AB| . AB2 BC, . BC| CA, . CA

Ce théorème, comme le précédent, appartient aux courbes d'un degré quelconque, et à un nombre quelconque de transversales situées dans le plan de la courbe.

Prenons, pour fixer les idées, trois transversales et soient (a?o,yo)> (^1 >yi)i {^t>yt) l^s coordonnées des points A, B, C. La droite AB rencontre F en des points C|,C,, ... C^ et nous

avons, d*après ce que nous venons de voir,

BC| . BC, .... BG-^ — ( — i) — ' — -r-.

AC, . AC, ... AC^ — ( i) r -r- ;

a, 6 désignant les paramètres directeurs de AB. Ces relations donnent :

. AC, . AC, . . .AC^ F(a?o,yo) ^'^ BG, .BC, ... BC^" F {x,,y,y

Nous trouverons, de la même façon, les relations :

BA, .BA, . ...BA^ F (a?,, y,)

CA, .CA, ... CA^ F{x,,y^y

CB, . CB, ... GB^ ^ F (a?, ,y,)

AB, .AB, .-.AB^ F(a;o,yo)'

Si nous multiplions, membre à membre, les égalités (i),(3) et (3), nous avons :

AC| . AC, . . . AC^ BA| . BA, * • . BA^ CB| . GB^ •• . CB^ — — , , . — 1.

BGj .BG, ... BG^ CA, . GA, ... CA,^ AB| . AB, ... AB^

Cette égalité démontre, dans le cas de trois transversales, le théorème de Gamot, qui, pour des raisons rendues évidentes par ce calcul précédent, est vrai, quel que soit le nombre des transversales considérées.

9&9. Corollaires des théorèmes de Pascal et de

Brianelioii* Si nous supposons que dans la figure (8;) les

points A,B, ... F, vienneat coïncider dans les conditions suivantes : 1» A et B, 2« A et B d'une part, C et D d'autre part 3» A et B, d'un coté ; C et D, d'un autre coté ; et, enfin, E et F, d'un troisième coté ; on obtient de nombreux et intéressants corollaires du théorème de Pascal donnant des propriétés sur les pentagones, les quadrilatères et les triangles inscrits dans

les coniques.

Cette remarque importante s'applique à la figure (88) quand on suppose que l'on fait coïncider, deux à deux, les tangentes

Par exemple^ on peut considérer la proposition suivante comme un corollaire du théorème de Pascal.

Théorème. Si un triangle ABC est inscrit dans une canipieV, la tangente à F, au point A, rencontre BC en un point h! ; les trois points A',B',C', ainsi obtenus sont en ligne droite.

De même, la propriété que nous allons énoncer peut être considérée comme un corollaire du théorème de Brianchon.

Thénréme. Uorsqu'une conique F est inscrite à un triangle ABC, si Von désigne par A! le point de contact de BC avec F, la droite AA' et les droites analogues BB', CC, concourent au même point.

Nous allons d'ailleurs établir directement ces deux propositions et faire connaître, à ce propos, les équations des coniques inscrites et circonscrites à un triangle.

^&8. Coniques eireonscrltes A un Manille. Désignons par :

P=zo, Q = o, Rizo,

les équations des côtés du triangle proposé ABC et prenons ^C pour triangle de référence. L'équation générale des coniques situées dans son plan (§ 74) est :

(0 «P* + a'Q* -h «"R* -4- 26QR + 26'RP + aS^PQ =: o.

Soient a'o, ^o, les coordonnées du point A ; les trois droites AB,AC,BC, n'étant pas concourantes, on a :

Qorzo, Ro = o, et Po;zfo.

La conique F passant par A , on doit avoir :

et, par conséquent, a = o. On trouve de même, a' = 0, et 7," zz 0. L'équation (i) prend donc la forme :

(C) CQR + 6'RP + 6TQ =r o.

Cette équation peut s'écrire encore :

et, sous la forme (C), ou sous la forme (C), représente Téquation générale des coniques circonscrites au triangle considéré. Cherchons Téquation de la tangente au point A. Une droite quelconque A , passant par ce point peut être représenté par réquation :

(A) XQ — ixR =: 0.

Son intersection avec la conique (C) est déterminée par la relation :

R[S|aR-^(6'X + 6V)P] = o.

laquelle donne :

R = o, et, 6H.R-f-(6'X-f-6V)P = o.

On conclut de là que la condition nécessaire et suffisante pour que A soit tangente à (G) est :

L'équation de la tangente au point A est donc :

ou,

Si ron appelle A' le poiat de rencontre A, avec BC. Jes coordonnées de ce point sont déterminées par les relations :

On voit donc que le point A', et les points analogues B',C', appartiennent à la droite qui a pour équation :

Le corollaire du théorème de Pascal^ signalé plus haut, se trouve ainsi établi, par une analyse directe.

S&9. CToniqoc» inscrites A an triangle. Les cotations précédentes étant conservées, si Ton suppose que la droite

BC soit tangente à la conique F qui correspond à Téquation (i), on a :

On trouve, de même,

6'* =: aa^

Ces relations donnent, par combinaison, ^S't" i= ± xx'x". Prenons d'abord le signe— ; l'équation (i) devient :

E! ^' 5! 2l^ ^PR ^PQ Le signe + conduit à Téquation :

/P Q . wy

à laquelle correspond une droite double. Ainsi Téquation (1) représente, seule, Téquation générale des coniques inscrites dans le triangle de référence.

En faisant P = o dans Téquation (I), on voit que si Ton

appelle A' le point de contact de BC avec F , les coordonnées de ce point vérifient la relation :

La droite qui correspond à cette équation passant évidemment par le point À, on conclut de cette remarque que les droites AA', BB', CC'ont, respectivement, pour équation :

o. — izo, -— ~rzo.

Ces trois droites concourent au point dont les coordonnées vérifient les relations :

Cette propriété constitue le corollaire, cité plus haut (§257;, du théorème de Brianchon.

fMM. Cyoniqaes Inscrites A an an^le. Nous avons vu que réquation générale des coniques circonscrites à un quadrilatère, pouvait être mise sous la forme :

On peut supposer que les paramètres « , — 6 , sont introduits dans les formes P et R et nous prendrons l'équation :