Démontrer géométriquement le théorème de Pascal

On considère le triangle formé par les côtés i , 3, 5 de l'hexagone de Pascal, et on s'appuie sur le Ihéorème des transversales et sur le lliéorènie de Carnot.

L'idée de cette (lémonstration parait due à Sturm.

(cas général)

Le problème que nous nous proposons de traiter, dans cette leçon^ peut s'énoncer ainsi : Étant données, dans un système d'axes, les équations de deux coniques, étudier au point de vue du nombre et de la nature de leurs points communs, la situation relative de ces deux courbes.

fUi&. Théorème. Deux coniques G, c ; situées dans le même plan et qui n'ont pas de direction asymptotique commune, ont quatre points communs réels, imaginaires ou coïncidents, situés à distance finie.

Soient :

(i) U — o, uzzo

les équations des deux coniques proposées ; en posant :

U s Aa?" + A V -4- ^B'xy -I- aBy -f- qB'j? + A%. usiax* -h a'y* + %Vxy -f «ôy + ^Vx + «".

La méthode naturelle pour trouver lo nombre et la nature des points communs aux coniques C et c, consiste à résoudre les équations (i). A cet effet, on formera le résultant en x de ces équations , ou le résultant en y, comme Ton voudra. En désignant ces résultants par R {x), et par r (y), on devra considérer l'une ou l'autre des équations :

(A) R{x)zzo, (B) r(y) = o;

dans lesquelles on a :

R(x)={ a'(Aa7'-f-2B'a?-hA0-A'(aa?'-haô'x-ha^) }*

{ {B'X'hB){ax*+ab'X'\'a') — <6''aJ4-6)(Aj?'H-îiB'x+ A') j

Le coefficient K, de a:*, dans le second membre de celte identité, est donné par la formule :

K = (Aa' — flA')" — (A'fe'' — a'B") {B'a — b'A).

Celle quantité est différente de zéro si les deux équations:

Aa:*4.2B''a;y + AV=o, ax* -f- 2b''xy + a V = ® *

n'ont pas de racine commune (Alg. § i5o) ; c'est-à-dire, si les courbes C, c, n'ont pas de direction asymptotique commune (§2i5,4°). L'équation (A) admet donc quatre racines delà

forme a -f- 6/, a et 6 étant des nombres finis. Comme nous l'avons expliqué en algèbre (Alg. § 392), les équations (A) et (B) admettent quatre solutions, dans le sens général et algébrique que nous donnons à ce mot ; ces solutions pouvant être réelles ou imaginaires, distinctes ou coïncidentes, mais non infinies, du moins dans le cas que nous discutons, celui où les directions asymptotiques sont distinctes.

Pour bien reconnaître que la solution n'est pas infinie, comme nous venons de l'affirmer, il ne suffit pas d'avoir observé, comme nous l'avons fait tout à l'heure, que la valeur de X n est pas infinie, il faut encore remarquer que la valeur correspondante, ou les valeurs correspondantes de y sont aussi finies. Ce dernier fait est mis en évidence par l'équation (B), dans laquelle le coefficient de y* est précisément le nombre K ; la valeur de K restant identique à elle-même quand on permute, deux à deux : A, A', d'une part; a, a', d'autre part.

9G6. Intersection de coniques ayant des directions asynptotiqnes, on des asymptotes, €5omninnes. Nous

débarrasserons tout d'abord le problème qui nous occupe des cas particuliers qui correspondent à Thypothèse où les coniques ont des directions asymptotiques, ou des asymptotes, communes.

1° Une direction asymptoHqtie commune. Le calcul indiqué au paragraphe précédent, conduit immédiatement à une équation du troisième degré. On pourra discuter, et résoudre quand la chose sera possible, cette équation ; et, en associant aux valeurs trouvées pour a?, les valeurs correspondantes de y, on pourra déterminer la situation respective des deux coniques. On pourra, d'ailleurs, suivre la méhode que nous allons donner plus loin, pour le cas général, et qui conduit, elle aussi^ à une équation du troisième degré.

