THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES CONIQUES

19it&. Théorème I. Par cinq points réelSy distincts^ située dans un plan, et tels que, parmi eux, trois quelconques ne soient pas en ligne droite, on peut faire passer une courbe du second degré réelle, et on n'en peut faire passer qu^une seule.

Désignons les points donnés par A,B,C,D,E.

En joignant le point C aux points D et E , on obtient deux droites distinctes et Tune de ces droites, au moins, n*est pas parallèle à AB. Nous supposerons donc que CD et AB se coupent en un point 0 , et nous prendrons ces droites pour axes de coordonnées.

Nous poserons :

OAirfl, OB = h: OCizr, ODzzd.

I/équalion générale des coniques étant :

Ja courbe qui correspond à cette équation passera par les points A, B, si, en faisant, dans (i), y = o , l'équation obtenue :

AarH-2B'a?H-A" = u,

a pour racines a et à. Nous avons donc :

r- zza'\-b, et -7 ir. ao,

Nous trouverons de même :

aB ^ * A" ,

— —f^zc-hd, et —,=zcd.

£n divisant Téquation (1) par A'^, quantité différente de zéro, d'après le choix que nous avons fait des axes de coordonnées, nous obtenons l'équation :

équation dans laquelle X représente le rapport -tt:.

Désignons maintenant par x\y', les coordonnées du point E et déterminons X par Téquation :

Le point E n^étant situé, diaprés Thypothèse même que nous avons faite, ni sur OX, ni sur OY, nous avons : x'y'^o. L'égalité (2) donne donc, pourX,ime valeur finie et bien déterminée.

Ceci posé, Téquation (1') représente, pour cette valeur de X , une courbe du second ordre qui passe par les points A,B,C>D,E;11 est donc démontré que Ton peut toujours

iaire passer une conique par les cinq points donnés.

330 VINGT-aNQUlËME ET VINGT*SIX1ÈM£ LEÇONS

D'ailleurs on n'en peut faire passer qu'une. Ceci résulte de ranalyse précédente qui, si on la suit avec attention, prouve qu'il n'y a pas d'autres coniques passant par les points A , B , C , D que celles qui correspondent à l'équation (i ). On peut aussi remarquer que si Ton trouvait deux coniques distinctes passant par les points A , B , C , D , Ë , les équations de ces courbes admettraient cinq solutions distinctes, et nous savons (Théorème de Bezout) que deux équations^ dont les degrés sont p et q, ont tout au plus pq solutions distinctes. D'après cela^ deux équations du second degré ont, tout au plus, quatre solutions distinctes.

94kG. Remarque I. La démonstration précédente s*appli'. que, avec les modifications connues,'aucas où deux points A , B , sont : ou coïncidents, ou imaginaires conjugués, mais en étant situés sur une droite, donnée de position. Elle subsiste encore dans le cas où, parmi les points considérés, quatre points sont deux à deux coïncidents, ou deux à deux imaginaires conjugués, mais placés sur deux droites A , A', données de position.

Pour établir la démonstration, dans Tune ou l'autre de ces hypothèses, on prendra pour axes de coordonnées A et A', ou, s'il arrivait que A et A' fussent parallèles, une droite équidlstante de A et de A' et une autre droite passant par le cinquième point, la démonstration donnée plus haut subit, bien entendu, de légères modifications que nous signalons, sans y insister davantage.

Si trois points A,B,G deviennent coïncidents sur une droite A, il y a encore une seule conique passant par les cinq points donnés, cette conique étant constituée par A et par la droite DE. On peut même supposer que les points D et E coïncident sur une droite donnée A'.

Mais il y a deux cas où le problème qui nous occupe est indéterminé ; 1^ quand les quatre points (A,B,C,D) coïncident sur une droite A ; q^ quand ils coïncident, deux à deux, sur des droites A, A', au point qui est commun à ces droites.

Dans la première hypothèse, une conique formée de A et éPune droite quelconque issue du cinquième point E , passe par les cinq points donnés ; dans Fautre cas une conique formée par un faisceau de deux droites, ayant pour centre communie point d'intersection de A et de A% Tune des branches passant par le cinquième point E^ est une conique indéterminée et qui passe par les cinq points donnés.

Nous appellerons cas singulier j ce second cas dMndétermination.

Remarque II. En transformant le théorème précédent^ par la méthode des polaires réciproques on obtient la proposition corrélative ; cette proposition peut s'énoncer ainsi :

Eiani données cinq droites situées dans un plan, et telles que trois quelconques de ces droites ne soient pas concourantes ; on peut toujours tracer une courbe du second ordre tangente à ces droites ^ et on ne peut en tracer qu!une seule.

IM9. Théorème DE. Si l'on imagine un quadrilatère dont les côtés aient pour équation^ respectivement,

P :r o, Q iiio, R — o, S ^: o ; nf et Q correspondent à deux côtés opposés, l'équation :

(i) aPQ-^6RS = o,

est ^équation générale des coniques circonscrites à ce quadrilatère.

On voit d'abord que la conique C , qui correspond à Téqua- Uon (4) est vérifiée par la solution de Tun ou de l'autre des systèmes suivants :

P=:o P;=o Q=:o Q — 0 Riro, S=:o, Rmo, S = o.

Ainsi C , représente une conique circonscrite au quadrilatère proposé.

332 VINGT-CINQUIÈME ET ViNGÏ-SlXIÈME LEÇONS

D^ailleurs toute conique circonscrite à ce quadrilatère peut être représentée par (i) si Ton fait un choix convenable des paramètres a , 6 .

En effet, soitC une de ces coniques, et soit M un point quelconque de C^ En désignant para:', ^', les coordonnées de M ; P', Q\ R',S', ayant leur signification ordinaire, Téquation :

(i) PQR'S' — RSP'Q' ^ o,

représente une conique passant par les sommets du quadrilatère proposé et par le point x\y'. Mais nous avons xuy tout à l'heure, que par cinq points on ne pouvait faire passer qu'une seule conique ; concluons donc que la conique qui correspond à réquation (i') n'est autre chose que C'.Par conséquent, en prenant :

a = irs', 6 = — P'Q',

l'équation (i) représentera la conique C.

ft4LS. Théorènie III. L'équation générale des coniques A, qui passent par les points communs aux coniques V ,^, qui correspondent atix équations :

est (sauf dans le cas singulier) :

(i) aU + 6M = o.

Imaginons en effet une des coniques A. Les courbes Uetv étant du second ordre, ont quatre points communs (A,B,C,D) : réels, ou imaginaires conjugués, distincts ou coïncidents, à distance finie ou infinie. Nous reviendrons sur ce point dans la leçon suivante, mais il peut être admis, dès maintenant, comme un fait algébrique démontré.

Prenons sur F un point M, et soient a;', y', ses coordonnées. L'équation :

it'U — wU'izu,

représente une courbe du second ordre qui passe par les cinq points A,B,C;D, M. Mais, par cinq points on ne peut faire passer qu'une conique; Téquation (i) représente donc la conique F, si Ton prend :

a = w', et 6 1= U'.

D'ailleurs, ces quantités, u' et U', ne sont pas nulles, du moins simultanément ; le point M ne pouvant pas appartenir, à la fois, aux deux coniques F, y.

En résumé, l'équation (i) représente, pour des valeurs convenablement attribuées aux paramètres a, 6, une conique quelconque passant par les points communs à F, et à y.

Ce raisonnement est pourtant en défaut dans un cas qui, malgré sa particularité, doit ôtre signalé ; c'est le cas singulier où U = o, et tt = 0, représentent deux variétés de coniques ayant le même centre 0. Dans cette hypothèse, en effet, l'équation (i) ne peut pas représenter une conique quelconque 3 passant par les points communs à F et à y ! 3 étant formé par detix droites arbitraires passant par 0.

Réciproquement, toute conique correspondant à (i), passe parles points A,B,C,D.

Lorsque a et 6 varient, on obtient une infinité de coniques qui, suivant une expression adoptée, constituent un réseau linéaire de coniques.

En général, le mot réseau correspond à Tidée de coniques mobiles, en nombre inâni ; le réseau est linéaire quand, parmi ces coniques, une seule passe par un point donné.

1S40. Théorème de Desargues. l/n réseau linéaire détermine y sur une droite fixe D deux divisions homographiques en involution.

Prenons, pour exprimer les coordonnées d'un point de D^ les formules :

a;=:a:o + ap, ynyo-f-êp;

et cherchons Tintersection de D avec F et y* ^^ substituant, De L. Tomr n. ^^

à cet effet, x ei y dans les formes V ,Uy on obtient des trinômes du second degré en p :

Mp'-hNp-hP, mp* -+■ np -h p.

Par suite, en cherchant l'intersection de D, avec une des coniques A du réseau^ Téquation de cette courbe étant :

on a^ pour déterminer p, Téquation :

(i) (>JkH- m) p* -h (XN H- n)p -h XP+pzzo.

Désignons par Mo le point de D qui a pour coordonnées ^09 t/o ; la droite D rencontre A en deux points M', M*^, et si Ton pose :

MoM'=:p', }ioWzzp\

L'équation (i) donne :

,. „ XN-4-W . , XP-+-JD

^^ XM + m ^^ XM + m

Si entre ces deux relations on élimine X on obtient, entre p' et p\ une relation de la forme :

HpV-hl(p'-hp'0 + J=:o.

