A(AB^+BB^) ^'^ ^- A' + B
Remarque. Lw^rsque A est nul, Pégalité :
AA' — B''* = o,
prouve que, dans ce cas, B'' est nul. L'équation proposée est alors :
A'y* + aBy + aB'x -|- A'' = 0.
Si les axes sont rectangulaires, la réduction s'effectue en les transportant parallèlement à eux-mêmes; si. non, on doit d'abord, par une relation de Taxe des y, autour de l'origine, transformer les axes obliques en axes rectangulaires. Les formules qui servent à celte transformation sont les suivantes :
Y =1 y sin 0, X =: a; -j-y cos 0.
De L. Touk h. ^9
90&. Equation en S. Les directions principales, dans les courbes du second ordre, se déterminent encore au moyen d'une équation du second degré, dite équation en S, que nous allons faire connaître.
Soit a, 0, les paramètres directeurs d'une corde principale; le diamètre conjugué a pour équation :
X (Aa + B"3) H- y (B'a + A'P) -h B'a -h B^ i= o,
et cette droite sera perpendiculaire sur la direction de la corde conjuguée, si les paramètres oe, ^ vérifient la relalion :
(i) 1 ' ^ + ' ' 1 cos 6 zz o.
OLWa H-A'3 \a B'^a -+- A'g/
Au lipu de résoudre cette équation du second degré, il est plus simple d'introduire une inconnue auxiliaire, comme nous allons le montrer.
Écrivons la relalion (i) sous la forme suivante :
1 + - cos 0 = ^„ ^ ^^ - + cos e ), ^ a B''a + A'3 \a /
ou, sous celle-ci,
B^^g + A^g __ Aa -4- B^^g P -h « cos 6 ~" a -h g cos 0 "" '
S, désignant la valeur commune des deux rapports. Cette quantité S, est l'inconnue auxiliaire que nous avons annoncée. Pour trouver l'équation en S, remarquons que les relations (2) donnent, successivement,
a (A — S) + 3 (B'' — S cos 6) z= o. a (B''— S cos e)-|-a (A' — S) = o.
Ces équations, linéaires et homogènes en a, g, étant vérifiées par des valeurs de a et de Pqui, nous le savons, ne sont pas nulles à la fois, nous obtenons, pour déterminer S, l'équation :
A -S 13" — S cos ô
B" — ScosO A' — S "^"
RÉDUCTlOiN DE LÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 211
En développant le déterminant du premier membre , l'équalion en S s'écrit :
S* sin* 0 — (A + A' — 2B" cos 0) S -h AA' — B'*=zo.
Il est facile de vérifier que cette équation a ses racines réelles. Nous n'insisterons pas sur ce point, ni sur quelques autres qui se rattachent à cette équation remarquable, parce que nous aurons, dans la géométrie analytique à trois dimensions, l'occasion de revenir sur cette question algébrique. On trouvera d'ailleurs, dans la leçon suivante, une interprétation géométrique des racines de l'équation en S.
Pour le moment, nous dirons seulement comment on peut déterminer les directions principales, sans avoir recours à l'équation en S.
Joignons Torigine au point directeur, a, p, de la direction principale ; et désignons par 9 l'angle que fait cette semi-droite avecOo;; nous avons :
sin ? "^ sin (6 — 9)'
ou
- z= tg ? sin 6 — cos 0.
En portant cette expression de - dans l'égalité (2), nous
obtenons, pour déterminer tg 9, l'équation :
(P) tg* ? sinO (B"— AcosO)4-tg9 (A'H-Acos 2O— 2B'' cos 0) — sin Ô (B" — A cos Ô) =: o.
Cette équation du second degré a deux racines réelles, dont le produit est égal à — 1 . Ce résultat prouve qu'il y a toujours deux directions principales, lesquelles sont réelles et rectangulaires. On voit aussi que la valeur de tg 9 n'est indéterminée que si l'on suppose, en même temps, A cos 6 =: B'' et
A = A'. Dans ce cas, la courbe qui correspond à Téquation proposée est une circonférence ; et rindétermination que nous rencontrons trouve son explication naturelle.
Nous ferons remarquer encore que dans le cas où les axes sont rectangulaires, Téquation (P) devient :
et comme nous avons :
i-tg'?' nous obtenons la relation remarquable^
Lorsque les axes sont parallèles aux axes de coordonnées, ona 9 no, et, par suite, B'n o. La réciproque est vraie; rhypollièse : B'' = o, entraine la conclusion e = o. Ainsi : Lorsque les axes d'une conique sont parallèles aux axes de coordonnéeSy le terme en xy n'existe pas dans V équation de la conique; et réciproquement.
4. On considère un angle droit yox, et deux droites A, A', mobiles autour de Vorigine et symétriques par rapport à la bissectrice de Vangle yox ; d'un point fixe A, placé sw ox, on abaisse wie perpendiculaire AP, sur ^; enfin, d'un autre point fixe B, situé sur oy, on abaisse sw A', une perpenr diculaire BQ : on propose de trouver le lieu décrit par le milieu de PQ.
