MF MP

Dans Tellipse on a p > o et, par conséquent, « < i . Dans la parabole, Texcentricité est égale à l'unité, tous les points de la courbe sont également éloignés du foyer et de la directrice; enfin dans l'hyperbole on a p < o et, par suite, c > i .

99B. Théorème IW. La directrice est la polaire du foyer correspondant.

Posons :

f{x,y,z)s{x — azy-i- (y — &z)*-h2{x ''xz){y^^z) cos^—V: nous avons alors,

'f'^ s:(a: — a2)-h(y — P2)cosO-7mD, -/•' s: (a? — OLZ) cos 6 4-(y — 35)— nD,

-r'x^(x—ocz)+iy-^z)-[x(y—?z)-i-?.(x-»z)]cos(i—tD; et, par suite,

201 VINGT-TROISlÊME LEÇON

L'équaUon de la polaire du point (a, 3) est donc :

[mx -4- «y -h 0 D' = o> ou,

DD'=:o.

Mais D' n'est pas nal si, comme nous le supposons formellement, le discriminant est différent de zéro ; la courbe qui correspond à l'équation proposée étant une vraie conique. Nous avons donc finalement :

!08O. Théorème \. Les tangentes issues d'un foyer à un^ conique sont parallèles aux directions isotropes du plan.

Les notations précédentes étant conservées, remarquons que nous avons :

wS Jm ^ft

L'équation du faisceau des tangentes issues du point (a, f^,i) est donc :

f{x,y,z)(— D") — {mxU -hnyD' + tzD')' = o.

D'"j Aa?,!/,z)-hDVJ = o.

ou, enfin,

(a? — a)« -h (y — p)« + a (a? — a) (y—?) COS 8 = 0.

Cette équation représente deux droites, issues du point dont les coordonnées sont a , 0 , et qui sont parallèles aux droites qui correspondent à Téquation:

^' + y* + ^^ COS 6 ;= o.

Les tangentes considérées sont donc parallèles aux directions isotropes du plan (§ i45).

FOYERS ET DIRECTBICES 309

Théorème TI. Les foyers sont situés sur tes axes de la conique.

L*équalion quadratique des axes est (,§ 2 1 7)

/;'(A'cose-B0 + r;/^;(A-A') + /';'(B''-Acos6)r:o,

et nous nous proposons de vérifier la relation :

/"«*{ (* — ^') cos 0 — cos 0 -h »wn | + f'j'^ (n*-m*) -f-/*p I cos 0 — mw — (i — m*)cos 0 | =: 0.

A cet effet remarquons que nous avons :

i/^;--twD', et Vp = -wD';

nous devons donc reconnaître Tidentité :

m* {mn — n* cos 6) + mn (n* — m*) + n* (m* cos 6 - mn) s 0, identité qui est manifeste.

S85i. Théorème %nil. Si les tangentes y issues d'un point M à une conique C, sont parallèles aux directions isotropes du plan, ce point M est un foyer de C.

Cette propriété est la réciproque du théorème V et cette réciproque a une importance évidente, parce quelle établit que la propriété visée dans renoncé de ce théorème est caractéristique des points foyers.

Désignons par U =1 0^ Téqualion du faisceau pi, des tangentes issus de M à C ; nous avons, par hypothèse,

U s (a?— «)• + (y — ^zy-^2(x — xz){y — ?^z) cosO.

D'autre pari, si f[x,y,z):=:o, représente Téquation de C, on sait que Téquation du faisceau {a est ;

^f{x,y,z)f[oL,^,^)-[xr^-^yr^-^zf\yzlo,

Les deux formes :

et,

{X — <xz)* -h (y — &zy -h 2 (a; — xz) {y — gz) cos B,

sont donc identiques, à un facteur constant près, et nous pouvons poser :

= (a? — xzY + (y — 0z)* -h it{x — xz) {y — gz) cos6.

L'équation de la conique étant /*(ic,y,^)=r o, ridentité précédente prouve que celte équation peut s'écrire :

(y— pi) cos 6 = 0.

Si X est positif, cette équation n'admet que la solution 3t , 6 , Y ; encore faut-il que Ton ait :

L*équation proposée représente-donc une ellipse imaginaire, ou une ellipse évanouissante.

