S — X,S'=:PO

0 désigne un paramètre variable.

S. Démontrer que si deux coniques sont doublement tangentes, la polait^e d'un point quelconque pris sur la corde de contact est /-a même pour cet deux coniques.

8. Qu*arive't^il si Véquation en\ a: i® une racine nulle ; a^ deux racines nulles ; 3» trois racines nulles ?

Réponse : i** Tune des coniques est aplatie; <2° le centre de la conique aplatie est situé sur la vraie conique; 3** la conique aplatie est formée d'une droite tangente à la vraie conique et d'une autre droite passant par le point de contact.

4. Démontrer que si autour d'un point fixe A, pris sur une conique F, on fait tourner deux cordes rectangulaires A, A' ; la droite qui joint lesextré» mités de ces cordes passe, par un point fixe^ situé sur la normale à F, au point A. (Théorème de Frégier.)

Trouver le lieu de ce point fixe quand on suppose que A décrit V.

Généraliser le théorème précédent en supposant que ^et ^f sont des droites mobiles dont les coefficients angulaires m, w' vérifient toujours l'équation:

xmm' + P (m -f- m') + Y = *^ '»

cesi-à-dire, en supposant que ^etàr sont des droites cofrespmdantes de deux faisceaux homographiques en irivolution,

5. Dire quelle particularité présentera l'équation en X lorsque Vune des coniques étant formée de deux droites sécantes ^ a : i° Vun de ses côtés tangent à la vraie conique ; 20 ses deux côtés tangents à la vraie conique.

6. Démontrer que les coefficients en X sont proportionnels à des invariants quand on effectue un changement de coordonnées.

Supposons que U devieaae U|, et que udevienoe u^ : alors XU-f-t^ devieut XU, -^Ui. Les valeurs de X qui doaaeut à XU -(- 1^ ^^ forme eP*4~s'Q*' ^^^^ doncles mêmes que celles qui donnent cette forme à XUi-4-m«< Les deux équations en X qui correspondent aux équations:

XU + W z= o, XU, H- 1*| — 0,

ont donc les mêmes racines.

A Si Ton prends en particulier, u^x^-^y'-^jxy cos 0; on voit que

siu' 6 est un invariant.

V. Le raisonnement précédent est en défaut si l'on suppose que les deux équations du troisième degré sont :

et,

(X — XT(X — X') = o;

montrer que cette circonstance ne peut se produire.

8. Déterminer les points communs aux coniques qui ont respectivement pour équation :

Parmi les couples passant par les points communs, ou trouvera celui qui correspond à Téquation :

Finalement, les points cherchés ont pour coordonnées :

378 EXERaCES

•. On considère l'hyperbole équiUUère H qui correspond à réquatton :

xy = m* :

dun point fixe P (a, 6), avec un rayon variable R, on décrit un cercle à qm coupe H aux points A, B, C, D ; trouver le lieu décrit par le point de (mcours I, des cordes ÂB et CD.

On considère réqaatiou

/'(a?,y,2)=:o, en posant :

f(œ, y y z) = {X — zzy + (y — 6^)* — H V -h 2X {xy— nCz'), el Ton remarque que les coordonnées du point I Yérifient les équatioui

Le résultat est :

On peut employer la méthode précédente dans les problèmes du même genre.

On pourra aussi généraliser la question précédente en considérant une conique quelconque, au lieu de Thyperbole H. Le lieu trouvé est toqjoun une hyperbole équilatére, ce lieu est, pour des raisons évidentes, iliT- ' perbole équilatère aux pieds des normales.

!•. Appliquer Véquaiion en \ à la résolution de Véquaiion :

ax* -h bx^ -^cof-^dx + f^zo, On posera

ETCDE DES CONIQUES D APRES LES EQUATIONS REDUITES

(tangentes et polaires)

980. Équation réduite de l'ellipse. Nous avons vu (§ai4) que, par un choix convenablement fait d'axes rectangulaires, les coniques qui ont un centre peuvent être représentées par l'équation :

(i) SX + S"V-4--r = o.

Nous supposerons d'abord S > o ^ ce qui correspond aux coniques du genre ellipse. Comme nous avons (§ ao5) :

sin^e

Si S'A est positif, réqualion (i) n'est vérifiée par aucune valeur réelle des variables. Supposons donc S'A <o, par suite S"A <o, et posons :

a'zz

rry

L'équation (i), en appelant maintenant x et y les coordoonées courantes, prend la forme :

C'est cette équation qui va nous servir pour l'étude de l'ellipse.

itHl . l^orme de la €N»arbe. L'équation (E) peut s'écrire sous Tune ou l'autre des formes suivantes :

Il en résulte que si Ton prend OAizOA'— a, OBi=0B'— 6, la courbe est renfermée, tout entière, dans l'intérieur da rectangle CDEF. On voit aussi que, x variant depuis zéro

Kig. 9«.

jusqu'à a, y diminue constamment, depuis la valeur b Jusqu'à zéro. Enfin l'arc de courbe AB offre une sinuosité telle qu'une droite ne peut pas le rencontrer en plus de deux

L*ELLIP3E

points. On peut ainsi se &ire une idée assez exacte de la forme de cet arc AB. L'ellipse totale s'obtient en prenant un arc A'B symétrique de Tare AB, par rapport à oY, puis un arc AB'A', symétrique de ABA' par rapport à oX.

fB99. CTonstmction de l'ellipse, point fiatr point. Nous avons démontré précédemment (§ 33), que si Ton joignait un point M de Tellipse aux extrémités A,A' du grand axe, la droite A'M et la perpendiculaire élevée au point A, à la droite AM, se coupaient en un point [l dont le lieu géométrique était une droite A, perpendiculaire à AA'.

