AB + B'B

6' = — A'B'-t-BB',

*'= — A'B'-hBB'.

Di U TojK II.

■2uU DIX -NEUVIEME LEÇON

Nous distinguerons particulièrement le mineur a" ; la valeur et le signe de a" ayant, comme nous allons le reconnaître, une importance notable dans la classification que nous avons en vue ; nous désignerons ce mineur par la lettre î.

Ces conventions étant faites, nous examinerons d'abord le cas particulier où A — o.

19&. Théorème. Lorsque ùiest nul, V équation proposée représente un système de deux droites ; réelles ou imaginaires, distinctes ou coïncidentes, sécantes oti parallèles.

Nous supposerons d'abord que le coefficient du terme enr soit différent de zéro. Nous avons alors :

Af{30 , ?/ , 2) = (Ao? + B"y -f- B'2)» H- a'V — 2byz -4- a'z\

Observons maintenant, et cette remarque a déjà été faite on algèbre (p. 65;), que nous avons: a'rt" — b' zz aA. Comme nous supposons A = o, le trinôme aV — 'iàyz-h a'z* est un carré parfait et, en supposant a"^o, nous pouvons écrire

Anx,y,z):^(\x + B''y'hlVzr + '^{a''y--bz)\ (A=:o)

Si a" est positif, f est une somme, dans le sens arithmétique de ce mot, de deux carrés ; /"est décomposable en deux facteurs linéaires à coefficients imaginaires; nous dirons que, dans ce cas, Téqualion représente deux droites imaginaires. Si, au contraire, a" est négatif, /"est une différence de deux carrés et, à Téquation proposée, correspondent deux droites réelles et sécantes.

Enfin, dans le cas particulier où Ton suppose a" zz o, la relation: a^a"—b*:^klj donne fe = o et Ton a,

Af{Xyy,z)^{AX'-hB'y + B'zy'^a'z\ (A = o, B = o).

Cette équation représente deux droites parallèles; ces droites sont réelles et distinctes, si a' est négatif; coïncidentes, si a' est nul ; imaginaires, si a' est positif.

CLASSiriCATION DES COXIQlKï

JJl

Nous résumerons, dans le tableau suivant, les résultats précédents.

VARIÉTÉ DES C0NIQPE9.

s > o doux droites imaginaires.

B •<! 0 deux droites rru'lles et sécantes.

a' > o deux droites parallèles et imaginaires.

a' <Co deux droites parallèles et distinctes.

a' ^ o deux droites parallèles et coïncidentes.

11 nous resterait à discuter le cas où Ton suppose A = o; mais on trouvera, plus loin, les explications qui conviennont à ce cas particulier.

196. DisUneÉion des trois coniqai^s. Supposons maintenant A ;zfo", et soit A ;zfo. Nous avons, en supposant d'abord a" ;2f o ,

^c) A/'(x,y,s)s(A.rH.BV>B'5)'4-~X«''2/-Ô2)*+~AAV = c..

Fig. 75.

*° ^ > o > senre ellipse. Admettons d*abord que a" soit positif et distinguons deux cas suivant que Ton a AA<o, ouAA>o.

Dans la première hypothèse, posons AA =: — A'; Téqualion de la courbe que nous éludions peut s'écrire, en revenant aux coordonnées cartésiennes,

a' (Ax ^-Wy H B'/ + (a> - b)' = h\

ou encore, sous Tune ou l'autre des formes suivantes :

(i) a!' (Ax + B'y -f B')* z^{h^b — a"y) (h — b-h a'y),

(a) {a'y^byzz [/*4-v^^'(AJ^-+-B''y+B')l[/i--v/«^'(Aa?H-B''y+B')|

Prenons d'abord Téqualion ( i ) ; le premier membre étant positif ou nul, quel que soit x et y, il est nécessaire que Ton ait,

11 résulte de cette remarque que la courbe que nous éludions est comprise, toute entière, entre les parallèles M,N qui correspondent aux équations :

h-hà b—h

L*équation (2) prouve, de même, que si Ton construit les droites parallèles P et Q qui correspondent aux équations :

Aa; + B"y-f-B'= ^, Aa;-hB'V + B'=-^;

la courbe est comprise, toute entière, entre ces deux droites. Enfin, si Ton considère une droite ayant pour équation :

X désignant un paramètre variable, dont la valeur est toujours comprise entre les quantités „ , — ;^ ; on voit

qu'à cette valeur de X correspondent pour x deux valeurs réelles et Ton peut dire, en résumé, que Téquation proposée représente une courbe réelle, renfermée dans Tintérieur du

CLASSlFia\T10N D£S CONIQUES

parallélogramme formé par les droites M^NjP.Q. Nous donnerons à mie courbe du second degré, présentant ce caractère, le nom d'ellipse.

