UU

C'est réquation que nous voulions obtenir.

9iO. Caleal da paramètre de la parabole. Si Téqualion (i) représente une parabole, nous savons que, par une transformation linéaire, on peut toujours ramener son équation à la forme :

La forme de la courbe dépend seulement de la valeur du rapport—; c'est ce nombre qui détermine la forme de la

courbe. Nous poserons jp =: — , p est nommé le paratnèire de la parabole; nous nous proposons de le calculer.

LES INVARIANTS 2S1

Les invariaDts donnent les relations :

A + A' — îB^cose ^ = ^î^^6

— /nn* 1=

sin'O et Ton a, par suite,

1^11. Invariants absolus. Pour appliquer les théorèmes sur les invariants, on doit bien observer que la nouvelle équation a été obtenue : i"" en effectuant la substitution linéaire, ao en calculant les nouveaux coefficients des termes enX*,Y*, etc.. C'est dans ces conditions, bien déterminée?» que les formes algébriques que nous avons signalées, ont la propriété de l'invariance.

Soit f{x,yyZ) = o réquation de la conique proposée dans le système yoa?, et soit F(X,Y,Z):=o Téquation de cette même conique, dans le nouveau système. On appelle invariants absolus, ou encore, Inirarlants de «MNirbe des fonctions de coefficients qui conservent la même valeur y quand on considère les équations de la même courbe^ dans deux systèmes d'axes différents.

Dans le cas des coniques à centre, les coefficients de réquation (A) sont, pour une raison évidente, des invariants abso-

1 ^ t j 1 ,.!«.. Asin*ô

lus. Dans le cas de la parabole, o, et

^ (aB^cose— A-A7'

sont aussi des invariants absolus.

ftlft, SimlUiiide de deux courbes du secsond ordre.

Deux paraboles sont toujours semblables, puisque, en déplaçant Tune d'elles on peut toujours lui donner le même axe et le même sommet que Tautre. Dans ces conditions, les deux courbes ayant pour équation, respectivement,

2/*— 2px zi 0, y* — 2p'x — o, nous savons qu'elles sont homothétiques (§ 189].

Nous nous proposons de chercher la condition que doivent vériJSer les coefficients des deux équations :

ax* 4- aV-h 2b'' xy + nby-h ih'x -h a"— o,

pour que les coniques qui leur correspondent soient semblables.

11 suffit d'exprimer que le rapport des carrés des axes est le même pour les deux courbes. On voit d'ailleurs, facilement, que si deux équations :

aV-f-P'rr-l-Y'zr o;

sont telles que le rapport des racines de la première soit égal au rapport des racines de la seconde, on a :

UJ

ay a Y

En appliquant cette relation aux coefficients des équations qui font connaître les longueurs des carrés des demi-axes des deux coniques données, on trouve la condition :

(A 4- A^ •- 2W cosQ)' (g -h g^ — a^^^cosQ)* AA' — B''* ■" aa' — b'*

Nous allons donner une interprétation géométrique de celte égalité. Les directions asymptotiques des courbes du second ordre sont celles des droites qui correspondent à 1 équation :

kx* -+- M y* + 7.B"xy =z o.

Si nous désignons par V l'angle de ces droites, nous avons, par application d'une formule connue (§ 60),

® -^A + A'— sB'cosO* En rapprochant celle formule' de la relalion Irouvée au

LES INVARIANTS 283

paragraphe précédent nous voyons que la condition qui exprime que deux coniques sont semblables est susceptible de cette interprétation géométrique : deux coniques sont semblables lorsque les angles formés par deux droites parallèles à leurs directions asymptottques sont deux figures superposa- Mes,

Cet énoncé sous-entend que Ton accepte une expression imaginaire pour le rapport d'homothétie de deux coniques.

918. Théorèmes d*Apollonias {^'^démonstration). On peut encore déduire des invariants une démonstration très simple des théorèmes d'Apollonius.

Soit,

(i) wX*-f-n\* — i?=:o,

réquation d'une conique à centre rapportée à ses axes ; et soit,

(2) m'X'"-hn'Y'*— j5' = o,

réquation de cette même conique rapportée à deux diamètres conjugués. On peut passer du système (1) au système (a) par ane transformation linéaire, au moyen des formules :

X = aX' -h a'Y', . Yz=6X'-f-6'Y'.

On a d'abord p zzp\ et Ton peut appliquer aux coefficients m, n; m' n'; le théorème I. On obtient ainsi les égalités :

sin*6

mn zz.

sin'O' Ces relations donnent les suivantes :

mn mn

Ces égalités sont, précisément, celles que nous avons trouvées plus haut (§ 202), et qui conduisent, comme on Ta vu, aux théorèmes d'Apollonius.

59141. Théorème. Lorsqu'on effectue une transformation de coordonnées, pour rapporter une courbe du second ordre à son centre et à ses axes^ V équation réduite est :

S', S'' désignant les racines de l'équation en S.

Nous avons vu que Téquation réduite des coniques, rappor tées à leur centre et à leurs axes, était (§ 209),

et que les coefficients m n py vérifiaient les relations :

A + A'- 28^^008 e m -f II =

sin* 0

7?in —

sin'e'

smtJ

ces deux dernières donnent, par combinaison, et comme nous Tavons déjà fait remarquer, au paragraphe cité,

D'autre part, l'équatioD en S étant (§ 3o5),

S' siii* 0 — (A4- A'— aB'cos 0) S + AA' — B" = o ; on a;

A + A' — îB' cos 0

sin'O A A' — B"*

sin'O

LES INVARIANTS 285

et, par suite,

S' + S" = m-4-w, S'S"=:mw.

Ainsi on a : S' z: m^ S" r: n, et — p — — ; Téquation réduite

est donc, finalement,

BXBRCICB8

i . Démontrer que si une corde AB d'une conique est vue du centre 0 sous un angle droit, la distance du centre à la droite AB est constante.

On peut reconnaître cette propriété en remarquant que l'ona — ;--| ~

OA Ofi

= A+A' ; A + A' étant un inyariant, — ; + — y a une valeur fixe.