ÉQUATION OËNÉRALK DES CONIQUES FORMULES DIVERSES

iei&. Rappel de ffonnules trouvées. L'équation générale des courbes du second ordre étant f (x, y, 2) -* o :

f[Xyy,z) =: Aa;* -h A V \- aB'Uy + 2B1/ -h 'xWx -h A',

nous nous proposons de trouver, d'après cette équation, quelques propriétés de ces courbes, nous réservant de les étudier ensuite plus particulièrement, au moyen des équations réduites établies précédemment. Nous rappellerons d'abord quelques formules que nous avons déjà démontrées.

fo Tang^ente. Les coordonnées du point de contact étant ^01 Voi ^o'y réquation de la tangente est,

ou, (§ 98)

9^ Polaire. En désignant par rr©, y„, Zo les coordonnées du pôle, l'équation de la polaire^st, comme celle delà tangente,

ou, (§ 121)

3<» Fatoeeaa des tanfpentes. D'un point dont les coordou-

données sont Xo, y^y z^y partent deux tangentes ; Tenseinble de ces deux droites a pour équation :

(a?/i^ + .v/;j, + 2/ij*r=4/'(^o,tfo,3o)/'(^,y,3). (§ tao)

it« Directions asjrniptotiques. Si Ton désigne par c le coefficient angulaire d*une de ces directions^ c est racine de réquation :

AV^-2B''c4-A=:o. (§ i43)

6<> Hyperbole éqailatère. Pour qu*une courbe du second ordre soit une hyperbole équilatère, il faut et il suffit que les deux droites qui correspondent à Téquation :

\x* -h A'y* -f- %Wxy zz 0,

soient rectangulaires. La condition cherchée est donc :

A + A' — aB" cos 6 = 0. (§ 6o)

0« Faiseeaa des asymptotes. L'ensemble des deux asymptotes est donnée par l'équation :

V;V A/;- '^BYl/; = o. (§ 143)

On peut aussi prendre pour Tensemble des deux asymptotes réquation :

Celte seconde forme peut se déduire de la précédente; on Tobtient aussi, soit en considérant les asymptotes comme étant constituées par le faisceau des tangentes issues du centre; soit aussi en appliquait Tidjntité (c)(§ 196). Cette identité donne, en supposant A p^ 0,

Aa;.y)-^=i(p'H-|);

P et Q étant des fonctions linéaires. Si l est négatif, le second

EQUATION GÉNÉRALE. - FORMULES 289

membre est décomposable en deux facteurs et Ton peut écrire,

En appliquant un théorème précédent (§ i55], on voit que les asymptotes sont les droites non parallèles, qui ont pour équation : Tune U n o, Tautre V =: o. Ainsi : t ensemble des asymptotes s* obtient en retranchant, de V équation proposée^ le

rapport — .

V* Centre. Lorsque 8 est différent de zéro, la conique proposée a un centre qui est au point de concours des droites qui correspondent aux équations

f^^% fy-o. (§177)

Les coordonnées de ce point peuvent se calculer par les formules suivantes :

^-"AA'-B^* "^a"' ^-AA^-B^^^a^' ^^*^^^

H- mamétre. En désignant par a, 0 les coordonnées d*un point fixe P, le diamètre, lieu des milieux des cordes parallèles à la droite qui joint l'origine au point P, a pour équation :

» Olreetioiis conjoi^ées. Si Ton désigne par m et m' les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, on a :

k'mm! -+- B'' (m -+- mO + A = 0. (§1 84)

10« Diamètres eoDjagaés. L'équation qui donne l'ensemble de deux diamètres étant :

(rx+o(/';+»»7;)=».

ri -h- (w + m')/'y; 4-wimr; = o ;

Si ces diamètres sont conjugués les] paramètres m et m' doivent vérifier la relation :

À'mm' + B" (m -h m') -h A 1= 0.

Ces deux égalités donnent, par combinaison,

by;' - (A+ A'X) rj^ + m.r; = o.