Écartons cette hypothèse et supposons que la courbe considérée soit une vraie conique ; alors nous devons admettre que X est négatif et nous pouvons poser a zi — p*. L'équation (i) devient :

(y — 3-3^) cos e,

et, sous cette forme, on voit que le point (a, P, y) est bien un foyer de la conique.

C'est celte propriété caractéristique des foyers qui a été adoptée pour définir les foyers dans les courbes d'un ordre supérieur et Ton dit qu! un point F e^i un foyer dune courbe U, lorsque parmi les tangentes issues de? à l], il y en a deux qui sont parallèles aux directions isotropes du plan.

938. Hyperboles focales. La propriété que nous venons de démontrer peut servir à déterminer les foyers des courbes du second ordre, et nous allons montrer que ces points sont à Tinterseclion des deux hyperboles équilatères que nous nommerons hyperboles focales. Pour plus de simplicité dans les calculs, nous supposerons les axes rectangulaires et d'ailleurs, pour le remarquer en passant, les questions relatives aux foyers doivent, autant que possible, être traitées dans ce système d'axes.

Le faisceau des tangentes issues du point ( s , 3 ) a pour équation :

y+Xyj^^Wxy + aBy-f- îïB'iC-hA ") (Aa'-f-A'g'+aB'ag + 2B3 -h aB'a -hA") = { a;(Aa-f-B''g + B^H-y (B"a + A'g H- B) 4- B'a-f- B? + h"\\

Ces droites étant parallèles aux directions isotropes du plan, et les axes étant rectangulaires, nons pouvons écrire: i* que les coefficients des termes en x* et en y* sont égaux ; 2" que le coefficient du terme en xy est nul. Nous avons ainsi, pour déterminer a et 0, les deux équations :

A (Aa* -f. A'ii* -f- îiB^'ag + 26? -r ^B'a -h A") - (Aa + B'^g + B'/

zz A' (Aa* -+-A'P' -f 9.B"a.3-h ^Bg-h^ïB'a-hA") - (B"a + A'g-h B}', et,

B'' (Aa* 4- A'3' + 2B"aiâ H- 2B^ -f- 2B'a -f- A")

z=L ( Aa + B"g -h B') (B'^a -h A'3 + B).

En développant les calculs indiqués, nous obtenons, après réductions, et en rendant a et 0 coordonnées courantes :

iA'-B'^)(a?'-y*)-h2(A'B'~BB'>+2(B''B'— AB)y-hB'*— AA''-B*-hA'A"-o, (AA' - W*)xy + (AB - B'B') ir + (A'B' — BB*^) y-h BB' — A'B^-o.

En revenant à la notation abrégée (§ 194), les équations prennent la forme suivante :

(H'f) a" (af — y*) -h ihy — 'xh'x -f- a' — o = o, (11 p) a"xy — h'y — bx -hb" = o.

On doit alors distinguer deux cas. Si a'' zz o, chacune des équations précédentes représente une droite, et Ton peut conclure de cette remarque que la parabole a un foyer unique.

Si Ton suppose, au contraire, a^^o ; les équations que nous venons de trouver, représentent deux hyperboles équilatères, et Ton vérifie facilement les propriétés suivantes :

1® Les deux hyperboles focales sont équilatères et elles ont pour centre commun^ le centre de la conique considérée,

a® Elles ont pour asymptotes, respectivement, des parallèles aux axes des coordonnées et des parallèles aux bissectrices de ces axes,

3* Elles ont deux points communs réels, symétriques par rapport au centre de la conique donnée ; et deux autres points communs, imaginaires.

Ces résultats sont la conséquence évidente des équations (FIf) , (Hp), mises sous la forme :

*. Démontrer que les coniques focale» ont pour équation^ respectivement ^

4BY(a;, y) = /',/;,

8. Démontrer que les tangentes issues du foyer sont rectangulaires à elles-mêmes. (Théorème de la Hire.)

Expliquer, d'après celte remarque, pourquoi Von trouve ordinairement le facteur x* -(-y*, dans le premier membre de Véquation de la podatre du foyer; montret* pourquoi la présence de ce facteur singulier est évitée dans le calcul exposé plus loin (§ af^i) .

