APPLICATIONS DE L'ÉQUATION EN X

199&* Théorème I. Lorsque deux coniques ont leurs axes parallèlesy les points communs à ces coniques qui sont situés à distance finie, appartiennent à un cercle.

Prenons pour axes de coordonnées, des droites parallèles aux axes des deux coniques considérées ; les équations de celles-ci ne doivent pas renfermer de termes en xy (§ îo5), elles ont donc la forme :

Aa;' + Ay -h aBy + ^B'o: -h A" - o, ax* + a'y* -+- ihy -h 'xh'x -k-n" :=io.

Si Ton peut résoudre ces équations par rapport à ar'elày', on voit que les points communs appartiennent à la courbe U, qui a pour équation :

a:' + y* := mx -I- ny -h p,

équation qui est une combinaison évidente des précédentes. Cette courbe U est un cercle, puisque les axes des coordonnées sont supposés rectangulaires.

11 y a exception lorsque Ton a ka' zz ak' ; dans ce cas, les deux coniques sont homolhétiques ; deux des points communs sont rejetés à Tinfini.

199S. Théorème II. Lorsque deux coniques F, F', ont leurs points communs situés sur un cercle, leur/ axes sont parallèles.

Cette proposition, qui est la réciproque de la précédente, peut s'établir de la manière suivante :

Prenons pour axes de coordonnées, des parallèles aux axes de Tune des coniques données F' et soient :

les équations des coniques, en posant :

\}:sikx' + k'y* + iWxy + aBy 4- "iWx -f k\ \:sax* + a'y* -h '^by H- ib'x -f a\

La forme V ne doit pas renfermer le tenue en xy (§ «o5}, si, comme nous le supposons, les axes de coordonnées sont parallèles aux directions pinncipales de F'.

L^équalion générale des coniques passant par les points communs à F et à F' est :

(i) aU+gViro.

Pour des valeurs convenablement attribuées à a et à 6, cette équation doit représenter un cercle. Les axes étant rectangulaires, le terme en xy ne doit pas exister dan^s (i) ; on a donc a B" = o. Le paramètre a n'est pas nul ; car si Ton a a no, réqualion (i) devant, par hypothèse, représenter un cercle, la conique F' est un cercle et, dans ce cas, la proposition est évidente. Concluons donc que B'^ est nul et que, par suite, les axes de coordonnées sont parallèles aux axes de F. Ainsi les coniques F et F' ont leurs axes parallèles.

1169 9. Théorème III. Lorsque quatre points A,B,C,D d'une conique F sont situés sur un cercle ; les cordes AB , CD sont inclinées sur la direction positive de Vun ou de Vautre des axes, d"* angles supplémentaires.

Cette proposition est la conséquence immédiate du théorème précédent.

Considérons la conique aplatie F ' formée par les droites AB , CD ; F et F' ont quatre points communs situés sur un cercle, leurs axes sont donc parallèles. Or les axes de F' sont les bissectrices des droites AB , CD ; par suite les axes de F sont parallèles à ces bissectrices. D*oii cette conséquence géométrique que les cordes AB et CD sont inclinées d'angles supplémentaires sur la direction positive de Tun, ou de Tautre, des axes.

5998. Théorème W¥. Lorsque deux cordes AB , CD d^une

conique F sont inclinées d'angles supplémentaires sur la partie positive dé Vun des axes, le quadrilatère ABCD est inscriptible à un cercle.

En effet en considérant la conique aplatie F' formée par les droites AB , CD, les axes de cette conique, c'est-à-dire les bissectrices des angles formés par ces droites sont parallèles aux axes de F, et le théorème I prouve que les points communs A , B , C , D ; sont situés sur un cercle.

999. Théorènie W. Il existe un triangle autopolaire \^] commun à deux coniques F , F'. Ce triangle qui^ en général, est unique j a pour sommets les centres des couples passant par les points communs àV et à V\

Soient :

les équations des deux coniques considérées et soient {x,y,z les coordonnées d'un point 0 ayant la même polaire dans F et dans r\ L'équation de la polaire de 0, par rapport à F, est :

(i) xu;4-Yu;-4-zr: = o;

et celle de 0, par rapport à F' ,

(a) xu;4-Y«;4-zu; = o.

Les équations (i), (2) devant représenter la même droite, on a :

— \ désignant la valeur commune des rapports —, -7 , -j •

On peut considérer le paramètre X comme une inconnue auxiliaire et, pour déterminer X, on doit éliminera:, y, centre les équations:

XU^-{-tiar = o, (3) XU;-hî4 = o,

AU- -h U, =10.

1 . Un triangle ABC est autopolaire à une conique F lorsque chacun de ses sommets a pour polaire, par rapport à l\ le câté opposé. On dit ans^i que ABC est conjugué à la conique.

Ces équations linéaires et homogènes ont un déterminant qui est , précisément, le discriminant de la forme X U -f " ;

par suite le résultant de ces équations n'est autre chose que réquation en X.

Cette équation, dans le cas général, admet trois racines, réelles ou imaginaires X, , X, , X, ; à chacune desquelles correspond un seul point (à distance finie ou infinie). On obtient ainsi trois points 0 , , 0 , , O3, lesquels jouissent de la propriété de posséder la même polaire par rapport aux coniques r et F' ; et qui sont, d'après les équations (3), les centres des couples passant par les points communs à F et à F'.

Montrons maintenant que la polaire A,, deO(, par rapport à F, ou par rapport à F', est la droite O.Oj.

A cet effet, considérons une coniqae quelconque y passant par les points communs à F et à F' ; elle a pour équation :

(7) KU-^M=^o,

K étant un paramètre arbitraire. La- polaire du point Op par rapport à y, a pour équation :

X (ku;^+ w;)4-y(ku;-^w;) -hz (ku;+w;) == 0.

Si nous y remplaçons x^y^z par les coordonnées x^^y^ , z^ du point 0„et si nous tenons compte des relations :

nous obtenons :

(K - X,) (XU;^ -h YU;^ + ZU^) =: 0.

Ainsi la polaire de 0, , par rapport à y , est la droite Aj elle-même.

Parmi les coniques particulières qui passent par les points communs à T et à F' se trouvent celles qui sont aplaties et qui correspondent à K = X, , ou à K — X,. La polaire de O^

par rapport à ces couples passe par leurs centres, c'esl-à-dire par les points 0, , 0,. Ainsi la droite 0,0, est la polaire de 0, y par rapport à toutes les coniques du réseau correspondant à réquation (y).

f . Trouver Véquation générale des coniques doublement tangentes n deux coniques données.

Soient S = o, S/ = o les équations des coniques données. Xi désignant Tune des racines de Tëquation en X et l'équation du couple qui correspoml à cette racine étant : PQ = o, l'équation cherchée est ;

Q« — aÔ(S + X,S') + eT' = o.

On suppose, pour bien préciser la valeur de X|,