Dans cette équation, on doit considérer \ comme un paramètre arbitraire représentant le produit des coefficients angulaires des deux diamètres conjugués qui lui correspondent.

1 1« Grandear des axes. En supposant 3 pzf o, les carrés des longueurs des demi-axes sont les deux racines de Téquation :

,,, . A-hA^~2B^cosO ^, . A'sin'e^^

Z -i ~ ÛZh 1;:^ — no. v§ao8)

190 Paramètre de la parabole. Lorsque Ton a S = o, . le paramètre de la parabole peut se calculer par la formule :

p* zz . (§ 209)

(2B"cose — A — AO'sin'e ^ "'

Nous allons maintenant ajouter, à ces formules, quelques résultats nouveaux.

91 B. IMrectIons prinelpalc^. Les directions principales, comme nous Pavons déjà dit, sont celles qui jouissent de la double propriété d'être conjuguées et rectangulaires.

En désignant par m et wl les coefficients angulaires des directions principales, on a :

A'iwm' -h B" (m 4- m') •+- A = 0, wim' -h (m 4- w') <^os 0 -h 1 =0.

ÉQUATION GÉNÉRALE. — FORMULES 29i

Si ron écarte le cas du cercle, celui où Ton a :

i "" COS 0 "" i *

ces égalités donnent :

. , A — A' , B'^ — AcosO m-^-m! ^ , mm! zz .

A'cosO— B" A'cosô — B''

Oq peut donc considérer les directions principales comme étant les racines de Téquation du second degré,

(A) M*(A'cose— B'^)-f(A' — A)M + B'^— Acoseno.

Il est facile de reconnaître que cette équation a ses racines réelles : et que, par suite^ comme nous Tavons déjà vérifié (g 2o5), il y a dans les coniques deux directions principales réelles. Formons, à cet effet, la fonction caractéristique U :

U =: (A'— A)* + 4 (B" — A' cos 6) (B" - A cos 8).

Nous avons d'abord,

U = 4B'^ — 4B''cose(A-+-A')-H(A — A7+4AA'cos*e;

puis,

U s: j aB'' — (A-h AOcosej'-+- (A — AT — (A + A7cos*e + 4AA'cos'Ô;

ou, enfin»

U=:| aB'' — (A + A') cos e |V(A — A'/sin'e.

Cette identité prouve que U est une quantité toujours positive et qui ne peut prendre la valeur zéro que si l'on sup-

pose : A = A' r: . Mais, dans ce cas particulier, la conique

cos 6

proposée est une circonférence ; en même temps, on voit que Véquation (A) se réduit à une identité et ce résultat s'explique en observant qu'il y a, en effet, dans le cercle, une infinité de directions principales.

91 V. Équation qaadmtiqae des axes. D'après la définition donnée précédemment pour les axes (§ i85), Taxe d'une conique est le diamètre conjugué des cordes parallèles à une direction principale.

Soient a, pies paramètres qui définissent une direction principale. Ces paramètres vérifient la relation :

(i) P* ( A' cos 6 - B'^) +ag(A'— A)-ha'(B''— Acos6) = o.

Le diamètre correspondant a pour équation :

Désignons par X, y les coordonnées d*un point quelconque pris sur Tun des axes, les égalités (i) et (a) seront vérifiées, simultanément, par les nombres oLy^;x,y; nous pouvons donc dire que x^y, vérifient aussi Tégalité suivante :

r;(A'cosô-B^)^/;/;(A«A') + /;'(B"^-AcosO) = o.

Dans le cas des coniques ayant un centre, cette équation du second degré représente Fensemble des deux axes.

Nous allons examiner, dans le paragraphe suivant, le cas particulier, et remarquable, de la parabole.