FOYERS ET DIRECTRICES (suite)

r. Problème. Etant donnée Inéquation d'une courbe du second ordre, déterminer ses foyers et ses directrices.

La directrice étant la polaire du foyer, le problème que nous nous proposons de traiter se réduit à la recherche des foyers. Cette recherche peut se faire par trois méthodes principales que nous allons exposer.

fl'« méthode. L'équation de la conique donnée étant :

f{x,y,z)zzo,

on ridenlifie avec Féquation générale au foyer.

Les axes étant rectangulaires, cette identification conduit aux équations suivantes :

i 1— m*z=pA, i x-\-mt:=. — pB',

(H) ji-n*irpA', (K) 3+nl = -pB,

Dans ces égalités, les inconnues sont les quantités m , n, p ; a , 0 , ^ Ces équations, séparées en deux groupes, conformément au tableau précédent, prouvent que la recherche

des inconnues âc, 3 dépend d'une solution quadratique ; nous entendons par là une solution qui peut être réalisée par des équations du second degré, tout au plus.

314 VINGT-UUATRIEME LEÇON

On remarque, en effet, que les équations (H), permettent de déterminer p par la relation :

(i) p»(AA'-B"*)-p{A-+-A')+i=o.

Cette équation, qui est une combinaison évidente des égalités (H), a ses racines réelles, la quantité placée sous le radical étant :

Dans le cas de la parabole, cette équation est du premier degré ; mais la valeur de p n'est pas infinie parce qu'on ne peut pas avoir, simultanément,

B"*izAA', el Air -A'.

En effet ces relations entraîneraient cette conséquence que les coefficients A, A\B", seraient nuls en même temps.

Revenons au cas général; supposons o;:^o, et pour bien marquer que le problème de la recherche des foyers est un problème quadratique, nous ferons observer qu'après avoir calculé les racines p' , pj^deTéquation (i) si nous prenons Tune d'elles, p' par exemple, à cette valeur p', correspondent, pour les inconnues a, 6, deux systèmes de valeurs :

D'ailleurs, il n'y en a pas d'autres.

En effet, les équations (H) et (K) donnent, par combinaison, les deux relations :

-f pB' '// — 1 -h pA

.i + pB n pB"

et,

[X -+- ^*) pB" + aji + p (aB -h ?B') -h f (BB'- A"B"/ n o.

Ces deux équalions en a, 6,: Tune du premier degré, Tautre du second degré, prouvent qu'à la racine p', correspondent, en général, deux solutions, réelles ou imaginaires,

FOYERS ET DIRECTRICES 31o

pour les inconnues a, 6. Le problème qui nous occupe et qui est, à le bien considérer, un problème du quatrième degré, se trouve donc résolu par deux équations du second degré, qui s'obtiennent en considérant successivement les deux racines p' , p".

1^ méthode. La seconde méthode que nous voulons indiquer, pour la détermination des foyers, est celle qui prend pour base les équations des coniques focales. En écrivant que Tensemble des tangentes issues du point ( a , (il ) a pour équation celle d'un point-cercle, on obtient deux relations du second degré, entre les inconnues a,^.

Cette méthode donne lieu, ordinairement, à des calculs pénibles ; dans tous les cas, si on croit devoir Tadopter, il faut diriger les calculs avec quelque attention et tenir compte de ce fait (§ a33) que les coniques focales sont des hyperboles concentriques. Le changement d'inconnues indiqué par les équations qui terminent le paragraphe cité, permet de résoudre ce problème du quatrième degré par une équation bicarrée.

8« métbiide. Enfin, si Ton remarque que Féquation d'une conique peut se mettre sous les deux formes :

D étant une forme linéaire et 23 n o représentant l'équation d'un point-cercle, on voit que Ton a :

De cette identité résulte le principe suivant dont l'application permet, le plus souvent, de trouver très simplement les foyers d'une conique : Si, au premier membre de l'équation de la courbe, multiplié par un facteur arbitrairCy on ajoute :

{x — a/ + (y — ?/ -r 2 {x — x) {y — p) cos 0,

la forme ainsi obtenue est le carré d'une forme linéaire en x et y.

