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!999« Cercle «Msonlatear. Si Ton se rapporte à la définition que nous avons donnée d'une courbe osculatrice à une autre (§ 273) on voit qu'un cercle est osculateur à une courbe quand il a, avec elle, trois points communs coïncidents.

Si Ton prend arbitrairement, sur une ellipse, trois points voisins A, B, C ; ces trois points déterminent un cercle et quand les trois points deviennent coïncidents avec le point A le cercle considéré a une position limité qui est celle du cercle osculateur au point A.

En remarquant que les perpendiculaires aux cordes AB, BC, en leurs milieux se coupent au centre du cercle osculateur et

ont pour positions limites celles de deux normales infinîmenl voisines, au point A, on voit que le cercle osculaleur n'est autre chose que le cercle de courbure, considéré tout à Theure.

Nous nous proposons de montrer l'identité de ces deux cercles, par le calcul suivant.

A cet effet, cherchons les points communs à Tellipse et au cercle de courbure et montrons que, parmi les points communs à ces deux courbes, trois sont coïncidents. .

Prenons sur l'ellipse un point A et soient x\ y' ses coordonnées ; celles du centre de courbure w sont :

Le cercle de courbure a donc pour équation :

(0 (.-«-^)-+(..«i:)=(.-:y,(,+iy,

OU

Transportons les axes, parallèlement à eux-mêmes, au point A. Les formules de transformation étant :

x = X-hx\ y = Y-^y\ réquation du cercle de courbure est alors :

{X+xyMY'hyr^2{X^x')~ 2 (Y4-2/0^*=a/*+y--9x'^Vif*|

ou, après simplification,

On peut remarquer que Ton a

L'ELLIPSE m

On trouve, ainsi,

Finalement, l'équalion du cercle de courbure est :

D'aulre part, Téquation de l'ellipse, dans le système YAX, est :

Si nous cherchons les points communs à Tellipse et au cercle de courbure nous aurons à résoudre les équations (i) el (a). Nous voyons d'abord, parla forme même de ces équations, que les coniques qui leur correspondent ont deux points communs confondus à Torigine, par ce qu'elles admettent^ Tune et l'autre, pour tangente au point A, la droite qui a pour équation :

Xx' Yy'

-T-+--rr — 1 =0.

Cherchons oh sont situés les deux autres points communs. La résolution des équations (i) et (2) conduit, très naturellement, à faire la combinaison suivante :

Cette équation, qui représente le faisceau de deux droites •joignant le point A aux points que nous cherchons à déterminer, peut s'écrire :

Si maintenant nons tenons compte des relations

aUV^y'')z:iVx'\ V[a'--ar)z=:ay\

nous obtenons la relation (3), sous la forme,

Les droites qui joignent A aux deux points qui, abstraction faite de A, sont communs à Tellipse et au cercle de courbure, sont donc celles qui correspondent aux équations :

et

Yy'

La première représente la tangente AT et ceci prouve que Fun des points cherchés est confondu avec A. L'autre équation démontre que le quatrième point S, est situé à Textrémité d'une corde menée par A et symétrique de AT par rapport aux cordes principales qui passent par A.

Fig. io5.

Cette dernière remarque pouvait se formuler, à priori, en applicant le théorème connu (§ 277) sur le quadrilatère qui est inscrit, à la fois^ à une conique et à un cercle.

dOO. Oonstmetfon da cercle oscalatear en an piiInÉ donné. La construction du cercle de courbure, en un point pris sur Tellipse, peut se faire par des procédés très divers ; celle que nous proposerons ici repose sur le théorème suivant :

Théorème. Soit A un point pris sur Vellipse de centre 0, la tangente en A rencontre les axes aux points R e^ T ; si du point 0 on abaisse une perpendiculaire OH sur RT, le rayon de courbure au point A, étant désigné par p, on a :

Les relations :

OT=p, OV=x'

donnent,

a* a' — x'* aV*

On a, de même,

Vx*^ a^y

Les triangles rectangles ATP, ARQ, donnent :

et,

(2) AR =a;^*+-^rz ^ ^^^ i.

Enfin^ on a la relation :

ou,