2* Les deux directions asymptotiques sont communes. Dans cette hypothèse les coefficients des termes du second degré sont proportionnels ; c'est le cas des coniques que nous avons appelées, précédemment, homothétiques. Au point de vue nouveau qui nous occupe en ce moment, celui de Tintersection des coniques, on voit que si nous avons, comme nous le supposons,

«A — Pa = o, aA' — Pa'no, aB" — Pô'-o,

a et 6 Q*étant pas nuls ; la résolution des équations (i) peut être effectuée en prenant Tune d'elles, et la suivante :

«U — PV zr 0,

laquelle est du premier degré. Les deux coniques ont donc seulement deux points communs à distance finie.

On peut ainsi considérer deux coniques homothétiques et en particulier, deux circonférences quelconques dans un plan, comme ayant deux points communs avec la droite de Tinfini du plan de ces courbes. Quoi qu'il en soit, le problème de Tintersection dépend d'une équation du second degré et ne doit pas nous occuper davantage.

3û Une asymptote commune. Soit P i= o, Téqualiôn de

Tasymptote commune aux courbes C, c ; en désignant par Qzzo, qzzoy celles des autres asymptotes, par H et A des constantes^ on sait que Ton a :

. U=:PQ + H, w s: Pg -h A.

Ces identités donnent, par combinaison,

Vh - wH =: P (Q^i — qH).

La résolution du syslème proposé est ainsi ramenée à celle d'une des équations données et de la suivante :

P(QA— gH)=:o.

En prenant Phypothèse P zr o, on a deux points rejetés à rinfini; les deux autres points sont déterminés par une équation du second degré (V zi o, ou u n o), et par Téquation du premier degré :

Qh — qUzzo,

Nous ne nous occuperons pas des cas plus singuliers encore que ceux que nous venons de citer et qui rentrent dans ceux-ci. Les uns et les autres correspondent à des problèmes quadratiques et qui donnent lieu à des solutions élémentaires. Pourtant dans le premier cas, celui où il y a une direction asymplotique unique, commune ; la solution du problème, comme dans le cas général, dépend alors d'une équation du troisième degré.

Mais avant d'aborder lé cas général, celui où les points communs sont distincts, nous voulons encore faire remarquer que l'on peut en excepter celui où l'une ou l'autre des équations (A) ou (B) a deux racines égales. Lorsque cette circonstance particulière se produit, le problème proposé est évidemment quadratique, et il est inutile d'aller chercher une solution dépendant d'une équation du troisième degré, pour un problème qui, abordé par la méthode naturelle, se résout complètement par des équations du premier et du second degré tout au plus.

lesv. Équation en X, ;ji.. Nous avons va que la recherche de rinlerseclîon de deux coniques s'obtenait par la résolution d'une équation du quatrième degré. Mais comme nous Pavons montré déjà (Alg. § 538 et 539), une pareille résolution dépend de celle d'une résolvante du troisième degré. Des considéralions algébriques qui se présentent naturellement dans cette question et qui ont été employées déjà (Alg. loc. cit.), vont nous permettre de simplifier, dans une certaine mesure, le problème de rintersection de deux coniques, en le faisant dépendre d'une équation du troisième degré.

Au lieu de résoudre le système (i), il est naturel de remplacer Tune des équations de ce système par la combinaison suivante :

(1') XU-h|xui=o,

et de disposer des paramètres X et p. de façon que la forme XU-hjJLM, se décompose en un produit de deux facteurs linéaires. A cet effet, écrivons que le discriminant de cette forme est nul et nous avons, pour déterminer X et \t., la relation :

XA + M, >^B" -h 1x6", XB' + [Lb' XB" -1- [Lb% XA' + \La', XB + \Kb XB' + ixô', XB ■+- [Kb, XA" -I- [>.a'

Si l'on désigne par A le discriminant de la forme U ; par a, celui de la forme u ; l'équation précédente peut s'écrire :

AX' + MXV 4- NXi/.' -h Ajx' r: 0 (I)

En supposant que C et c, soient de vraies coniques, on voit que cette équation entre X et (i. n'admet aucune solution nulle pour X, ou pour i*.

