PQ = R

représente Téquation générale des coniques tangentes aux droites qui ont pour équation : P = o , Q = o ; la corde des contacts ayant pour équation : R = o.

Cette forme remarquable donnée à l'équation d'une conique conduit, si Ton cherche son interprétation géométrique^ au théorème suivant, qui est un corollaire évident du théorème de Pappus :

Théorème V¥. Soit ÂB une corde quelconque d'une conique T, le carré de la distance d'un point M de F â cette corde est au produit des distances de ce même point aux tangentes enketBy dans un rapport constant.

Lorsque la corde AB est un diamètre, cethéorème donne l'équation de la conique rapportée à deux diamètres conjugués.

Aux propriétés diverses que nous venons d^exposer et qui, avec celles qui sont relatives aux foyers et aux directrices , constituent les théorèmes fondamentaux de l'étude des coniques nous ajouterons encore les théorèmes suivants, qui sont fréquemment employés.

ISGl .Théorème \.La droite qui joint unpoint P au milieu de la corde des contacts des tangentes issues deP à une conique F passe par le centre de T, si F a un centre^ ou est parallèle à Vaxe de la courbe, si F est une parabole.

Soient [x^y y^yZ^ les coordonnées deP;la polaire p, de ce point, a pour équation :

et le diamètre conjugué de p :

Cette équation est évidemment vérifiée par xzzxo^yzzy^; et ceci prouve la proposition énoncée.

3o0 VINGT-aNQUlÈME ET VINGT-SIXIÈME LEÇONS

Pour trouver ce lieu géométrique on peut considérer le centre comme étant à Tinterseclion des droites qui correspondent aux équations f'^zz o, f'^zzo (§ 177); mais la considération de ces droites n^est pas nécessaire et il y a quelquefois avantage à considérer le centre de la conique comme déterminé par d'aulres conditions. Par exemple^ et comme nous l'avons déjà fait remarquer, si l'équation de la conique se présente sous la forme eP' -f e'Q' =n, le centre est à Tintersection des droites qui ont pour équation : P = o, et Q =z 0 ; dans d'autres cas, on pourra considérer le centre comme un point situé au milieu de la corde qu'on obtient en prenant le diamètre conjugué d'une direction donnée.

Revenons à la démonstration du théorème de Newton. L'équation (2) prouve que Ton a :

OA=-Ar, et 0B = -^.