NORMALES. — DEVELOPPEE

ftSiB, Eqnatloii de la normale. Il existe pour l'équation de la normale quatre formes qui correspondent à celles que nous avons trouvées pour la tangente.

L'équation générale des normales :

appliquée à l'équation réduite de Tellipse, donne :

x — oc^y — y'

ou,

ouy encore»

En remplaçant, dans celte équation,— et j- au moyen des

394 TEŒNTlËME LEÇON

formules (P) et (F)> on obtient deux autres formes de Téquation de la normale : *

ax by

cos (p sin ç

Enfin on peut trouver une quatrième forme de Féquation de la normale à Tellipse, en fonction du coefficient angulaire. A cet effet, identifions les deux équations :

y zz mx -|- n,

Nous avons :

-m=^, et « = -^.

Ces relations donnent :

y' __ nà x' va

OC a me

Ainsi, les paramètres m et n vérifient la relation :

ou

a' 4- ôW L'équation de la normale est donc :

(N4) y -=• mx :

c^nC

it90. rVormales meaées par an ptilnt da pimm. -^ Théorème. Par un point M, pris dans le plan cTune ellipse, on peut, en général^ mener quatre normales à la courbe : deux de ces normales sont toujours réelles.

Soient «x, 6, les coordonnées du point M ; si nous exprimons,

L'ELUPSE 395

au moyen de Téquatioû (N3), qu'une normale à Tellipse passe par ce point, nous obtenons pour déterminer le paramètre t qui correspond au pied de la normale cherchée, l'équation :

ut (1 + f) aot — (i -<*)66 — 2cV (1 — t*) = 0, et celle relation peut s'écrire, en supposant 6 ^f o,

Cette équation est du quatrième degré et son dernier terme a un signe contraire à celui du premier ; elle a donc quatre racines, dont deux sont toujours réelles.

Lorsque 6 est nul, une racine de Téqualion (1) est nulle, une autre est infinie, et les deux dernières sont données par l'équation :

c*-hax

La racine nulle donne le sommet A ; la racine infinie le sommet A' ; enfin, si le point pris sur AA', est situé à une dis-

tance du centre moindre que —, en valeur absolue, il y a

deux autres normales réelles issues du point considéré.

59911. Hyperbole équilatére aux pieds des normales issaes d'an point (^). — Théorème. Les pieds des normales^ issues d'un point P, appartiennent à une hyperbole équilatére ayant pour directions asymptotiques les directions principales de V ellipse et passant par le point donné et par le centre de V ellipse.

Désignons par a , 6, les coordonnées du point P, et par x, y celles du pied de Tune des normales issues, de ce point P, à Tellipse qui correspond à Téquation :

I. C*est au moyen de cette hyperbole qu'ApoUouius résolvait Je problème des Normales. • (Chasles. Traité des Sections coniques, p. i44.)

Voyez, pour ce problème de la détermination Tles pieds des normales issues d'un point, l^exercice V, proposé à la fin de cette leçon

La relation (N,) donne :

iV = c\

En considérant, dans les équations (') et (a), x eip comme des coordonnées courantes on voit que les pieds des normales issues de P peuvent être considérés comme les points communs à deux coniques : Tune est Tellipse proposée ; Tautre, qui correspond à Téqualion (a), est une hyperbole ayant pour directions asymptotiques les axes de Tellipse; elle passe parle

point (a,6) et aussi par Torigine, qui est le centre de Tellipse.

9B9. Pèle tang^emtiel et pôle normal. Imaginons une corde AB d*une ellipse E ; si, aux extrémités A, B, de cette corde, on mène les tangentes, elles se coupent en un point P que nous nommerons le pôle tangentieL D'autre part, les normales aux points A, B, se coupent en M ; nous dirons que M est le pôle normal de la corde AB.

Nous allons chercher les relations qui permettent de calculer les coordonnées du pôle normal (a, 6), connaissant celles du pôle tangentiel (a', 6').

Du point M on peut mener deux autres normales (réelles ou imaginaires) à Tellipse ; soient G et D les pieds de ces normales et soient (x\ 6\ les coordonnées du pôle tangentiel Q de la corde CD. On peut remarquer d'ailleurs que la droite CD, qui passe par deux points imaginaires conjugués, est une droite réelle ; a% 3% sont donc des quantités réelles.

Les équations des droites AB et CD sont^ respectivement,

1 . n est remarquable que celte équation est la même pour toutes les coniques homothétiques. M. Niewengloski a tiré de cetU observation une élégante construction dM centrd^ de l'hyperbole équilatMa*anx pieds drs normales. (V. Journal de mathématiques spéciales ^ avi*il 1884.)

par suite, celle du couple formé par ces deux droites est :

Fig. io3.