5918. Équation de Taxe de la parabole. Lorsqu^on suppose AA' = B"', réquation (A), (§ ai3), se décompose rationnellement en deux facteurs. On trouve, en effet,

UsTraB^^cosO — A — A7;

par suite, Téquation (A) donne pour M deux racines qui sont :

B^ cos e — A^ A — B^^cosO

""a'cosO — B"' ""a'cosÔ — B'''

Considérons d'abord la racine M" ; la valeur de M" est toujours bien déterminée, même quand on suppose que Ton a :

A^B'cose, et, B"z=A'cosô

Ed effet, réquation (A) prouve qae dans Thypothèse où nous nous plaçons, Tune des racines M' devient iafinie et que la seconde racine M" a pour valeur — cos 6. Le diamètre qui correspond aux cordes dont le coefficient angulaire est M'' a pour équation :

(Aa:+BV+B') (A^cosO— B^ -[- (B''a?-hA'y-hB) (A~B''cose) = o.

En développant les calculs, on voit que cette relation se réduit à la suivante :

AB — B'B" -h cos e (A'B' — BB") z= o.

AA' En remarquant que B'' zz -— - , cette égalité peut s'écrire

SOUS la forme :

(i) (AB • B'B") (A' cos 0 — B") = o.

On peut maintenant distinguer deux cas selon que Ton a :

A'cosO— B''?!fo, ou A'cosO — B^^io.

Dans la première hypothèse, Tégalité (<) se réduit à la suivante:

AB — B'B" = o, et comme Ton a, dans le cas de la parabole,

— AAz=(AB— B'B7,

on voit que le diamètre qui correspond à la direction M" est rejeté à Vinflni si A n'est pas nul, c'est à dire si la conique proposée est une vraie parabole. Ce résultat s'explique en observant que M'' est le coefficient angulaire des cordes parallèles à la direction singulière de la courbe. Si Ton suppose, au contraire, A = o ; le diamètre correspondant à la direction considérée est indéterminé. Cette conclusion trouve son explication dans ce fait que la courbe proposée est constituée par un système de deux droites parallèles et que la direction donnée est précisément celle de ces droites : or l'on peut

considérer une perpendiculaire quelconque à deux droites parallèles^ comme un axe de symétrie de ce système. De là riûdétermination signalée par l'analyse.

Si nous supposons maintenant que Ton ait : A'cosO — B* =: o ; comme B*^ =: AA', on a, aussi, B" cos 0 — A = o ; la valeur de

M'' se présente sous la forme - , mais, comme nous ravons

déjà remarqué tout à Theure, cette indétermination n*est qu'apparente, et la valeur de M" est — cos6. Le diamètre correspondant a pour équation :

kx + Wy + B' — cos e [Wx-^ h!y -f- B) zz o ,

ou, après réduction,

B'— BcosOizo.

Le premier membre de cette égalité ne peut être nul, dans rhypolhèse présente, que si Ton a AB — B'B" = o, et, par suite, A = 0.

En résumé, le diamètre qui correspond à la racine M'' est toigours rejeté à Tinfini, lorsque la courbe proposée est une vraie parabole.

Enfin, à la racine M' correspond un diamètre, qui est Taxe de la parabole, et qui a pour équation :

(A' cos e — B'') /; — (A' — B" cos 6) /J =1 o.

5010. ÉqnaÉion de la tonsente an SM^mmet de la parabole. Cherchons d'abord Féquation générale des tangentes à la parabole, en fonction du coefficient angulaire. Soit,

Arc* + Ay + aB'^icy + aBy + aB'o? + A' = o , réquation de la parabole proposée P ; et soit,

réquation d'une droite A, tangente à P. Les abscisses des points communs à P et à A, sont données par réquation :

A^* + A' (ww:-+- n) *+ ib"x{mx + n) + 2B [mx + n) -h2B'a;-HA"s:o;

en développant les calculs, cette équation s'écrit :

a:* ( A -h aB'm + A'm*) -f ax (B' -h Bm -h B'^n -h Mmn) -f A'' aBn + AVno.

