Théorème WL Le rapport t = , du dùcrtmi

sin'O

nant de F équation d'une conique^ au carré du sinus de V angle

des axes, est une fonction invariante^ quand on passe d'un

système (Taxes, à un autre système.

Soit ; U = 0,

U =: Ao;' -4- A'y -h ^B^xy -h ^Byz -{- viWx.z + AV , réquation d*une conique dans le système yox. Effectuons

LES INVARIANTS 277

une transformation de coordonnées pour passer au nouveau système Yo'X. Les coordonnées qui servent à cette transformation sont (§ 46 et 47),

|a?zraX +a'Y'+a% ^ ^ lyzrpX + p^Y-f-^'Z.

L'équation proposée devient : U, — 0,

U, s: aX* + a'T + aô^XY 4- 2ÔYZ + a&'XZ -h a^Z*,

et Ton a U, s U, si Ton suppose que l'on remplace dans le second membre a? et y au moyen des formules (T). Considérons maintenant un cercle C, de rayon R, et soit

V = X* -h y* + ^xy cos 6 4- Mxz + aNy^: 4- Pz',

son équation dans le système yox. Après la transformation, V devient V,, en posant :

V, = X* 4- Y* + aXY cos 6' ^- amXZ + anYZ 4-pZ\

Nous nous appuyons encore ici sur la remarque que nous avons rappelée dans le paragraphe précédent et. en vertu de laquelle, la forme :

a?*-f-y* + aicy COS8 devient identiquement, après la transformation,

X* 4- Y' + aXY cos 0'.

Des identités :

on déduit,

UsrU,, VsrV,

(I) XU + îaVsXU.+ixV,

Disposons maintenant des paramètres X et (jl de façon que la forme ternaire du premier membre de cette identité soit la somme de deux carrés. En écrivant que son discriminant est nul, nous avons Téquation :

AX +11. B-'X + iACOse B'X+Njx

B'X -H- |A cos e A'X + |x EX -1^ Mjx no.

B'X -h NfJL BX + ixM A'^X + V[k

En développant ce déterminant nous obtenons la relation suivante :

(a) AX* + FXV + G A 4- Ao|x« = o,

dans laquelle A désigne le discriminant de la forme U, et

Ao celui de V. Nous rappelons ici que Ton a, par une formule connue (§ 89),

R'sine4- Aozio.

Formons maintenant le discriminant de la forme XU, +iaV,, nous obtenons, entre X et ijl, la relation :

(3) A'X»-f-F'XV + GyX + A;iJL» = o.

D'ailleurs les équations (2) et (3) doivent avoir les mêmes solutions; ceci résulte de l'identité (1), les deux membres de cette identité devenant une somme de deux carrés pour les mêmes valeurs de X et de [x.

Nous déduisons, de cette remarque,

A A« D'autre part (§ 89), les égalités :

donnent,

R* sin* 6 -)- A. = o, R* sin* 6' + AJ =0; ,

A„ sin* e

^^^ Âi-ih7ê'

Nous avons donc, par comparaison des égalités (4) et (5),

A sin* 6 , A' ~ sin' 0' '

LES INVARIANTS 279

OU, enfin,

ttaf

sitf 6 sin" 0

Remarque. On peut objecter à la démonstration précédente que deux équations du troisième degré peuvent s'annuler pour les mêmes valeurs de x, sans être identiques et sans avoir, par conséquent, les coefficients proportionnels. En effet, il suffit d'imaginer que la première équation ayant pour racine double x\ et p our racine simple x', l'autre ait pour racine double x", et pour racine simple a/.

Mais cette circonstance particulière, exigeant que les équations (2).et (3) aient des racines multiples, ne peut avoir lieu pour tous les cercles C, les paramètres M, N, P étant arbitraires.

APPLICATIONS DES INVARIANTS.

1M9. Ëqnation aax carrés des lonpieurs des deml- •2KCS. Nous avons vu plus haut (§ 201), que dans les coniques à centre, l'équation :

(1) Aaf + My* + 2B"xy-h2By+2B'X'{-êL"-o,

pouvait toujours êtjre réduite à la forme,

(2) MX*-f-Nr — Pzio;

les nouveaux axes étant rectangulaires. Cette transformation peut se faire par les formules :

i r= aX -l- a'Y + a%

et Ton peut, par conséquent, appliquer aux équations (i) et (2) les Ihéorèmes précédents. On trouve ainsi :

„ ,, A -h A' — aB" cos e

sin 6

^ ' ^ sin e

sin ô

Les carrés des demi-axes ont pour valeur, d'après Téqua-

P P tion (2), — et - ; par suite, Téqualion qui donne ces longueurs

est :

A" Les égalités (I) donnent pour P la valeur — — , et Ion a,

finalement,

— îB'cosQ .„ . A*

sin'