AA

Cette équation est de la forme :

el il feut observer que le produit (a . 6) des coefficients des termes en X* et en Y*, a le même signe que î. Dans les courbes

du genre ellipse a et 6 ont donc le même signe; au conlrairei dans les courbes du genre hyperbole on a «6 < o.

Une forme quadratique pouvant d*ailleurs se décomposer d*une infinité de façons différentes en une somme de carrés, on peut dire, notamment, que la forme ternaire peut, d'une infinité de façons, être ramenée à la forme

AP«4.ii.Q' + v2;V

Si l'on prend pour axes des coordonnées les droites A, A' qui correspondent aux équations :

(i) Pz:o, Q = o,

il résulte du raisonnement que nous venons de feire que Ton peut réduire l'équation d'une conique à centre, d'une infinité de façons, à la forme (U).

L'équation (U) ne renfermant pas de termes du premier degré, la nouvelle origine est un centre de la courbe ; c'est un point unique, bien déterminé, par lequel passent toutes les droites analogues à A et à A', droites qui, étant prises pour axes de coordonnées, réduisent l'équation donnée à la forme (U). On peut encore observer qu'à une valeur de X correspondent pour Y deux valeurs égales et de signes contraires, et inve^ sèment. Les droites A , A', sont donc deux diamètres coig'agués de la conique proposée.

Mil. ÉqaaÉion d^ane €M>niqne rapportée i^ 8MI centre et A ses axes. Les droites (i), que Ton met eu

évidence en décomposant en carrés la forme ternaire, ne sont pas, en général, des droites rectangulaires; nous nous pro* posons de montrer que l'on peut conserver la forme (U), mais en choisissant des axes rectangulaires.

Prenons pour nouvel axe OX', l'axe OX, quand il a tourné d'un angle arbitraire 9, et pour nouvel axe OY' la droite OX,

quand elle a tourné, dans le même sens, de l'angle ^4-9.

RÉDUCTION DE L*ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

On a d*abord| par la projection des contours brisés sur OX' elsurOY',

X' = X cos ç + Ycos(e — ?), Y' = Ysin(0-f) — Xsinç.

Fig. 80.

De ces formules^ on déduit,

X sin e = X' sin (6 — 9) — Y' cos (6 YsinO=:X'sin? + Y'cos?.

L'équation (U) devient alors :

^ j X' sin (0— ç) — Y' cos (« — f)

+ ^ j X'sin f + Y' cos 9 j = sin* 0.

Disposons maintenant du paramètre 9 de façon à faire disparaître le terme en X'Y', nous avons,

Sin (0 — y) cos (6 — 0) sin y cos y

ou,

sin (a6 — jf) sin a?

266 VliNGTlÈME LEÇON

Cette formule donne pour 9 un angle bien déterminé, dont la valeur, comprise entre o et - , vérifie Tégalité :

COlg 2(f —