Les points A, B, C, D appartiennent à rhypobole équilatère aux pieds des normales, courbe qui a pour équation (§ 271) :

(2) c*xy 4- ô*Pi^ — û*ay — o.

L*équation générale des coniques passant par les points communs aux coniques (1) et (2) est donc :

Cette équation, pour une valeur particulière de X, doit pouvoir représenter l'ellipse E ; on peut donc Tidentifler avec réquation :

Celte identification conduit à plusieurs remarques importantes.

En observant que les équations (3) et (4) ont le même terme constant ( — 1), et en égalant les coefficients des termes en of et en y*, on a, d'abord,

(J) aV=:-a% p'^'^ z= - 6'.

De L. Tom II. 27

Écrivons mainlenant que, dans Téquation (3), les coefficients des termes en a:, en y et en xy^ sont nuls et nous avons :

Oj ± 0"

3 donnent

et, par combinaison avec les égalités (J),

Telles sont les formules que nous voulions établir. 9B3. Théorème. Le prodiiU des coefficients angulaires m, m', des côtés opposés d'un quadrilatère normal inscrit dans

une ellipse y est constant et égal à -;.

Le coefficient angulaire de AB est —7; celui de CO,

est j^^ ; par suite, leur produit est égal à -7^77;;. En uli-

lisant les formules (J), on voit que Ton a, finalemeul,

a 99ift. Théorème de Joaehimsthal. Les pieds de trois des normales issues dun point à une ellipsCy et le point diamétralement opposé au quatrième pied y forment U7i quadrilatère inscriptible à un cercle.

Soit A' (Fig. io3) le point diamétralemeut opposé à A, les droites AD^ A'O ont des coefficients angulaires dont le produit est égal à 7. Ceci résulte de ce que ces directions

sont conjuguées et on peut le vérifier facilement par un calcul direct : nous reviendrons d'ailleurs sur ce point en étudiant les cordes supplémentaires de Tellipse. D*autre part, les droites AD et BC étant deux côtés opposés d'un quadrilatère normal leurs coefficients angulaires ont (§ 293) un produit

égal à -7. On conclut de là que les cordes A'D, BC ont des

coefficients égaux et des signes contraires ; .ces droites sont donc inclinées, sur la direction positive de Tun des axes de l'ellipse, d'angles supplémentaires et nous savons (§278) que, dans ce cas, les quatre points A', B, C, D sont situés sur un cercle.

90&. Équation du eerele de JoaehlmsiliaK Pour mieux faire comprendre Tidée qui dirige les calculs qui conduisent à réquation du cercle passant par les pieds de trois des normales issues d'un point donné, nous envisagerons Une question moins particulière et nous allons montrer comment on détermine l'équation du cercle qui passe par trois des quatre points communs à deux coniques données^

Supposons que Ton connaisse un point commun à deux coniques T, T'y et prenons ce point pour origine. Les équations de r et do V sont, respectivement,

{!') Xx* -h Ay 4- iWxy + 2By -f- iWx - 0, (!'') ax* -4- a' y* -|- ib'xy -h 2by -j- ib'x = o.

Ces équations peuvent s'écrire :

(1) a;(Ax4-2B"y-f-aB') = -Z/(A'y-l-2B),

(2) x {ax -f- ^b^y -f 26') 1= — y {a' y -f- ib) ;

et, aussi; sous la forme :

(i') a?(Aa?-f-2B0z: — y(A'y-l-aB'a;+ aB), (a') x{aX'^ 2b') =z — y (a'y -h aô^a; + aô).

En combinant les équations (i) et (a), ou les équations Cl') et (a^), en les divisant membre à membre, et en supprimant la solution a; z= o, y = o ; on obtient une conique y, qui passe par les trois autres points communs et qui a une équation de la forme :

(y) olx* -h «y •+■ 2&"xy -h a^ + 2^'x + a" :=. o.

Entre les équations (F), (y), d'une part ; (F'), (y), d'autre part ; on peut éliminer le terme en xy et Ton obtient deux équations ne renfermant que les termes en x* et en y*. Ces équations représentent deux coniques passant par les trois points en question. On sait que les quatre points communs à ces coniques sont situés sur vtn cercle et nous avons montré (§ 376) comment on obtenait Féquation de ce cercle.

Telle est Fidée générale que nous allons appliquer à l'ellipse et à rhyperbole équilatère aux pieds des normales.

