à celle de V :

x=Lid — X, y = — i— - — .

I>aaâ ces formules, ou suppose oH = d.

DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇONS