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CONIQUES. - THÉ0RÊ5f£S GÉNÉRAUX 331
L'ordonnée du point C est donc donnée parla formule :
q x + iA — i'
et Tabcisse de C, par l'égalité :
Entre les équations (A), (B), (C) il reste à éliminer les paramètres A, [JL et Ton trouve, finalement,
•»((?- q') -H y (p -/>') -H ^ (p'q'—pq) - o.
On reconnaît sans difficulté que celte équation est vérifiée par les valeurs suivantes :
p£ q — q' 2 qp' —pq'
qq; p'-^p
1 qp'—pq
La droite de Newton passe donc par les milieux des diagonales du quadrilatère, et ce fait pouvait être prévu, apriori, en considérant les diagonales en question comme des coniques aplaties^ tangentes aux quatre droites données.
5SG3. Paraboles tang^eotes à deux droites. Si nous considérons les paraboles tangentes à deux droites et si nous prenons ces droites pour axes de coordonnées, Téquation :
X* y* 2x1/ X . y a 0 ab a b
dans laquelle a, 6 représentent les distances des points de contact au point de concours des tangentes, représente réquation générale des paraboles inscrites dans Tangle yox.
35^ VlNGT-aNQUlÈME ET VINGT-SIXIÈME LEÇONS
9B4. Paraboles tanf^entes A trois droites. L'équation (3) (§ 262) représente une parabole lorsque Ton a :
p' ' q* L pq pq S
o\Xf en développant; et en simplifiant, •
Xjji. (X H- [A — 1) :z o.
L*équation générale des paraboles inscrites au triangle formé par les axes et par la droite qui a pour équation :
est donc :
[!-(w.)+?(.-o+.J=4vg,
pq
avec la condition Ou peut aussi prendre Téquation^ homogène en a et ^^
\ P q ^1 ^ ^pg
t. Démontrer que si trois coniques F, F', T*', ont une corde commune, les trois autres cordes sont concourantes.
En désignant par P = o, Téquation de la sècaute commune, les coniques ont, respecUvement, pour équation :
aP* H- gPQ + yPK h- or = o, a'P* -h P'PQ H- y'PR 4- QR - o, a'T* + 3TQ -4. y'PH 4- ou = o ;
et les trois sécantes non communes correspondent aux équations suivantes :
(a— a') P+ (3— 3') 0 4- (y — y') R = o, (a'-a')P + (3'-nQ-«-(Y'-Y')R=«.
On volt que ces éqnations, ajoutées membre à membre, donnent lieu à une identité. La proposition est ainsi établie ; on peut en déduire le théorème de Pascal.
». Démontrer qu'en prenant pour axe de coordonnées des parallèles aux côtés d'un parallélogramme^ menées par le centre^ Véquation générale des coniques inscrites est :
s. Si Von prend pour axes de coordonnées, les diagonales du parallélogramme, Véquation générale des coniques inscrites est :
a'* sin* 9 6'" cos' <p
4. Lorsque trois droites AA',BB',CC', prises dans le plan d'un triangle ABC, sont concourantes, il existe une conique V inscrite au triangle et ayant pourpoints de contapt les points A'.B',C'. Démontrer aussi que la droite qui joint le milieu de BC avec le milieu de kk', et les deux autres droites analogues, concourent au centre de F.
5. Lorsqu'une hyperbole équilatère est circonscrite à un tHangle, elle passe par le centre des hauteurs de ce triangle.
On prend pour axes de coordonnées un côté du triangle et la hauteur correspondante ; puis ou applique Téquation (l'j (§ a45).
8. Le lieu des centres des coniques circonscrites à un quadrilatère est une conique passant par les milieux des côtés du quadrilatère, et par les points de concours des diagonales. (Conique des neuf points.)
1. Le lieu des centres des hyperboles équilatères circonscrites à un triangle est le cercle des 9 points du triangle,
H . Si l'on considère un résçau de coniques pcusant par quatre points fixes, les polaires d'un point quelconque supposé fixe, passent toutes par un même point. (Théorème de Lamé.)
9. Si Von considère un réseau de coniques inscrites dans un quadrilatère fixe, le lieu des pôles d'une droite fixe quelconque est une droite.
(Généralisation du théorème de Newton.)