La première méthode indiquée a rinconvénient grave d'introduire six inconnues dans une analyse qui n^en vise directement que deux ; la deuxième présente des longueurs de calcul qui tiennent à la forme compliquée de réquation des coniques focales ; c'est la troisième méthode qui^ ordinairement, conduit au résultat par la voie la plus courte et la moins sujette aux fautes de calcul.

Nous allons rappliquer à quelques exemples.

5S3&. Détermination des foyers et des direetrit^s.

1® Coniques ayant un centre. Nous supposons que la courbe est rapportée à son centre et à^ses axes; son équation est alors :

(K) Ax'+Ay-.=o. (A>o) !t:j\""'^.f'^*'

i A <o Hyperbole.

et, dans le tableau qui accompagne cette équation, nous avons rappelé les conditions que vérifient les coefficients A, A'. Posons :

U =: A (Aa;*-h AV - i) + (a; - a)* + (y - 6/ ;

U doit être le carré d'une forme linéaire ; ordonnons U par rapport à Tune des lettres x ou y, nous avons alors :

(i) U=:lXA' + i)2/'-26y-|-(XA+ i)a?'— 2xr4-a*-|-6*— a = o.

Nous devons écrire maintenant que ce trinôme en y est un carré parfait quel que soit x.

Deux cas doivent être distingués ici, car U peut renfermer le terme en y*, ou être privé de ce terme.

Soit supposé^ d*abord,

Pour que U soit un carré parfait il faut que le terme sS^ n'existe pas ; on a donc,

(3) 6 = 0 U faut aussi que le trinôme :

(XA 4- 1) a;* — 2xr -f- a' — X,

soit uri carré parfait. On doit donc avoir :

a*=(a*~X)(AA-M).

o — A(Aa* — 1 4-XA).

Le paramètre a n'étant pas nul, comme le prouve Tégalité (2), on a donc :

Soit pris, maintenant, le cas où Ton suppose XA' -M ?:f 0. On a :

6*=(aA'-hi){ (AA-hi)a;^ — 2aa?-ha* + 6«— a{.

Cette relation devant être vérifiée pour toutes les valeurs de X, on voit d'abord que le coefficient de x* est nul ; et, comme Ton suppose )vA' -f- 1 ;zf o, on a donc :

XA -f- 1 ^: 0 ; puis,

(3'). a = o, et,

6*i=(XA'+i)(6*-^X).

De cette égalité, on déduit :

U reste à discuter les résultats trouvés et qui correspondent aux formules (3) et (4) d'une part, (3') et (4') d'autre part.

En se reportant au tableau (K) on voit immédiatement :

i* Que la formule (4) donne des foyers réels pour Tellipse et pour l'hyperbole.

a"* Que la formule (4') donne au contraire des foyers imaginaires pour l'une et Tautre de ces courbes.

De L. Tous 11. 32

Nous pouvons donc conclure : Il y a dans les coniques à centre, quatre foyers ; deux sont réels, les deux autres sont imaginaires. Les foyers réels sont situés sur le grand axe de rellipse, ou sur l'axe tra}isverse de Chyperbole , de part et d^ autre du centre, à la même distance de ce point ; cette distance, désignée ordinairement par la lettre c, se calcule par la formule :

lorsque téquation de la conique rapportée à ses axes est représentée par :

a*" Parabole. L*équalioo réduite de la courbe étant :

y* — 2px =z 0, nous avons à considérer la forme U :

ou,

£n supposant; d*abord,

X 4- 1 = 0, on a,

puis,

D'ailleurs, on ne peut supposer . X -f- 1 pcS o ; le calcul le prouve immédiatement, mais on peut aussi reconnaître cette

impossibilité en remarquant que U étant le carré d'une forme linéaire en x et y, ne peut renfermer un terme en x\ et un terme en y*, sans avoir, aussi, un terme en xy. Ainsi lit y a dans la parabole un seul foyer situé sur taxe

de la courbe, à une distance du sommet égale à -h -.

Les directrices étant les polaires du foyer, on voit que dans les coniques à centre il y a deux directrices réelles, correspondant aux équations :

Dans la parabole, au foyer que nous avons trouvé, correspond une directrice dont Téquation est :