PROPRIÉTE.S DIVERSES DES FOYERS ET DES DIRECTRICES
1630. Nous nous proposons, en terminant cette étude des foyers et des directrices, de signaler quelques propriétés remarquables de ces points et de ces droites, quand on leur associe une ou plusieurs tangentes de la courbe. Nous établirons d*abord quelques formules nécessaires à cette étude.
Nous prendrons pour origine 0, un foyer de la courbe et, pour axes des coordonnées, deux droites recta^ngulaires quelconques passant par ce point. L^équation de la conique est alors :
(i) x'-hy*^D% en posant :
l):smx-\' ny + /.
-320 VINUT-QUATRIÈMË LEÇON
Les coordonnées d*un point M, pris sur la courbe, peuvent être représentées par xzzD cos 9, y = D sin 9 ; 9 désignant Tangle variable que fait avec OX, la direction OM. Si Ton prend deux points M et M' sur la conique, (réquation de la droite MM' est :
cos ç sin f 1
cos 9' siuf' 1
ou, en développant le déterminant, et en divisant par
a sm ' —,
07 cos î — ^4-ysin-^ — ^ = Dcos-ï^ — -, a a a
Dans le cas où les deux points M, M' viennent se confondre, cette égalité devient :
X cos 9 -f- y sin 9 :z: D ;
c'est réquation générale des tangentes à la conique qui correspond à réquation (1).
1989. Théorème I. Si Von considère une corde AB, dans une conique Cy la droite qui va d'un foyer F de celle conique, au pôle de AB, est bissectrice de V angle AFB.
Enposant : AFX=:(p,BFX=:(p', les équations des tangentes à C, aux points A et B, sont, respectivement :
(AP) a;coS(p-[-ysin9=:D, (BP) aîcosç'-f-ysinç'iz D.
L^équalion de la droite qui va de Torigine au point de concours de ces deux droites est :
X (cos o — cos ©') -h y (sin © — sin 9') = " ; ou, en transformant, et en simplifiant,
(FP) yrzicig^'^^
t.eiie égaille prouve que i angie ftx esi egai a -, et
que, par suite, FP est la bissectrice de Tangle AFB.
Fig. Ha.
5S8S. Théorème EË. Un point quelconque P du plan S une conique et le point de rencontre de la polaire de P avec une directrice de cette conique^ sont vuSy du foyer correspondant ^ sous un angle droit.
Soit AB la polaire du point P ; les notations précédentes étant conservées, Téquation de AB est :
(AB) ircosii^-f-ysin^i^=Dcosî — r-.
322 VINGT-QUATRIËME LEÇON
La droite FQ qui joint Torigine au point Q , point de rencontre de AB avec la directrice DD' qui correspond au foyer F , a donc pour équation :
(FQ) ipcos-^ '--{-ysm- — ^ =o,
-et Ton voit ainsi que cette droite est perpendiculaire sur la droite FP, droite qui, comme nous l'avons vu tout à l'heure a pour équation :
xbiu — ycos^ ' ' — 0.
9B9. Théorème III. Si Von considère une conique C eU dans son plan y une transversale quelconque rencontrant cette conique aux points A, B ; la droite qui Joint un foyer F, an point de rencontre de AB avec la directrice cofi^espondante, est bissectrice de V angle formé ^ par le rayon vecteur FA, et le prolongement de BF.
Cette propriété peut s'établir très simplement par une analyse toute semblable à celle que nous venons d'employer. On peut aussi remarquer que le théorème en question est, par des considérations géométriques évidentes, un corollaire immédiat des théorèmes I et II.
Ces réflexions s'appliquent aux deux théorèmes suivants, que nous nous contenterons d'énoncer.
9^0. Théoréine 11^. Si Pon considère une tangente quelconque A , à une conique C, la portion de A ?t*V est comprise entre le point de contact et son point de rencontre avec une directrice, est vue du foyer correspondant, sous un angle droit.
941. Théorème W, Si d'un point M pris sur une directrice, on mène à la conique les tangentes MA, MB ; la projection de M sur AB est le foyer correspondant de la directrice considérée.
949. Théorème TI. La podaire du foyer est un cercle^ pour les coniques à centre ; et une droite^ pour la parabole.
L*éqaation d^une tangente T étant prise sous la forme : (i) a; cos ç H- y sin 9 = mx + wy + ^,
la perpendiculaire abaissée de Porigine sur cette droite T aura pour équation :
x{n — sin 9) — y (m — cos ©) — o, ou,
(2) a: sin ç — y cos ^zr.nx — my.
Pour avoir la podaire du foyer il suffit d'éliminer 0 entre (1) et (2). Élevons au carré les équations (1) et (2), puis ajoutons les résultats^ membre à membre, nous obtenons réquation du lieu :
(3) a;* -f- y* — [m* + n*) {x* -f- y") H- '^mtx -f- o.nty -}- i\
Dans les coniques à centre, on a : 5 := 1 — m* — n* ; l'équation que nous venons d'obtenir représente alors une circonférence ; dans le cas de la parabole, on a : m* + n* = 1 et la podaire du foyer est une droite A ayant pour équation :
Cette droite A est parallèle à la directrice et équidistante de celle-ci et de la parallèle à la directrice menée par le foyer. C'est la tangente au sommet de la parabole.