Nous désignons toujours par a, 6 les coordonnées du point M d*où partent les normales que nous allons considérer ; soient A, B, C, D les pieds de ces normales parmi lesquels nous distinguerons particulièrement le point A dont les coordonnées seront représentées, dans les calculs qui vont suivre, par a?i,2/i.

Transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au point A, au moyen des formules :

x = X + Xt, y-Y-hyr L*équation de Fellipse est alors :

et celle de l'hyperbole aux pieds des normales :

(11') XY + x(^'6 + y,)-|-Y(a;.-^a)=o.

Avec les équations (E'), (H') formons, par combinaison, réqualîon de la conique (y). Nous avons, d'abord,

et, par suite,

g Y + ay,

Cette relation qui est vérifiée par les coordonnées des points B, C, D, peut s'écrire :

(3) Y'+Y(3y,+^i6) -x^,{x,-^»^ +ay, (y.+^ie)

Un calcul analogue, ou, préférablement, une permutation des lettres (X, Y), (iCi, y^), (a, 6), (a, 6), donne ;

(4) X-+x(3a:.-$)-Y^*(y.+^6) 4-ax. (x. -^*)

En ajoutant, membre à membre, les équations (3) et (4)» on obtient, après réductions, le résultat suivant :

Si nous revenons maintenant aux anciens axes, nous avons réquation :

ou, en développant et en réduisant.

Telle est Téquation du cercle de Joachimsthal ; on vérifie facilement que les valeurs xzn — a?,,y:=: — yj, satisfont à cette équation et Ton retrouve ainsi le théorème de Joachimsthal.

On peut d'ailleurs donner à Téquation précédente une forme plus remarquable, en posant :

u zz a* H zzh* A ,

et, en tenant compte de la relation :

On trouve ainsi :

^^ + y" + xx,+yy,-u{ç^ + ^ + ty

Cette équation prouve que le cercle de Joachimsthal passe par les points communs au cercle décrit sur OA' comme diamètre (A' désignant le point diamétralement opposé à A) et à la tangente à Tellipse au point A'. De là on peut conclure le théorème suivant, qui complète le théorème de Joachimsthal, et qui est dû à M. Laguerre.

Le cercle qui passe par les pieds de trois des normales issues d'un point à une ellipse^ passe aussi par la projection

LELLIPSE 403

du centre de la courbe sur la tangente au point qui est diamétralement opposé au pied de la quatrième normale.

99B, Centre de eoarbare* Si Ton imagine sur une courbe U, deux points voisins A, B et les normales en ces points ; ces droites se coupent en un point 0 ; et la limite des positions de ce point, quand on suppose que, A restant fixe, B vienne coïncider avec A, est un certain point w^^ que nous appellerons le centre de courbure de U, au point A.

999. Coordonnées dn eentre de c^ourbure d'an point de l'ellipse. II résulte de la définition générale que nous venons de donner du centre de courbure que dans Tellipse, ce point peut être considéré comme un pôle normal, le pôle tangentiel correspondant étant le point A, pris sur la courbe.

Si nous désignons par x Qiy les coordonnées de A et par

X, Y celles du centre de courbure w^^, les formules P„,(§292), donnent ;

En tenant compte de la relation :

ay + 6 V = a'V Ces formules prennent la forme suivante :

908. Développée de Tellipse. La développée d'une courbe U est le lieu de ses centres de courbure. Comme le centre de courbure est le point d'intersection de deux normales infiniment voisines, on voit que la développée peut aussi être considérée comme l'enveloppe des normales.

Les formules que nous venons de trouver donnent

L'équation de la développée, sous une forme irrationnelle, est donc :

(D) {aXf+(bYf=c^,

Sans insister sur la forme de la développée de rellipse, nous ferons remarquer que Téqualion (D) prouve que cette courbe est, toute entière, située dans l'intérieur du rectangle formé par les parallèles aux axes menées par les points P> P' ; Q> Q'i obtenus en prenant :

OP:=:OF=-; OQ=:OQ'ziî*.

Ces points remarquables P, P' ; Q. Q' qui sont, à la fois, les sommets de la développée et les centres de courbure des

Fig. Ki4. ,

sommets de Tellipse, s'obtiennent par une construction simple

LTLLIPSE 405

et que représente la figure. En abaissant du point C, pôle de la corde AB, une perpendiculaire sur cette droite, on obtient les points P et Q'.

En effet, menons par C une parallèle CH à AB ; nous pourrons alors remarquer que AH = OA = a ; le triangle rectangle PCH donne d'ailleurs la relation :