Les points mobiles M' et H' décrivent donc deux divisions homographiques, en involution (^).

1 . Nous avons donné plus haut (§ 1 18) la définition des divisions tioniographiques. Lorsque l'équaUon homographique :

aw t; + p u + Y» + ô = o,

entre les variables u,v présente le caractère remarquable d'être symétrique par rapport ft ces deux lettres (par conséquent, lorsque ronap=Y]* on exprime ce fait en disant que la relation homographique proposée est en involution.

œNIQUES. ~ THEOREMES GÉNÉRAUX

Au point de vue géométrique^ on peut remarquer que le théorème précédent est une conséquence immédiate de ce £ait que cinq points donnent une conique bien déterminée. On voit ainsi qu*au point M' correspond sur D le seul point M'' et inversement.

De là, la relation homôgraphique en involution, entre les variables p', p".

Remarque. Quand un quadrilatère est inscrit à une conique V, les deux couples de côté opposés, et F, peuvent être considérés comme formant trois coniques du réseau linéaire. Une transversale quelconque rencontre ces couples^ et r, en six points qui sont en involution.

Ce corollaire du théorème que nous venons d^établir constitue la propriété qu'avait donnée Desargues.

^50. Théorème de Mac-Liaarln et de Braikenridge. Étant données deux droites fixes ^^L'^ etun triangle ABC ; autour du sommet B, on fait tourner une transversale^ qui rencontre Ùl enU, et A' enK : les droites CU, AK se cour peut en un point I, dont le lieu géométrique est une conique.

Fig. 85.

Prenons le triangle ABC pour triangle de référence ; nous savons (§ 73) que les droites A et A' ont des équations qui peuvent se mettre sous la forme :

(A) aP-^gQH-YK = o (A') x'P-|-&'Q-|-y'R = o

336 VINGT-aNQUIÈME £T VINGT-SIXIÈME LEÇONS

La transversale HK a pour équation :

(HK) R — XPzzo,

et les intersections de HK avec A et A' sont déterminées par les relations :

(CH) p (a ^ay) -4-30 = 0, (AK) R^Y4.^) + 3Q = o.

La forme des premiers membres de ces équations prouve que la première représente une droite passant par C, l'autre une droite passant par A ; en résumé, ces équations sont celles des droites CH et AK. L'équation du lieu s'obtiendra donc en éliminant X entre ces deux équations, et Ton trouve ainsi :

(aPH-PQ)(YR-+-gO) = aYPR.

Cest l'équation d'une conique passant par les points A,C.

Cette génération des coniques peut être considérée comme constituant un cas particulier, mais très remarquable, de la génération que nous allons faire connaître et qui est due à Chasles.

951 . Théorème de Chaslesu Lorsqa' autour de deux pôles fixes on fait tourner des droites formant des faisceaux homographiqueSy le point d'intersection des branches correspondantes décrit une conique, passant par les pôles.

Soient 0 et 0' les pôles des deux faisceaux ; supposons que le premier soit à l'intersection de deux droites fixes (P = o, Q = o) ; l'autre étant le point commun de deux autres droites fixes (R = 0, S = o).

Une droite quelconque A, passant par 0, a pour équation :

P-XQ = o, et une droite A', passant par 0' con*espond à 1 équation :

CONIQUES. - THiiORÈMES GÉNÉRAUX

Les droites A et A' qui sont mobiles, quand on suppose

que X et ix'sont variables, décrivent des faisceaux homographiques si les paramètres X^l^, vérifient constamment Téqualion bomographique :

aXjx + PX 4- TI* -h 8 = 0.

L'équation du lieu est donc :

aPR -f. PPS -h yRQ -+- 80S = o.

La courbe qui correspond à cette équation est bien une conique passant par les points 0,0'.

La réciproque est vraie et s'établit sans difScallé.

9519. Tltéoréme de Pappas. Quand un qttadrilatère esl inscrit dans une conique donnée F, le produit des distances d'un point M, mobile surV, à deux côtés opposés ^ est au produit des distances du même point aux deux autres câtéSy dans un rapport constant.

Fig. 86.

En effet, soient :

PZZOy Q = o,

les équations des côtés AB, CD ; et soient :

R = o, S = o, celles des droites BC, AD. L'équation de la conique est :

- (i) aPQ-h6RS = o.

D*autre part, si on abaisse du point M des perpendiculaires sur les côtés du quadrilatère ABCD , m^ , m, ,771, , m4 étant des coefficients convenablement choisis, on a :

MHzim.P, MK=:m,R, MH' = 7n,0, MK' = 11148.

Ces égalités donnent :

MH.MH^ m,m, PQ MK.MK'"m,W4 " RS'

et, en tenant compte de (1),

MK.MK' am^m^

Le rapport qui est représenté dans le premier membre de cette égalité a donc une valeur constante.

