COS 2Ô

Les relations (4) et (5) que nous venons de trouver sont susceptibles de simplifications remarquables.

Élevons (4) au carré et retranchons ensuite Fégalité obtenue et régalité (5), membre à membre, nous avons ;

4 sin* 6 2 (i -— cos 26) a'6' " a6

ou,

(A) a'ô' =z a6 sin* 6.

En tenant compte de cette relation, l'égalité (4) devient,

Les relations (A) et (B) sont celles qui constituent les théorèmes d'Apollonius, et si Ton cherche à leur donner une interprétation géométrique, on est conduit aux énoncés suivants :

Théorème I. Z^a somme des carrés de deux àiamètres conjugués est constante et égale à la somme des carrés des axes

Théorème II. Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués a une surface constante, égale à celle du rectangle construit sur les axes.

S03. Réduction dans le cas où l*on a : A 1= 0, A' 1= o .

Nous avons supposé, dans les explications précédentes A ?zf 0 ; si Ton a A = o et A' ?:f .), on pourra répéter les raisonnements et les calculs que nous avons produits, mais en permutant les lettres x et y. Il nous reste à examiner le cas particulier où Ton suppose, simultanément, A =: 0 et A' :=o.

L*équation peut, dans ce cas particulier, s'écrire sous h forme :

ou,

{x -hn) {y -h m) = //m -p, ou, enfin,

(a?-+-y-hm4-n)* — (iP —y + n — m)'-: 4(m;i -p).

Les deux droites qui correspondent aux équations :

x + y-^ m-^-nzzo, x — y'\-n — w =: o,

et qui sont parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées, sont deux diamètres conjugués, rectangulaires ; on a donc immédiatement les deux axes de la courbe.

.fS04. Rédaction dans le ems de la parai»ole. La méthode de décomposition en carrés prouve que Ton peut^ d'une infinité de façons, ramenei* Téquation de la parabole à la forme :

P et Q étant des fonctions linéaires d*a;et dV- Il y a donc une infinité d*axes par rapport auxquels l'équation de la parabole prend la forqie suivante :

Nous allons montrer que parmi les équations (i) il y en a une pour laquelle lus droites (P = o, Q =: o) sont rectangulaires.

L'équation de la parabole peut d'abord se metlro sous la forme :

( \x-hB"yy -h A (aBy + 2&x f A'') = o; (A ;2f o).

et cette équation peut s'écrire

(Aa?+ BV+ A)*+nAB-D''X) y+2 (VB'— AA)ic-f AA'-a'^o.

RÉDUCTION DE L^ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 269

Disposons maintenant du paramètre X de façon que Tégalilé,