En donnant à l'une des variables, à {jl par exemple, une valeur déterminée ((x=: t), on obtient une équation du troisième degré en X, laquelle peut admettre, suivant les cas proposés, des racines réelles ou des racines imaginaires, des

racines distinctes ou des racines égales. Les développements qui vont suivre ont pour but de montrer comment par Vétude^ et notamment par la discussion de F équation (I)» on peut reconnaître quelle est la situation relative des deux coniques.

Nous nous occuperons d'abord du cas général, celui où les quatre points communs aux coniques C^c, sont distincts.

9G8. Définition des couples et des centres. Nous donnerons, préalablement, quelques définitions et nous entrerons dans certaines explications préliminaires qui prépareront utilement la discussion qui va suivre.

L'équation en X admet trois racines qui ne sont ni nulles, ni infinies, et que nous désignerons par Xi,X2,X3. A chacune de ces valeurs de X correspond pour la forme XU -|- w, une décomposition en facteurs linéaires et nous aurons :

(a) X,U-hws:P,0,, X^U -h w =: P,Oî , X,UH-ws:P,Or

Si Ton considère les droites qui correspondent aux équations :

nous dirons que ces droites constituent un couple relativement aux coniques C,c; et que leur point de rencontre est le centre de ce couple.

11 y a ainsi trois couples, et trois centres correspondants, que nous allons avoir à considérer. Les identités (a) prouvent d'ailleurs que la droite d'un couple passe toujours par deux des points d'intersection des coniques données.

Mais les points communs à C et à c peuvent, dans le cas général qui nous occupe, être réels ou imaginaires ; de là, différents cas que nous examinerons successivement.

5909. Discussion de i^éqnaUon en X. {Cas général):

1® Quatre points réels distincts (A,B,C,D). 11 existe alors trois couples réels, distincts, passant par ces points, (AB,CD), (AG,BD), (AD,BC); les centres de ces couples sont euxmêmes des points réels; il est facile de reconnaître que l'équation en X a, dans ce cas, ses racines réelles et distinctes.

En effet, réqualion XU-hw = o, représente réqualion générale de toutes les coniques passant par les points coninuns à C et à c, et à cette équation ne peut correspondre une variété de coniques que si son discriminant est nul. L'équation en X que nous avons formée et qui est du troisième degré, donne seulement trois couples ; comme elle doit précisément fournir les trois couples (AB, CD), (AC,BD), (AD,BC), qui sont réels et distincts, les coefficients Xj,Xj,X3, des équations (2), doivent èlre réels et distincts.

/ JC^

/} »Vr^

Fig. 90.

2* Deux points réels, les deux autres imaginaires. Soient Aet B(fig. lou) les points réels ; parles points imaginaires (que Dous avons symboliquement représentés en C et D), passe par une droite réelle P, , puisque ces points sont imaginaires conjugués, leur coordonnées étant des racines appartenant à des équations à coefScients réels; le couple (Pi, Pg) est réel, ainsi que son centre. La droite qui passe par le point A et, dans le sens attribué à ce mot (§ S3), par le point imaginaire C, est une droite imaginaire. En effet, si elle était réelle, les coordonnées de C vérifiant les équations des deux droites réelles AC et CD, seraient réelles ; ce. que nous ne supposons pas. Celte remarque s'applique à toutes les droites des couples 2 et 3 ; ces couples sont donc imaginaires, et les racines X, et X, sont, par conséquent, imaginaires elles-mêmes.