Dans le cas où Ton suppose aA > o, Téquation (c) n*est vérifiée par aucune valeur réelle d'à; etdV; nous dirons, pour rappeler ce fait, que la courbe qui correspond à Téquation proposée est une ellipse imaginaire, mais il ne faut voir dans cette dénomination qu'une manière rapide d'exprimer le résultat analytique précédent.

ao 3 < o , ^enre hyperbole. Supposons maintenant que a' soit négatif; écrivons l'équation (c) sous la forme :

I — v/â^(Aa;-+- B"2/ -h B') H-a"// — 6 î H- AA z: o.

Fifi. 76.

Si nous construisons les droites A, B, qui corrvSpondent. aux équations :

U = Aa; 4- (B" -f. y/'â") y + B' — 7= = 0 ,

Vz=-.Aa;+(-B'' + v/a'^)y — B' — -=no,

ces droites, qui sont sécantes puisqu'elles ont des coefficients

Db. L. Tome II. 1 8

angulaires différents et qui coupent l'axo ox^ puisque A n'est pas nul, partagent le plan en quatre régions. En supposant^ pour fixer les idées, A>o et A>o Téquatijn (3) montre qu'il n^y a aucun point de la courbe dans les régions (2) et (4). En effet, en donnant à y une valeur positive très petite éikx une valeur positive suffisamment grande, Téquation :

(4) UV + A^ = o,

a son premier membre composé de deux termes ayant des signes contraires ; le produit UV changeant de signe, quand le point dont les coordonnées sont x et y passe d'une région dans une autre, il y a donc impossibilité de vérifier Téquation proposéoi quand on prend un point dans Tune des régions (a} ou (4).

D'ailleurs, si Ton considère l'équation :

dans laquelle X désigne un paramètre variable arbitraire, les deux équations :

représentent deux parallèles A',B' aux droites A et B. Ces droites A',B' se coupent en un point M dont les coordonnées vérifient, quel que soit X, Téquation proposée.

De ces considérations diverses, il résulte que la courbe est formée de deux branches séparées et situées : Tune dans la région (1), l'autre dans la région (3). Nous donnerons le nom d'hyperbole à une courbe du second degré présentant cette forme générale.

30 S = o, n^enre parabole. Supposons maintenant a'^^io. L'équation proposée est alors :

{\x + Wy -h B'zy — 2byz -f- a V = 0.

Nous ferons d'abord remarquer que régalilé^ cilée plus baut,

a V - 6* =: AA,

donne, lorsqu'on suppose a" z= o,

ô*=-AA.

Les facteurs A et A étant supposés différents de zéro^ on a

Cette remarque étant faite, construisons la droite AB qui correspond à l'équation :

L'équation de la parabole^ si Ton pose,

peut s'écrire :

V = Aa? + B''y + B',

T — Uzzo.

On doit donc avoir : U>o, pour tous les points de la courbe ; si b est positif, la courbe est située au-dessus de la

Fig. 77.

droite AB ; elle est, au contraire, située au-dessous de cette droite^ si b est négatif.

236 DIX-NEUVIËME LEÇON

D*aill6ur3, la droite qui a pour équation :

coupe la courbe en deux points réels si Von suppose b>o, cl

X>--. Il y a donc, dans celte hypothèse, une branche unique

de courbe disposée comme l'indique la figure ci-dessus. Nous appellerons Paraboles les courbes du second degré qui correspondent à cette nouvelle forme.

Nous résumons, dans le tableau suivant, la discussion qui précède.

( j. l A A < o, Ellipse réelle.

VRAIES CONIQUES. I O>0< .i^ „,,, . . .

^ 1 ( AA^o, Ellipse imagiDaire.

(B) A ;zf o ^ S < 0 Hyperbole.

3 =z o Parabole.

109. Examen dn oas paHlenlier : A = o. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que A était différent de zéro; nous nous proposons de montrer que les résultats auxquels nous sommes parvenus subsistent, quand on suppose A =: o.

Remarquons d'abord que si A est nul, mais si A^ ne l'est pas, on peut reproduire les raisonnements que nous avons faits, il suffit de permuler les lettres x et y. Nous ferons seulement observer que Ton a, dans ce cas, 5 = B"*. Si la courbe est nne vraie conique, elle représente une hyperbole, ou une parabole, suivant que Ton a B;zf o, ou B = o. Si, au contraire, le discriminant e^ nul, réquation représente deux droites sécantes, si B'' n'est pas nul; et deux droites parallèles, si B'^ est nul. Dans ce dernier cas, le discriminant A étant nul et se réduisant au terme— A' B'', et A' n'étant pas nul, il fout que B' soit nul. L'équation se réduit à la forme :

AV -h aBy -h A'' =: o,

elle représente deux droites parallèles à Taxe des y.

Mais supposons que l'on ait, à la fois, A =: o et A' := o ; réquation proposée peut s'écrire :

/• (o; , y , î) = nB'xy -h ^Byz + 2B'xz -h A V =: o.

Le coefficient B'' n*est pas nul, si nous supposons que l'équation proposée soit du second degré par rapport aux lettres x et y. D'après cela^ Féquation donnée peut se mettre sous la forme suivante :

ou,

Remarquons aussi que la formule :

A = AA'A'' -h aBB'B" — AB' — A'B" — A'B"', dans rbypothèse A = o. A' =i o^ donne :