Pour que la droite A soit tangente à P, il est nécessaire et sufGsant que la relation :

(B'+Btii+B''w+A'mn)*=(A+aB''m+A'm*)(A"+aBn-+-A'n") = o,

soit vérifiée. En tenant compte de Tégalité : A'A — B''* — o, cette relation peut être simplifiée et elle devient :

w \ CA'B'-BB'')m + B'B''-AB } -h m* (B* — A'A") + 2m (BB' — A'^B") -f. B'* — AA" - o.

Si l'on veut introduire les mineurs du discriminant (§ 194),

la relation précédente s'écrit :

am* — - '^fm + a'

y ^zmx-j-

c'est réquation générale des tangentes a la parabole. En remplaçant m par -; — -7, (§ ai 5), on a 1 équation de

la tangente au sommet.

990. Éqaatton du cerele de MmBà§;e.[Le lieu des points dou Von peut mener à une conique donnée deux tangentes rectangulaires, est un cercle si la conique a un centre; ce lieu est une droite, si la courbe proposée est une parabole.

Nous nous proposons de démontrer ce théorème.

Soit f{XjyyZ)zzo, réquation de la conique donnée M, soient Xo,yof^o, les coordonnées d'un~ point I^ du lieu; le faisceau des tangentes, issues de I à la courbe, a pour équation:

:if+\y'h^B"xy+^Bt/-h^Wx+A')f{Xo.yo,z,) = {xr +yr -hzfiy

ou,

*'<*^-^c;)-^-y'(Ar-^/^;)+a(B7-J/-;/-;ja:y+...=o.

Ces deux droites étant rectangulaires, on a (§ 60) :

ou,

(A-hA'-2B''cose)Aa:o,!/o,^o)-r;'-/:*-f-î»A f' cos6=o.

En développant les calculs et en prenant la notation des mineurs du discriminant, on obtient Féquation du lieu sous la forme :

a" {x* + y* -h axy cos 6) --2^(0 + b' cos 6) — ao? (6' -f- ft cos6) H- a H- a' 4- 26'' cos 0 = o .

Si a'^ n'est pas nul, le lieu est une circonférence et nous allons déterminer le centre et le rayon de cette circonférence.

En prenant les dérivées du premier membre par rapport à a; et à y, nous avons :

a" (ojH-y cos 6) := b'-hb cos 6, a" (x cos e + y) z: fc -f-6' cos 0.

Ces équations admettent la solution évidente :

ff*

La circonférence trouvée a donc (§ 177) le même centre que la conique proposée.

Pour calculer le rayon, cherchons d'abord la valeur du discriminant Ao de réquation (1), après avoir divisé les deux membres par a". Nous avons :

« 4- a' 4- 26'^cosO ^{b[±hcos^)(b±b'cos^ (ô-h6'co5 ^0 -„ -f- 2 cos « p^^ ^

(b' + b cos ey a-ha*-^ ib" cos 0

OU

\ = sm* e ±^^ (6--l>6"+ 266'cose);

ou, encore,

Les relations :

aa" — 6'* =: AA, aV — 6* — A'A, 66' — aV = B"A; permettent d'écrire la valeur de Ag sous la forme :

A„ = (A + A' — aB' cos 6) ^ A.

D'autre part, nous avons (§ 89)

K*sin'e = — Ao. '

et, par suite,

A4-A' — 2B"cose ,

Si nous raprochons cette formule de celle que nous avons établie plus haut (§ 212), et qui donne les carrés des longueurs des demi-axes, nous voyons que le carré du rayon de la circonférence de Monge est égal à la somme des carrés des Ion" gueurs des demi-axes.

Dans cet énoncé, le mot somme est pris dans son sens algébrique.

Enfin si nous supposons que la conique proposée soit une parabole, Féquation (i) se réduit et prend la forme :

(D) y(ft-|-ô'cose) + a?(6'-+-6cose)-|- .^L— -H6"cose = o.

