AM AF
Les triangles rectangles FAM, FA'M' sont donc semblables et cette similitude exige que les droites FM , FM' soient rectangulaires. On peut donc dire : Si Von considère les tangentes aux extrémités du grand axe et la partie MM' interceptée par
UELLIPSE
ces droiieSy sur une tangente quelconque, le cercle décrit sur MM' comme diamètre^ passe constamment par les foyers.
Cette proposition résulte d'ailleurs d'une propriété précédemment établie (§ 237). En effet, d'après cette propriété, les droites FM et FM' sont bissectrices des angles adjacents AFK, ATK ; elles sont donc rectangulaires.
Application de la troistéaie forme. On considère les tangentes AC et BC^ aux sommets A et B de Fellipse ; une tangente mobile A, rencontre ces droites aux points k" yB" et par ces points on mène des parallèles aux axes de la courbe ; on obtient ainsi un point I, mobile avec A : trouver le lieu décrit par\.
Jl"
A' Fig. JOi,
Prenons la troisième forme de l'équation de la tangente. Si, dans réquation (T,), nous faisons x:=a, nous obtenons réquation de A"!,
L'équation de B"! s'obtient, de même, en faisant yzzb; elle est :
(a) ^{i^t)zzi^t.
En éliminant / entre (1) et (a), nous avons :
xy -\- ay -h bx :=^ ab
c'est réquation da lieu. En écrivant cette équation sous la forme :
(x + a) (y + 6) n aaô,
on voit que le lieu est une hyperbole équilatère ayant pour asymptotes les tangentes aux sommets A' et B' et passant par les points A et B.
Application de la quatrième forme. Trouver le lieu des points d'où Von voit V ellipse sous un angle constant V.
Soient a et 6 les coordonnées d'un point I du lieu ; exprimons qu'une tangente à Tellipse passe par ce point ; nous avons alors la relation :
6 z: wia ± ^a*m^ -h b*, ou,
Cette équation, du second degré en m, fait connaître les coefficients angulaires m', m" des tangentes issues de I, à l'ellipse. En discutant cette équation, on voit que les tangentes sont réelles ou imaginaires suivant que la quantité U :
U = aV -- («• - a*) (y - e) = &•«• -h a^e — a*b\
est positive ou négative. L'expression ôV -h a*y* — a*ô" a une valeur négative pour a? r= o et y = o et, par suite, pour tous les points intérieurs à la courbe ; elle a, au contraire, une valeur positive pour tous les points extérieurs (§ 69). On peut donc mener deux tangentes réelles à Tellipse, par un point extérieur à la courbe.
Pour revenir à la question proposée, si nous appelons m' et m" les racines de l'équation (i), nous avons :
et, par conséquent,
LELLIPSE
En rendant a,6 coordonnées courantes, nous avons l'équation du lieu :
[af ^y*-a'^ b') tg- V z: 4 (6 V -f aY ~ a*b*).
Fig. 103.
Dans le cas particulier où les tangentes sont rectangulaires, on trouve que le lieu est le cercle qui correspond à Téquation :
c*est le cercle circonscrit au rectangle des axes ; ce résultat a été déjà démontré (§ 220).
^8S. Polaire. En appliquant à l'équation (E),la formule :
<^/"x, + yf'y„ + î/i, = o.
on a, pour Téquation de la polaire du point {x^yV^^^,
5999. Equation quadraUque des tang^entes. Si du
point {Xo , yo > ^o) nous voulons mener des tangentes à l'ellipse, l'application faite, à Téquation (E), de la formule générale :
[ix)f'a>^ -h yfy^ + zf'.y = if{x, y, z) f{Xo , Vo , ^o),
donne :
Appli<MiÉloo. Pour montrer^ par un exemple, quels sont les problèmes auxquels cette équation s'applique particulièrement bien, proposons-nous Texercice suivant : trouver le lieu des points d'où partent deux tangentes à VellipsCy ces tangentes rencontrant Vaxe oy en deux points^ dont les distances au centre ont un produit constant , et égal à a*.
Dans réquation (F), faisons xzzo; nous obtenons pour déterminer les ordonnées des points de rencontre du faisceau des tangentes avec oy, Téquation :
Si nous écrivons que le produit des racines de cette équation est égal à a*, nous obtenons la relation :
. b*x\-haY, a =z -
«• - xl
Rendons a?o, y© coordonnées courantes et nous avons réquation du lieu :
(a* -h b*) x' -I- ay r= a^.
Cette équation représente une ellipse rapportée à son centre et à ses axes.
998. Construction de la tangente en an point pris sur Tellipse. Nous reviendrons plus loin sur ce problème, qui peut se résoudre par des voies très diverses ; mais nous voulons compléter ici la construction que nous avons indiquée plus haut pour trouver, sans faire usage du compas, un point quelconque M, de Tellipse ; et montrer comment on peut, avec la règle seule, trouver la tangente en ce point M.
Soient a:',^', les coordonnées de M, on a, (fig. 99),
Les droites MB, MB' ayant, respectivement, pour équation :
x'{y — b)i=x(y' — b)y x'(y'^b)z=x{y''hb),
UELLIPSE 391
on a :
0P = .*^. et 0P'= *^
par suite,
OP -h OP' 6V a«
En comparant (i) et (2) on voit que le point T est le milieu du segment PP' ; et, de cette remarque, on conclut qu'en complétant le parallélogramme, dont MP et MP' sont deux côtés, la diagonale de ce parallélogramme est la tangente cherchée.
EXERGIOES
1. On considère une ellipse E rapportée à ses axes et la droite À qui correspond à V équation :
Soit  le sommet de droite; ayant pris sur E, un point quelconque M, on abaisse du sommet A', opposé à A, une perpendiculaire sur AM et Vo7i prend A" symétrique de A', par rapport à AM. Ayant joint A^M, on élève à cette droite une perpendiculaire A', au point A. Démontrer que la tangente en M va passer par le point commun aux droites ^, A'. Déduire de cette remarque une constiniction de la tangente au point M, avec la règle et Féquerre.
*. Une tangente mobile MM' (fig. 100) rencontre les tangentes en Ket K'y sommets de l'ellipse, aux points M et W ; on joint AM', A' M ; ces droites ie coupent en un point I ; trouver le lieu de ce point.
On trouvera^ pour le lieu demandé, l'ellipse qui correspond à Téquallon :
S . Démontrer qu'en joignant un point quelconque de Vellipse aux quatre sommets, on obtient un faisceau harmonique.
4. On prend un point mobile P sur la tangente au sommet E, et l'on projette ce point en I sur sa polaire. Lieu du point I. Ce lieu est un cercle passant par les foyers, et correspondant à l'équatioD:
s. Trouver le lieu des points tels, qu'en les projetant sur les axes et l'ellipse f la droite gui joint ces projections soit tangente à la courbe.
Le lieu est une quartique ayant pour équation :
f af — a''
•. Démontrer que H l'on considère dans le plan de Vellipse une trmstersale ayant pour équation :
si la corde interceptée a une longueur 21, on a :
r (A« + B'; = (A'ô* -h BV) (A- + B- ~ 1).
7. Une tangente mobile à Fellipse rencontre les tangentes aux extrémités du grand axe aux points M, M' ; on joint OM et l'on projette U point W sur cette droite ; trouver le lieu décrit par cette projection.
On trouvera le cercle qui correspond à l'équation :
LELLIPSE (suite)