11 faut encore observer que les centres des couples 3 et 3 sont aussi des points imaginaires. En effet, si les équations imaginaires des droites AD, BC, étaient vérifiées par une solution réelle, la droite ÂD passerait par deux points réels, savoir : le point A, et le point commun aux droites AD et BC ; points qui sont nécessairement distincts.

Fig. 91.

Ainsi réquation en X a deux racines imaginaires ; il y a un seul couple réel, et, aussi, un seul centre réel.

3® Quatre points imaginaires. Représentons ces points symboliquement sur la figure ci-dessous par (A,B); (C,D). Ces points sont, deux à deux, imaginaires, conjugués, pour la raison déjà donnée tout à Tlieure. La droite AB est réelle ; il en est de même de la droite CD, ces droites passant par deux points imaginaires conjugués (§ 83).

Considérons maintenant la droite dont Téqualion est vérifiée par les coordonnées (imaginaires) des points B et G ;

cette droite est imaginaire, car si elle était réelle, le point B, dont les coordonnées pourraient vérifier deux équations linéaires à coefficients réels, serait réel. Ainsi BG est une droite imaginaire; il en est de même de AD.

Mais il faut ajouter que ces droites sont imaginaires conjuguées, parce que Téquation de Tune peut se déduire de celle de l'autre par le changement de i en — i. Or, deux droites imaginaires conjuguées forment un couple dont l'équation est :

p et V désignant des fonctions linéaires réelles. Le centre de ce couple est donc réel. En résumé, dans le cas où les quatre points sont imaginaires, il existe -un couple réel et deux couples imaginaires, mais ayant des centres réels ; par suite, l'équation en X a ses trois racines réelles puisque les coefOcients de (i) sont réels, chose qui ne saurait se réaliser avec une équation de la forme :

U (m -+■ ni) -4- w — o,

dans laquelle U et m ont des coefficients réels. Le tableau suivant résume cette discussion.

Équation en )^ — (Cas général.) — (Racines distinctes.)

(Trois coiid16s réels \ Trois centres réels". ) Q^^at^e points réels, distincts.

Une seule racine \ ^^ ««^ ^^^uple réel. | Deux poinU réels.

réelle. | Un seul centre réel. ) Deux points imaginaires.

i Un seul couple réel. 1 ,. , . , . Trois racines réelles. | ^^^.^ ^^^^^^ ^^^^^ { Quatre points imaginaires.

D'après ce tableau, ayant formé Téquation en X, une discussion algébrique portant sur cette équation apprendra, d'^abord, si elle a, ou non, des racines égales. Nous examine-

rons, toul à Theure, les cas particuliers qui correspondent aux racines égales, mais^ pour le moment, nous plaçant dans le cas général, nous supposerons que Téqualion en X a ses racines distinctes et nous dirons, pour conclure :

1* S'il n'y a qu'une racine réelle, les deux coniques proposées ont deux points réels, et deux points imaginaires communs.

a» Si, au contraire, les trois racines sont réelles, on cherchera si les trois couples qui correspondent à ces racines sont du genre elliptique, ou d*u» «mire' genre. Dans le premier cas, les quatre points sont imaginaires ; ils sont réels dan:; la seconde hypothèse.

On remarque que la présence d'un couple du genre elliptique, couple correspondant à une racine réelle de TéqualioD en X, suffit pour caractériser les quatre points imaginaires; et que, si deux couples «Missent -pefi^du genre elliptique, les quatre points sont nécessairement réels. M>«'-iitU

(cas particuliers et applications)

Nous allons maintenant chercher comment Téqualion en X permet de reconnaître les particularités diverses de la situation respective de deux coniques, quand deux ou plusieurs des points communs deviennent coïncidents. Les racines do l'équation en X ne sont plus distinctes, elles sont nécessairement réelles.

990. Premier €»is j^riàeuUer. {Deux points coïncidents.) Désignons par A et B les deux points qui sont coïncidents ; réqualion qui donne les abcisses des points communs admet une racine double, laquelle est la solution d'une certaine équation du premier degré. Ainsi les coordonnées du point (AB) sont réelles.