C*est Inéquation d*une droite D. On peut vérifier que son coefficient angulaire, en tenant compte de l'égalité AA' — B*™ = o, est

B' cos e — A' A' cose— B"'

ainsi, dans la parabole, le lieu des points de concours des tangentes rectangulaires est une droite perpendiculaire à Taxe de la courbe.

Cette droite remarquable est appelée directrice. Ce nom va recevoir sa signification véritable dans la leçon suivante, où nous allons compléter les formules qui précèdent en faisant

connaître celles qui se rattachent aux foyers et aux directrices des courbes du second ordre.

f . Oîi considère un point M mobile sur un cercle A; sott AB un diamètre de ce cercle. On joint MA, iAB et Von considère une ellipse E, qui a pow axes (en grandeur et en position) les droites MA, MB. A ces ellipses, on mène des tangentes parallèles à AB, trouver le lieu des points de contact ainsi obtenus.

Ce lieu est un système de deux cercles concentriques au cercle proposé.

S. Les conditions de Vexercice précédent étant tnaintetiues, trouver le Heu décrit par les points de contact des tangentes menées à V ellipse E, parallèlement au diamètre de cette ellipse gui est conjugué de la corde AB.

On trouve encore un système de deux cercles.

Ces deux dernières questions se traitent facilement par des considérations géométriques. Pour avoir une solution analytique assez simple ob cherchera d'abord Téquation générale des ellipses E. A cet effet, on exprimera que l'ensemble des deux axes de la courbe coupe les droites AB, prise pour axe des x^ aux points A et B. On trouve ainsi, pour l'équation générale :

siii* P "4~ 1 X* cos ç -I- ixy sin 9 H y" + aRy — R* cos ^zzo^

cos f 9 désignant un paramètre variable.

16S1. Définition des foyers et des direetriises. Dans les courbes du second ordre, nous appellerons foyer de la courbe : un point tel que sa distance à un point M, q^ielconque de la conique puisse s' exprimer par une forme linéaire des coordonnées de M.

Il résulte de celte définition que si Ton désigae par a, ^, les coordonnées du foyer P, par a?, y celles du point M de la courbe, l'expression :

(0? — a)' -H (î/ — P)*-H 'i (x — a)(y — jâ) cos 6,

est, quels que soient a; et y, le carré de l'expression mx -hny -htim ,n,t désignant des coefficients constants ; en d'autres termes, Tégalité :

(F) (a:-ay+(y-|-&)* 4-2(0; — a)(y—p)cose- {nix-hny + ty,

est vérifiée par les coordonnées de tous les points de la courbe. Cette équation est donc celle de la conique; nous aurons à la considérer quelquefois dans les développements qui vont suivre et nous l'appellerons l'équation générale au foyery pour rappeler que les coordonnées de l'un des foyers sont en évidence, dans cette équation.

Si Ton égale à zéro le second membre de (F), l'équalion :

(D) mx-j-'ny + t^Lo

représente une droite D, que nous appellerons directrice correspondante du foyer F.

Avant de nous engager dans Tétude de ces points et de ces droites remarquables, il importe d'observer que Téqualion d'une conique peut toujours se mettre sous la forme (F), de telle sorte que celte équation ne représente pas certaines coniques particulières, mais bien une conique quelconque.

Imaginons, en effet, une conique quelconque F et soit :

son équation. Supposons, pour fixer les idées et pour mieux

préciser notre raisonnement, que F soit une ellipse. Nous avons vu que l'on pouvait trouver des axes tels que l'équation de F dans ce système, fût ;

En posant : a* — 6* = c*, celte équation peut s'écrire

Revenons aux anciens axes, nous savons que : (X— c)'+Y', devient fa;- a)*+(2/ — 3)*-h2(a;— a){y— i5)cose; de même,

cX — a\ devient nix -h wy -f- / ; et réquation de F, dans le système proposé, est,

(a?— a)*-h(y-&)*+2(a? — a)(y — g)cosezi(wj;+nî/4-^'.