11 est facile de vérifier que, dans le cas où la conique considérée est une circonférence, la raison constante est égale à Tunité.

9&3. Théorème de Pasisal. Étant donnés six points placés sur une conique T ; si Pon joint ces points par un trait continu^ de façon à revenir au point de départ y on obtient six cordes qui, diaprés l'ordre dans lequel elles ont été obtenues, peuvent étrenumérotées iy2,3,ji^5,e, Lescordes i,4;a,5;3,6; se coupent en trois points situés en ligne droite, et récipro* quemetit.

Joignons le point de départ A, au troisième point rencontré par le circuit brisé que nous avons tracé, c'est-à-dire au point D de la figure ci^après ; désignons par ? = o, Téquation de AD, et représentons par P„ = o, Téquatîon de la corde qui porte le numéro n. Considérons maintenant les deux quadrilatères (9,1,2,3), (9,4,5,6) qui sont inscrits dans la conique proposée. D'après ce que nous avons vu (§ 247), les équations :

(0 «P,?-h«P,P3 =0, (2) a'P,^ + e'P^P.'zr o,

représentent, l'une et l'autre, Téquation de F. Considérons maintenant la combinaison suivante, des équations (i) et (2);

(3) a6T.P4P.-6a'P,P3Ps = o;

cette équation est vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de F ; et comme elle est du troisième degré, on peut dire qu'elle représente l'ensemble formé par F, et par une certaine droite A.

Cette remarque étant faite, on peut observer que les points 0,(y, 0* ont des coordonnées qui satisfont à l'équation (3). En effet, si l'on a : P, = 0 et P4 = 0, cette équation est vérifiée. Il en est encore ainsi, quand on suppose, simultanément :

Pj 1= 0, et P5 zz 0, ou : P3 = o, et Pe = o.

Ainsi les points 0 , 0', 0'^, sont situés sur D ; ce qui démontre la propriété en question, l'une des plus remarquables de la géométrie des coniques.

La réciproque du théorème de Pascal est exacte, elle s'énonce et se démontre sans difficulté, en s'appuyant sur le théorème établi plus haut (§ 245).

9&4L. Théorème de Brianehon. Étant données six droites tangentes à une conique F, si ton imagine un mobile

parcourant ces droites^ de façon à revenir au point de départ, si Von a numéroté I , II, III, IV, V, VI, les sommets de Vhexagone que Von a, ainsiy successivement rencontrés ; les droites^ qui joignent les sommets I, IV ; II, V ; III, Vï ; concourent au même point ; et réciproquement.

Ui»

Fig. 88.

Ce théorème se déduit immédiatement du théorème de Pascal par la méthode des polaires réciproques. Aux sommets A,B,C,D,E,Fde Thexagone inscrit (fig. 87), correspondent des tangentes a, ft, 0,^,6,/" qui forment un hexagone circonscrit. A la corde AB correspond le point I (fig, 88) intersection des tangentes a, 6; et ainsi des autres. Les points 0, o'yo" (fig. 87) étant en ligne droite, les droites w, w', «' dans la figure corrélative, sont concourantes.

9&&. Théorème de l^ewton. Soit F une conique fixe,

et soient A , A' deux transversales sécantes au point 0, mobiles,

mais restant parallèles à des directions fixes ; ces droites

rencontrent F, la première aux points A, A' ; Vautre aux

oA oA' points B, B' ; fe rapport ' ^, conserve une valeur constante.

oB.oB'

Ce théorème est vrai pour des courbes d'un ordre quelconque comme le prouve la démonstration suivante.

Soit :

réquation de la courbe F; menons par le point 0 (0:0,^0)» une droite A parallèle à la direction (a, 3) ; los coordonnées d'un point de A sont données par les formules :

Si nous désignons par ç^ (x,y) Tensemble des termes homogènesy et du degré m, en x et y, nous aurons pour déterminer les distances OAj, OA,, ... OA^, des points communs

à A et à r, au point 0, l'équation :

F(Xo,yo)-H... +pXa,6) =0.

Nous déduisons de là :

OA. .OA.....OA^ = (-irI^\ Nous trouverions de même :

Nous avons donc :

OA, .OA, ....OA^^(p,(«^60 OB, . OB. ....OB^- (p^(«,6)"

C'est cette relation qui constitue le théorème de Newton.

MMI. Théorème de Camot. Soit une conique F et un triangle ABC, dans son plan ; un mobile pariant du point A, par exemple, et parcourant le périmètre du triangle dans le sens ABC rencontre successivement la courbe aux points C, , C, ; A, , A, , B, , B, ; cela posé, on a la relation :

AC| . AC, BA, . BA, CB| . CBg