En appliquant Qette remarque au sommet B, on obtient un point C de A ; cette droite se trouve donc déterminée, on voit ainsi, comment, connaissant les sommets de Tellipse, on peut construire la courbe, point par point, au moyen d'une règle et d'une équerre.

51^8 . Représentation d*nn point de l'ellipse : i"" Soient x'jî/', les coordonnées d'un point quelconque de la courbe ; ces quantités variables vérifient constamment la relation :

De L. Tome II.

Il existe donc, entre o et -, un angle ? tel que Ton ait :

(P) cos ç = - , sin ç = X--

Réciproquement, si Ton prend arbitrairement, entre o et -,

un angle f , et si Ton calcule les coordonnées d'un point U par les formules (P), M situé sur Tellipse. La connaissance

du paramètre 7 caractérise donc la position d'im point M de Tellipse.

Cherchons l'équation d'une corde MM de Tellipse. Celle équation est :

a cos 9 b sin 9 1 acosf' 6 sin 9' 1

•zi o

ou,

bx (sin 9 — sin 9') — ay (cos 9— cos 9') -f- ab (sin 9'cos 9 — sin 9 cos ?'; ou encore, par une transformation évidente,

(b) — COS-^ i-O-iftinl 1— nrtoI •

+ T sin ' — ^ ■=, cos 2 6 2 2

2* L'identité :

(fT?)+(rf?)=''

permet encore de représenter les coordonnées d'un point de l'ellipse par les formules :

Dans ces égalités, t désigne un paramètre arbitraire, variant de — 00 à -h 00. A toute valeur de /, correspond un point M,, situé sur Tellipse.

LELUPSE 3S3

Si l'on cherche Téquaiion de la corde M^lf^^ , en appliquant la formule connue :

y-y' = |rz:J?(-«-a^').

on trouve :

j^84. Équatioo de la taag^ente. L^équation générale des tangentes :

^fxt -H yfyf -H zf[, := o, appliquée à Téquation E^ donne :

„^ , xx' yy'

Les formules (P) et (P') donnent deux autres formes :

(T,) - cos ? -+- 1 sin 9 = 1 , a b

qui peuvent encore se déduire des équations (S) et (S')> en faisant ? = f ' dans la première ; et ^ = t\ dans Tautre.

Enfin, on emploie aussi, dans quelques questions, une quatrième forme de l'équation de la tangente^ forme dans laquelle on met en évidence le coefScient angulaire de la tangente.

Considérons la droite qui a pour équation :

y zz mx -h n

el cherchons la relation que doivent vérifier les coefficients m et n, pour que cette droite soit tangente à l'ellipse.

Les abcisses des points communs sont donnés par Téquation' :

ou,

X* {a*m* -H 6') + 2a*mnx -h aW — a*à* zz o .

Cette équation doit avoir ses racines égales, on a donc:

ou, après simplifications,

n' = a^rrC -h b\

L'équation de la tangente, en fonction du coefficient angulaire m, est donc ;

(T4) y — mx±^ yJa^nC -h ^* n o.

5S8&« Remarque sur remploi des différentes fomes de réqaation de la tanf^nte. Les équations que nous venons de faire connaître et qui représentent la tangente à l'ellipse ne doivent pas, en général, être employées indifféremment. L'une de ces formes peut présenter certains avantages pour le calcul que Ton a en vue et Ton doit alors prendre, de préférence, cette forme particulière.

Nous voulons montrer l'utilité de celte remarque par divers exemples.

Applieation de la première forme. On considère une ellipse rapportée à ses axes, ox,oy ; une tangente à ceUe courbe rencontre les axes aux points VjQet V ellipse ^u point M. Trouver le lieu décrit par le point commun à la droite OM et au cercle qui passe par les trois points 0 , P , Q.

Le point de contact M ayant une influence particulière sur la construction du point dont nous cherchons le lieu géométrique nous prendrons l'équation de la tangente sous la forme (TJ.

L'équation de la tangente mobile est :

et Ton a

af y

Par suite, Téqualion du cercle OTQ est :

D'autre part, la droite OM a pour équation :

L'équation du lieu s'obtiendra en éliminant af et y' entre les relations (i) et (2) et Tégalité:

Des équations (1) et (2), on déduit :

en portant ces valeurs de a;' et de y' dans (3) on a :

Nous indiquerons plus loin (§ 39a), quand nous nous occuperons delà construction des courbes, les formes diverses de la quartique qui correspond à cette équation.

Applieation de la seconde forme. Démontrer qu*une tangente mobile à V ellipse intercepte sur les tangentes aux extrémités du grand axe des segments qui, comptés à partir des points de contact, ont un produit constant.

Prenons Téquation (T.) ; si nous y faisons, successivement, a? — «, eixzz — a, nous obtenons :