Ce raisonnement, évidemment valable pour Thyperbole, s'applique aussi à la parabole ; il suffit de remarquer que l'équation de cette courbe, rapportée à ses axes, peut s'écrire :

(x-î)Vv- = (x.?)'.

Ainsi réquation d'une conique peut toig'ours se mettre sous

la forme (F), et Ton peut considérer cette équation comme

Tune des représentations de Téquation générale des coniques.

1t29. Invariants de Téquation f^némle an foyer.

L'équation (F) peut s'écrire ainsi :

j;*(i — m*)-(-y*(i— w')-|-2xy(cosô-m») — 2(a-|-3cosO + ?n/>)j;

— 2(a cosÔ -f-.g-h«p)y 4-a'H-^*H-2a^ cos 6 — «'no.

Elle représente d'ailleurs une conique réelle et Ton peut vérifier ce fait, en cherchant Tinlersection de la courbe avec une droite passant par le point (a, ^). Nous allons calculer les invariants qui correspondent à Téquation (F).

Nous avons, d*abord,

A z: (i - m*) (i — »•) (a* -hfi'-haag cos 6 - t*) -i- a(cos8— mn) (a-H^ cos ô-f-7n0(a cos 6-h34-/i0

— (i — w*)(a cos OH-P-l-nO*— (* — n")(«-l-g cos ô-h //*//

— (cos 6 — mn)* (a* -h &* -h aap cOS 8 — ("}.

Si nous développons les calculs indiqués dans le second membre de cetle égalité, nous trouvons, après avoir effectué les simplifications qu'elle comporte,

sm 6 Nous avons aussi,

B =1 (t — m')(i — w*) — (cos e — mn)\

5 n sin* 6 — (m* + n* — nwn cos h).

Enfin le troisième invariant, celui qui, dans la notation ordinaire des coniques, est désigné par :

A -h A^ — ^B^^ cos e sin'O est ici :

a — m* — »* — 2 cos 6 (cos 6 — mn)

sin'O

DkL. To»lI. ai

OU

-r-r: [ a sin* 6 — (m + 7i* — awn ces 6) } sm 6 I 5

Nous pouvons conclure de ces calculs qu'en représentant, comme nous Tavons déjà fait, par ?; p, t, les trois invariants de réquation (F), nous avons, pour les calculer, les relations suivantes :

m' + n? — um» cos 0 m* + n* — amn cos 0

ff ^ a —

sin«Ô

Nous rappelons, pour éviter toute confusion, que les invariants (7, p, t correspondent aux formules :

A -h A' - aB" cos e AA' — B*^* A

sin*e ' "^ sin*e ' sin*e

Ces formules conduisent à plusieurs conséquences.

La première que nous voulions signaler est que la courbe qui correspond à réquation (F) est une vraie conique quand on suppose D'^f o, en posant:

et,

D' =: ma + «g + ^

On voit aussi que Ton a, par une conséquence immédiate des formules (I),

(I') ffZ=p-M.

Cette dernière relation conduit à quelques résultats remarquables et que nous allons développer maintenant.

jM8. Considérons d'abord le cas des coniques ayant un

centre, et soil p ;zf o. Nous avons montré précédemment (g 209), que les axes de la courbe étaient donnés par Téqualion :

ffT

En tenant compte de la relation (i'), cette égalité peut

s'écrire :

ou

Nous pouvons donc dire : lorsque Téquation d'une conique à centre, affecte la forme que nous avons appelée équation an foyi^, les carrés des axes ont pour valeur y respectivementf

l. Supposons maintenant que Ton ail p — o. La relation (F) prouve que, dans cette hypothèse, on a aussi 7 n 1 ; et la formule (A') (§210), donne, pour déterminer le paramètre de la parabole considérée, la relation :

/>*- — -:, ou,

p = ±: (wu 4- ni» 4- 0 = =t D'.

Dans cette formule, p désigne une quantité positive et Ton doit prendre le signe -|-, ou le signe —, suivant que le foyer considéré est placé dans la région positive ou dans la région négative de la directrice.