Fig. 93. Fig. 94.

Si les deux autres points C, D sont réels, le couple (AC,BD) couple qui correspond à la racine double est réel (fig. gS) ;

De. L. Tume II. 25

si au contraire les points C,D, dont les coordonnées se calculent par une équation du second degré, sont imaginaires (fig. 94) le couple AB^CD qui correspond à la racine simple est réel, mais celui qui correspond à la racine double est da genre elliptique.

991. DevKiénie eas particulier. {Les points coîncidefU deux à deux.) Les deux coniques ont alors la position du double contact ; mais il y a deux sortes de double contact, que nous allons distinguer Tun de l'autre .

Les polynômes R (a;), r (y) que nous avons considérés plus haut (§ 265), sont alors des carrés parfaits, les coordonnées du point (AB), et celles du point (CD), sont données par la résolution d*équations du second degré qui, suivant les cas, ont des racines réelles ou des racines imaginaires.

Si les racines sont réelles, le couple qui correspond à la racine simple est réel et celui qui correspond à la racine double a une équation de la forme P* == o ; elle représente une droite double et, les coefficients de P étant réels, on peut dire que cette droite double est réelle.

Cette dernière conclusion est encore exacte lorsque les points (AB), (CD) sont imaginaires^ mais ce cas se diflEërencie du précédent si Ton remarque que les droites AB^CD sont imaginaires. En effet, si elles étaient réelles, comme A est une droite réelle, les points (AB), (CD) seraient réels ; ce que nous ne supposons pas.

9*99. Troisième eas pmHÊeuUer. {Trois points coïncident.) Si R(x) = 0 admet une racine triple, les racines de cette

ébuation sont données par des équations du premier degré (Alg. § 4o5) ; elles sont donc réelles. Cette remarque s^applique à réquation r{y) =: o. Les trois couples sont alors confondus en un système unique formé par deux droites ; Tune de ces droites étant la tangente au point (ABC) aux coniques pro-

posées ; Tautre» étant la droite qui joint ce point (ABC) au quatrième point D.

Ainsi^ réquation en X a une racine triple à laquelle correspond un couple de genre hyperbolique.

998. Qaatrléme eas particulier. {Qicatre* points coïncidents.) Enfin^ il peut arriver que les quatre points communs aux deux coniques considérées soient confondus; c'est le cas des coniques osculatrices,

Fig. on.

Ce point (ABCD) est nécessairement réel, les polynômes R(a;),r(y) sont, dans ce cas, des quatrièmes puissances exactes. L'équation en X a ses trois racines réelles, mais il arrive ici, en même temps, que cette racine triple donne un couple correspondant dont réquation est : P' = o,

Nous avons dit que, dans le cas particulier que nous examinons, les coniques étaient osculatrices.

D'une façon générale on nomme courbes osculatrices en un point commun^ celles qui ont, en ce points le maximum de points confondus. Un cercle étant déterminé par trois points, est osculateur à une courbe lorsqu'il a trois points communs coïncidents avec cette courbe. Deux coniques ne pouvant

posséder que quatre points communs sont mutuellement osculatrices lorsque ces quatre points sont confondus.

En général, deux courbes ont un contact d'ordre p, lorsqu'elles onip + 1 points communs coïncidents. Le cas le plus simple, celui qui correspond à p = i, s'appelle le simple contact et la disposition des coniques que nous avons considérées au paragraphe précédent est celle du contact du second ordre.

Nous résumons cette discussion dans le tabkau suivant :

Équation en X. -- (Cas particuliers.) — {Racines égales.]

S 2 points réels coîocid avec le centre da coi 2 autres points réels disi

12 points réels coincidi avec le centre du cji 2 autres points ima^oi

IRéel, si X" donne un a byperboUque.

