A = B'' (2BB' - A'B

Nous avons donc, finalement.

Considérons maintenant les droites qui ont pour équation, respectivement,

Si nous supposons d^abord A = 0, Téqualion proposée représente deux droites parallèles aux axes de coordonnées ; par conséquent, deux droites qui se coupent; et comme on a

3= - B"", on peut dire que i est négatif. En résumé, dans le cas particulier que nous considérons, on a : A = 0, S < 0, et réquation proposée représente deux droites sécantes. Ce cas particulier rentre donc dans celui qui est signalé dans le tableau (A).

Supposons maintettatit que A ne soit pas nul, réqualion de la courbe étant,

on voit que les droites (U =«, V :=. o) séparent le plan en quatre régions. En raisonnant comme nous Tavons fait au paragraphe précédent, on reconnaît que la courbe est située dans deux de ces régions non contiguës, et que les droites qui correspondent aux équations :

se coupent, quel que soit X, sur la courbe proposée. Celle-ci a donc la forme de deux branches séparées, elle représente donc ce genre de coniques auxquelles nous avons donné le nom d'hyperbole. Nous avons d'ailleurs A;zfo et 5=: — B'*, par conséquent S<o; en nous reportant au tableau (B), nous voyons que le cas particulier qui nous occupe rentre encore dans Tun de ceux qui figurent dans ce tableau.

198* Discussion d'une conique donnée. Soit :

une équation du second degré en x et y. Si, comme nous le supposerons d'abord, les coefficients de cette équation sont numériques, la discussion que Ton peut proposer consiste simplement à reconnaître si la courbe qui correspond à Téquation est une vraie conique, ou une variété ; on doit ensuite rechercher quel est le genre de la conique, ou l'espèce de la variété^ suivant que l'on est placé dans le premier, ou dans le second cas.

On calcule, à cet effet, les déterminants Aet2,etensereportant aux tableaux (A) et (B), donnés plus haut, on pourra dire ce que représente, au juste, l'équation proposée.

On rencontre, assez souvent, une discussion plus délicate dont nous dirons ici quelques mots.

Imaginons que les coordonnées a,^, d^un certain point P, entrent dans les coefficients de Téquation de la conique, et supposons que Ton fasse varier a>3 arbitrairement. Le point P se déplace dans le j)lan et Ton peut demander de déterminer le genre ou la variété de la conique d*après la situation de P.

A cet effet, considérons les deux équations :

et supposons que a et ^ soient des coordonnées courantes. La première équation représente une courbe U, que nous appellerons courbe de la variété, Tautre une courbe V, que nous nommerons courbe du genre. Ces deux courbes étant tracées, on pourra dire, d'après la position qu'occupe le point P, relativement à elles, ce que représente Téquation donnée.

On doit observer, en traçant ces deux courbes, que, en général, elles sont mutuellement tangentes à tous les points qui leur sont communs.

En effet, les deux relations :

( i ) ACAA'A" -h îiBB'B'' — AB* - A'B" — A'^B''*) = o, (a) AA' — B'^'zzo,

donnent , par combinaison,

(3) (AB — B'B7 = o.

Ainsi, en cherchant les points communs aux courbes (i) et (2), on peut associer Fune de ces équations, avec Téquation (3), dont le premier membre est un carré parfait. C'est pour ce motif que ces points communs sont, deux à deux, coïncidents et que, par suite, les deux courbes sont, en général, mutuellement tangentes.

En construisant la courbe qui correspond à Téquation AA = o, on peut faire abstraction de la courbe, A = o. En effet, lorsque A = o, la conique est une hyperbole, ou une parabole, et le passage de A parla valeur zéro, tout

SSO DIX-NEUVIËME LEÇON

en foisani, en général, changer le Bîgne delà fonction AÂ, ne donne pas lieu à une modiScation dans le genre ou dans la variété de la conique. Le tableau (B) fait comprendre la justesse de cette observation et, en résumé, la courbe de la variété est celle gui correspond à l'équation À = ».

lOO. AppUcaUon. La discussion à laquelle nous venons de feire allusion se rencontre fréquemment dans les problêmes de la géométrie analytique: nous voulons montrer, sur un exemple, comment elle peut être dirigée.

Kg. 78.

Prenons la conique dont Téquation esl, ar'gCa — A) — aa.'ixy + j/V (a + A) + aA'oy — tx^x = 0. Nous avons, dans cet exemple,

5=:^V — ib'A' — a'A", ii = A'a'|3 (a + A) (A - 3) {A + (S). La courbe du genre a la forme qu'indique la figure cidessus; elle peut se construire, point par point, comme

nous rayons indique sur cette figure; la droite PQ est supposée mobile et constamment tangente à un cercle ayant pour centre Torigine, et dont le rayon est égal à A. La courbe de la variété est formée par les lignes ponctuées; lorsque le point (d , ^) est situé dans les régions ombrées, la conique correspondante est une ellipse toujours réelle ; la conique est use parabole, si le point est placé sur la courbe; enfin c'est une hyperbole, dans tous les autres cas ; et un système de deux droites concourantes, quand le point est placé sur Tune des lignes ponctuées.

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• . Démontrer qu'en posant,

réquation

Pl-hP'-h... +P?=i

reprétente une ellipse, ou, dans le cas particulier où toutes les droites (i) font parallèles, un système de deux droites parallèles.

f . Reconnaître que l'équation,

àbaf -f- (6* — a*) xy ~ aby* + A («• + 6*) x .+ h'ab zr o,

représente Un système de deux droites rectangulaires,

Oq peat vérifier cet exercice en formant le discriminant ; on peut aussi résoudre l'équation par rapport à l'une des lettres x et y, ou encore par rapport à h.

S. Discuter le genre et la variété de la conique qui a pour équation,

quand a,p varient arbitrairement.

On troare :