^95. Paramétre et exeentrleité^Si Ton suppose que l'on ait p;zf o, et que Téquation (r) ait été réduite, comme il

304 VINGT-TKOISIÈME LEÇON

a été dit précédemment ; la conique qui lui correspond, rapportée à son centre et à ses axes, a pour équation :

et nous pouvons poser, diaprés ce que nous venons de voir (§223),

Le paramètre de la courbe est une ligne p, qui peut se calculer par la formule :

on a donc,

ou,

(F) dbpzitnx + nf^'ht.

Telle est la formule qui permet de calculer le paramètre de la conique ; on remarquera que cette formule est la même que celle que nous avons donnée> au paragraphe précédent, pour calculer le paramètre de la parabole. On verra tout à rheure (§227), le motif de l'identité des deux formules:

On nomme excentricité^ dans les coniques à centre, un rapport, que Ton désigne ordinairement par la lettres, et dont la valeur vérifie l'égalité :

Les relations ( 1 ) donnent :

(E) e'=ii~p,

(E') e'= ! TTT •

sm*0

L'égalilé (E) prouve que le nombre p est toujours plus petit

que Tunilé. Les axes étant — et — ^, c'est donc celui-ci qui

P P représente le grand axe, dans le cas de Tellipse.

Nous ferons encore remarquer que si du foyer on abaisse

une perpendiculaire sur la directrice, la longueur z de cette

distance est donnée par la formule :

z zz

m* -+- n* — ^mn cos 6*

qrfi peut s'écrire :

l^SG Théorème V La directrice est parallèle à une des directions principales de la conique.

La relation (A), (§îii6), appliquée à (F), donne, pour déterminer les directions principales de cette conique, Téquation :.

|x*n (m — n cos 0) -f- |jl (m*— n*) -|- fn (m cos 0 — n) = o ; cette égalité peut s'écrire sous la forme,

(n\L -hm)\ jx (m — n cos 6) + m cos 6 — n | rr o.

Les coefficients angulaires des directions principales sont donc:

n ^ m cos 6 — n . et —

m — n cos B'

Ainsi la directrice est parallèle à Tune de ces directions et perpendiculaire sur Faulre.

9ftll. Théorème II. Le paramètre d'une conique est la demi-corde principale qui passe par le foyer et qui est parallèle à la directrice.

Désignons le foyer par F, la directrice correspondante

par D, et la conique proposée par C. Par F menons une corde A , parallèle à D, son équation est :

(A) ym{x—x)-hn{y — ^)zzo.

Pour obtenir Tintersection de A et de C, il suffit de résoudre les équations (F) et (A) ; a?, y représentant les coordonnées d^un des points communs à C et à A. Mais on peut remarquer que l'on a, par combinaison de (F) et de (A),

(a?— a)*-+-(y— P)'+2(a?— a)(y— 3)cosei=(ma4-np + 0".

Celte équation représente un cercle ayant son centre au point a , P et pour rayon mot-^nf^ + t, c'est-à-dire p. Les points cherchés sont donc les extrémités d'une corde principale égale à ajp.

On peut encore exprimer ce résultat en disant que dans les courbes du second ordre r ordonnée principale du foyer est égale au paramètre de la conique,

9S8. Théorème III. Le rapport des distances d'un point de la conique à un foyer ^ et à la directrice correspondante^esi constant, et égal à l'excentricité.

Soit C la conique proposée, D la directrice, F le foyer.

Prenons sur C un point quelconque M, nous avons :

MF* = (a? — a)*-f-(y — 3)*-h 2 (a; — a) (y — g)cose,

et,

— t {mx -hny+ pY sin* 0

m' + n* — 2mn cos 6 De ces égalités, et de Téquation (F), nous déduisons :

MF __ m* -h n* — 2mn cos 6 MP""* siii^Ô

En comparant ce résultat avec la formule (£') (§ aaS), nous avons bien,