Imaginaire, si X« da une couple ellipUqil

Une racine triple

/ , , î u 1 1- ( * points réels,

l A doune un couple hyperbolique ) « - .j . ^ i^ -

i . »., /iv i3 coïncidents avec le c

I (coatact du second ordre). / , ,

' , ( ' du couple.

V donue ud couple parabolique 1 , . , . ..

(coniques osculatrices]. ) * P^*'^^^ «"^«^^ ~'"'**

ftH^» Cas où Ton peut éviter l'équation en X. L'équation en X étant du troisième degré, on doit éviter d'avoir recours à cette équation toutes les fois que le problème de Tinlerseclion de deux coniques peut se résoudre par des équations d'un degré inférieur. Nous avons déjà signalé deux cas où le problème est quadratique, quand nous avons considéré (§ 266) ; 1° deux coniques ayant une asymptote commune ; 2« deux coniques homolhétiques. Nous allons encore faire connaître quelques cas analogues.

t" Coniques confocales. En prenant pour origine le foyer commun, les coniques ont pour équation : Tune,

x* + y' = D\ l'autre,

Les points communs vérifient l'égalité :

(D-hD')(D — 00 = 0.

Le problème se résout au moyen de deux équations du second degré.

2" Coniques ayant un axe de symétrie commun. Prenons cette droite pour axe des x ; les équations des deux coniques prennent la forme suivante :

et,

y'zza'x'-hl^'x-hY-

Les points communs ont donc des abcisses qui vérifient t'équalion :

3« Coniques inscrites dans un angle. Soient P r= o, Q = <» les équations des droites qui forment Tangle proposé. Les coniques ont pour équation : Tune,

PQ zz R\ l'autre,

PQzzS-.

La résolution de ces équations peut se faire en considérant la combinaison :

le pî*oblème est encore quadratique.

370 VINGT-HUITIÈME LIQON

4^ Coniques concentriques. Les équations de ces coniqaes, en prenant le centre commun pour origine, ont la forme :

Ax' + Ay + aB^a^yizi,

et,

ax* ■+ a!y* -f- ^h''xy = i .

Pour résoudre ces deux équations, on fera la combinaison suivante :

et la solution du problème s'effectue par des équations du second degré, tout au plus.

5*^ Coniques doublement tangentes à une conique donnée V. Si Ton désigne par U =z o, Téquation de F, U — PQ =: o représente réquation générale des coniques y passant par les points communs à F et à la conique aplatie formée des deux droites A , A' qui correspondent aux équations P = o, Q = o. Si nous imaginons que A et A' se rapprochent et viennent se confondre, la conique y devient doublement tangente à F et a pour équation :

dans laquelle P désigne une forme linéaire «a? -4- 3y -H y- Kn supposant a, P, y variables, (i) représente Féquation générale des coniques doublement tangentes à U.

Pour établir ce point avec la rigueur voulue, nous allons montrer que Féquation (i) peut représenter une conique quelconque doublement tangente à F.

En effet, imaginons une conique y' doublement tangente à F, soit V =: o son équation. L'équation des coniques passant par les points communs à F et à y' est XU — V =: o ; et pour une valeur particulière de X, la forme XU — V devient un cane parfait, les deux coniques étant doublement tangentes. On i

donc: XU — Vs:Q', Q étant une forme linéaire. L'équation de y', V = o, peut donc s'écrire sous la forme :

OUf

elle rentre donc dans la forme (i).

Cette remarque étant faite, imaginons deux coniques y, y" doublement tangentes à F ; elles ont pour équation, respectivement ;

La résolution de ces équations est encore quadratique et ceci résulte de la combinaison évidente :

En observant (§ 80) que les droites qui correspondent aux équations :

P = o, Qzzo, P-hQ=:o, P — Qno;

forment un faisceau harmonique, nous pourrons énoncer le Ihéorème suivant :

Théorème. Lorsque deux coniques sont doublement tangentes à une troisième conique^ les cordes de contact et les sécantes communes sont des droites concourantes formant un faisceau harmonique.