Si nous revenons au cas des coniques à centre, nous avons à nous demander quel est le cercle qui correspond à l'équation (3) ; et pour cela nous devons déterminer le centre et le rayon de ce cercle. A cet effet, remarquons que Téquation (3) peut s'écrire ainsi :
r 1 - w«- nV ^V 1 - m* - nV "" (1 - m'- nT
C'est un cercle toujours réel qui a pour centre le point dont les coordonnées sont :
tm tn
1— m*-— w** 1— wi* — w*'
c^eat-à-dire, comme on le vérifie sans peine, le centre même de la conique. De plus, si Ton observe que Ton a ici (notation des invariants) :
T zi — /•, p iz 1 — m* — w* ; on voit que Ton peut écrire :
Le rayon du cercle trouvé est donc (§ a 25) le demi-grand axe, dans le cas de Tellipse ; et le demi-axe tranverse, dans le cas de l'hyperbole.
5S48« Théorème VII. Le produit des dislances des deux foyers d'une conique à^centre à une tangente quelconque est constant.
Les deux foyers F,F' étant symétriques par rapport au centre 0 de la courbe, et les coordonnées (a:», y») de 0 étant :
^ tm ''^ .
il en résulte que les coordonnées x',y\ de F' sont données par les formules :
Considérons une tangente quelconque A et soit : X (m — cos 9) -f y (n — sin 9) + ^ = ">
son équation. Désignons par w, t*', les distances des points F,F' à A. Nous avons, en supposant t > 0 pour fixer les idées,
(1) u = dr:t
y m* H- n* -t- 1 — 2m cos 9 — an sin 9 , ^ am (m — cos 9) -h an (n — sin 9) -h 1 -- m* — n"
(i — m*— n')v^/w*H-n*4-i — amcos9 — ansin^
KOYERS ET DIRECTRICES 325
OU
, , , , y/m^ -h n* -h 1 — im cos ç — in sin o
1 — ffi* — ^»
Les égalités (i) el (q) donnent :
UU' = ±: ; r, ou (3) liu' — lE .
Le produit uu' est donc constant : il est égal au carré du demi petit axe, dans Fellipse ; et, dans Thyperbole, égal au carré du demi-axe non transverse.
Dans Tellipse, on a : i — m' — n*>o, et dans la formule (i) il faut prendre le signe -h ; les deux foyers sont situés dans la même région par rapport à une tangente quelconque. Au contraire, dans l'hyperbole, on a i — m* — n*<o, il faut prendre le signe—, dans la formule (a) ; les deux foyers sont toujours situés dans deux régions différentes, par rapport à une tangente quelconque.
Dans la formule (3), le signe + correspond au cas de rhyperbole et le signe — , au cas de l'ellipse .
1944. Théorèioe l^lll* La somme des distances d*un point de Vellipse aux deux foyers réels est constante ; dans rhyperbole, c'est la différence de ces distances qui est constante.
Cetle propriété qui a été adoptée le plus souvent, comme définition élémentaire de l'ellipse et de rhyperbole, parce qu'elle donne une génération simple et frappante de ces courbes, peut se démontrer de la manière suivante :
Soit M un point de la courbe ; x, y ses coordonnées. On a :
m =af-hy% et, par conséquent,
(i) ±}AF zzmx-hny + t.
D'autre part, on a :
MF' =:(.r — : ; + [y ; ; ,
\ i—7n—nj \ i—m—nj
OU
MF' z=:x*-hy*—4{inX'hny)
En tenant compte de la relation :
x*-^y* zz {mx-h ny)* -h «< (^nx + ny) + /*, on trouve :
xM['' — ma^-f-ny— / r-^ — ;
ou, encore,
(•<) ±MF'=wia;-|-wy+^ —
On peut, par des considérations diverses, notamment en observant que Tellipse est située tout entière, dans la région comprise entre les deux directrices, tandis que rhyperbole est extérieure à cette région, reconnaître que dans les égalités (i) et (3) il fiaut prendre des signes contraires^ dans le cas de Tellipse, et le même signe, dans le cas de rhyperbole.
On a donc :
MF-+-MF'r=i^^ ou MF — MF'-i^,
suivant que la courbe considérée est une ellipse, ou une hyperbole.
EXERGIOES
1. Un diamètre d'une ellipse est donné en grandeur et en position ; ion conjugué a une longueur constante, mais sa position est moàile ; trouver U lieu des foyers.
On trouve un ovale de Cassini ayant ponr foyen les eztrémitéB du diamètre fixe. Ce résultat s^êtablit facilement par des considératioi» géométriques.
t. Par le foyer d'une ellipse on mène deux rayons vecteurs situés du même côté de Vaxe et rencontrant la courbe aux points A,B. Démontrer que AB passe par un point fixe,
S. Un point M est mobile sur une ellipse dont les foyers sont F et F' ; on considère le cercle ex-inscrit qui a son point de contact sur le segment MF ; trouver le lieu décrit par le centre de ce cercle.
4. Soient À, A' deux tangentes d'une ellipse E, se coupant en P ; F et F' dfyîgnant les deux foyers de E, on projette F sur A en A, et sur A' en A'. Démontrer que A A' est perpendiculaire sur PF'.
5. On considère deux coniques homo focales E,E'; soit AB une tangente à E, soit C son point de contact^ et P son pôle par rapport à E'. Démontrer qve PC est une normale à E.
ê. Vérifier par tanalyse le théorème suivant^ qui se démontre très simplement par des considérations géométriques élémentaires (§ 3i28).
Les tangentes issues d'un point P à une conique et les droites qui joignent P aux foyers admettent les mêmes bissectrices.
Appliquer cette propriété à deux coniques homofocales.
YINGT-CINQUIÈME fr VINfiT-SIXIÈME LEÇONS