En posant :
OAiza, OBzrô, le résaltat se présente sous la forme :
{^ax — J^by -f 6« — a^ 4. i6 (^y — bx)' = (a* — ô'j',
on voit qnd le lien est une ellipse dont le centre est à Tintersection des droites qui correspondent aux équations :
iax — 4^y 4" ^* — a* n: 0, ay — bxi=o;
c'est-à-dire an point dont les coordonnées sont x = 7 , y =■ -^ . Les direc-
lions principales sont celles des bissectrices. Enfin, en appliquant la méthode pour la réduction de l'équation, on trouve que l'ellipse trouTée, rapportée à son centre et à ses axes, a pour équation :
f . Démontrer gue si 9 désigne V angle d*une direction pHneipale avec ox, 0 représentant, comme toujours, Vangle des axes, on a :
. . B'' — Acose
tg aç = a sm 8 —
A' -f A cos 28 — aB* cos 8
On prend, pour point de départ, l'équation (P), (| ao5), el on utilise les formules connues :
i-f-cosaç = 2COS*9, 1 — cosaçnasin*^, sin^f :=asin9cosr.
S. Réduire l'équation :
a:»(6X«+i)4.y'{X*+6)4.ioXa?y-aa?(6X*-f 5X+1) ay (X* -h 5X+ 6) + 6X' + loX -#- 6 = 0.
On Yoit d'abord que les coordonnées du centre sont x=zy = i\on trouTe ensuite tg 9=X. et l'équation cherchée est, finalement,
LES INVARIANTS
Mie. DéEnittoii des invariants ('). Soit une forme quadratique U, des lettres x,y ,z,
Si Ton effectue une transformation algébrique do cette forme au moyen des formules suivantes :
a;=aX+a'Y + a% y = ex + 6'Y -h Ô^Z,
et si une certaine fonction des coefficients, et de l'angle 0 des coordonnées, conserve la même valeur, après la transformation, quels que soient les paramètres a , a' , a'' ; 6 , 6' , 6" ; on dit que cette fonction est un invariant de la forme proposée.
1. On a donné pour les invariants, des définitions diverses; celle que nous adoptons ici n'est pas aussi générale que celle quQ l'on propose ordinairement dans rétude des formes algébriques ; mais elle suffit aux développements que nous avons en vue et elle nous paraît correspondre nettement à [l'idée que Ton doit se faire^ dans la géométrie analytique cartésienne, de la propriété de r invariance.
LES INVARIANTS 275
909. Théorème !• Lorsqu'on passe (Tun système yoxj d^ angle 6, à un système YC/X, d'angle b' ; les fondions :
^■^ sin'O ' "^^ siû^e '
jouissent de lapropriété de Vinvariance: kyk',W^ représentant les coefficients des termes en x* en y* et en xy, dans la forme ternaire.
Pour passer du système yox au système YO'X on peut imaginer que Ton effectue d'abord un transport des axes ox, oy, parallèlement à eux-mêmes ; puis, celte première transformation une fois produite, qu*on fasse une rotation des axes transportés, autour de la nouvelle origine 0^ Le premier calcul ne modifie pas les termes du second degré et nous avons seulement à reconnaître, pour établir le théorème en question, que les fonctions p et a sont invariantes quand on change les axes, en conservant l'origine.
Posons :
w =: Aa?' -j- Ay + 2B''ooy , et,
v^ix* +y* + 2ocy cos 6.
Nous avons ;
(A) Xw -f lit) s: (XA + \l)x* + (XA'+[jL)y*4- 2 (KB''+\LCOS^)xy.
Si nous effectuons un changement de coordonnées autour de Torigine, les formules de transformation sont :
a;=:aX-f-a'Y, î/ = pX+g'Y;
et les fonctions u et v, prennent des formes nouvelles U , V qui sont quadratiques et homogènes par rapport aux lettres X, Y. Nous pouvons donc poser :
U=:aX* + a'Y*4-26'XY, V;sX' + r-+-2XYcosO\
Cette dernière égalité a déjà été établie précédemment (§ 5o). Disposons maintenant des paramètres X, pi de façon que le second membre de (A) soit un carré parfait. Nous avons alors à vérifier Tégalité :
(XB''-hlxcosO)'z:(XA + ;x)(XA' -hix),
ou la suivante,
(B) X*(AA' — B'") 4- XjjL (A -h A' - nW cos 0) 4- / sîn'O = o.
D'ailleurs, Tidentité,
Xw -h [xv s: XU -h |xV,
prouve que si X et [a sont des racines de Téquation (B},
XU + pi'V est un carré parfait. Il résulte de là que si dans (B),
on change 6 en 0', et, respectivement, A , A', B' ; en a , a' , b" ;
cette équation admet les mêmes racines pour X et |a. On a donc,
AA' — B''* A + A^ — aB^cose sin'e aa' - b'* '^ a-ha'^ aô'^cos 6' ^ sin* 6' *
Les fonctions :
AA^ — B^ A + A^ — aB'^cosO^ sin*e ' sin"0
sont donc des invariants quand on passe du système yox, à un autre système quelconque YO'X.
