AR. AT
Aw z:
AL
Mais on a,
AL - A'Il' =z OH,
LËLLIPSE 41 1
el, liiialcmeuU
AU . AT Aco zz -^^jj :=: p.
I. Soit A, un point pris sur une ellipse d'un centre 0, la normale en ce point rencontre l'un des axés ox de la courbe en un point N ; par N, on mène une perpendiculaire à la normale, et cette droite rencontre 0 A en u?i point P ; démontrer que la perpendiculaire abaissée de P sur ox, rencontre AN au centre de courbure.
Mannheih. (Cours de Géométrie de VÉcole Polytechnique.)
%. On considère deux points A. et B sur une ellipse ; les normales en ces points rencontrent l'un des axes de la courbe, aux points A/ et B/ ; soit M le milieu de AB ; démontrer que la perpendiculaire élevée en ce point M, à Âfi, passe par le milieu de AfBr, Laguekre.
8« Démontrer que si quatre points d'une ellipse correspondant aux paramètres t^, tg, t^f ^4, sont situés sur un cercle y on a :
Z<, = ^tM
en déduire le théorème de JoachimsthaL
Pour établir ce second point on remarque d'abord que les paramètres t't*^ de deux points diamétralement opposés vérifient la relation ^F= — i. £o désignant par 1^,1^,1^, les paramètres des lûeds de trois des normales, et par 9 relui du quatrième pied, le point diamétralement opposé d celui-ci
a un paramètre ^, = — -.
On a d'ailleurs d'après l'équation (1) (§ 290) :
tA -H iA + Kh -H ^^2 + ^^a H- e/4 = o. et,
Eu multipliant ces égalités par ^j, eu remplaçant t^^ par — j,et en ajoutant les résultats, membre à membre, on a :
^i^tj>i — S^i 1= 0.
4. On considère un point M d'ott Von peut mener à une ellipse E deux normales rectangulaires MA,MB ; de ^i partent deicx autres normales MC,MD ; irouver le lieu décrit par le pôle de CD.
412 EXERaCES
Od remarque que le lieu décrit par le pôle de AB est le cercle de Moiige et on applique les formules (J) (§ 29J). Le résultat est :
S. Si Von considère quatre tangentes à Petlipse E telles que tes normales aux points de contact concourent, démontrer que les parallèles à ces tangenta menées par Vun des sommets de VelUpse rencontrent la courbe en quain points situés sur un cercle, , (Joacbimsthal).
Soit A Tune des taugeulesi et soit 9 l'angle d'anomalie du point de contact M, on a :
aa ^6 ,
cos 9 sin 9
Si par le sommet  on mène une parallèle a à, elle rencontre E en on point (1. et Tangle d'anomalie de \l est égal à 39. Les coordonnées jf^y* de (L sont donc données par les formules :
— z= cos 2©, ^ zz sin 29 ;
nous avons donc
aa sin ç — b& cos ç =: — ^.
Élevons au carré, nous obtenons :
aV (i — cos 2(p) + 6*3* (1 4- cos aç) — aôa^ sin 29 z: - -r?- Le premier membre est une fonction linéaire en x»,ytff et Ton a finalement
puis,
Pff et Qv étant des fonctions linéaires en xff et yv. Les quatre points li appartiennent donc au cercle qui correspond à Téquation :
x'-hy*zzV-hQ.
Ou peut aussi démontrer, très simplement, cette propriété remarquiblf en transportant les axes de coordonnées, parallèlement à eui-mèuics, « sommet considéré. (K. Journal de Mathématiques spéciales, mm li^i-
L'ELLIPSE (suite)
DIAMETRES ET CORDES SUPPLEMENTAIRES
SOI. Ellipse rapportée à deux diamètres conjum^nés. Lorsque les axes des coordonnées sont deux diamètres conjugués d'une conique, l'équation de cette courbe est de la forme :
MX*H-NY*:=i.
En effet, à toute valeur de X, doivent correspondre deux valeurs pour Y, égales et de signes contraires^ et vice versa.
En désignant par a' et b' les longueurs des dèmi-diamètres conjugués considérés, l'équation précédente peut s*écrire :
CE') l+fi-.-o.
Cette équation présente la plus grande analogie avec celle de Tellipse rapportée à ses axes, mais 'elle suppose, implicitement, que les axes sont obliques.
Si Ton applique à Téquation (£') la formule (3) (§ i84), qui exprime que deux directions sont conjuguées, en désignant par m' et m'' les coefficients angulaires de ces directions, on a
Nous aurons rarement à nous occuper, dans les développements qui suivent, de la forme (E') ; mais elle peut être utile- De L. Touk h. a9
414 TRExNTE ET UNIÈME LEÇON
ment employée dans cerlaines questions et^ à ce propos, noas ferons remarquer que les formules relatives aux tangentes (§ a84) subsistent pour Téquation (E'), mais qu il n'en est pas de même pour, les égalités relatives aux normales (§ 289).
SOS. Défiaitton des points cM^nJug^aés. Nous dirons que deux points M' M" placés sur l'ellipse sont des pointe co»juguès qiiand les droites OM' et OW qui joignent le centre ât V ellipse aux points considérés sont deux diamètres conjugues. • A un point M', correspondent deux points conjugués M',M*; M' et M'', sont situés du même côté par rapport à ox;WeiW du même côté par rapport à oy.
30a. Formules de Chasies. Nous désignerons parx',y', les coordonnées de M' ; par x\ y" celles de M"" ; et nous nous proposons de calculer x" et y" en fonctions de x' et de y\
Soit t' le paramètre de M', t" celui de M^ entre t' el t' il existe une relation que nous allons d*abord rechercher.
La droite M' M" a pour équation [(S'), § 283]
vu 0
et le faisceau (OM', OM") est représenté par l'équation
égalité qu'on peut écrire :
a ab 0
Le produit des coefficients angulaires de ces droites devant
être égal à 5 , on a donc
ii't" = t'' -h t'" — 1 ~ rr*,
ou,
ou, encore,
En égalant à zéro ces deux facteurs, on voit qu'à V correspondent deux valeurs de i\ et 1 on peut remarquer que ces valeurs ont un produit égal à — i, ce qui donne deux points correspondants diamétralement opposés ; oe sont les points M" et M*^ que nous venons de définir. On peut, d'ailleurs, distinguer facilement dans les formules :
quelle est celle qu'il faut prendre pour calculer les coordonnées du point M", conjugué de M' et situé, avec lui, du même côté par rapport au grand axe ? En effet, les formules :
a i-^t^' b 1 + t*' prouvent que Ton peut former le tableau suivant :
o , . j . (Le point correspondant est mobile
i" t vane deoai! jf j»
( dans le premier quadrant.
2** ^ — i à 4- * I — dans le deuxième quadrant.
y l — — «à — ij — dans le troisième quadrant.
4"/ — — làoj — dans le quatrième quadrant.
Ce tableau permet de préciser la position d*un point placé sur Tellipse et de dire, d'après la valeur donnée à /, à quel quadrant appartient ce point.
La valeur de t" étant maintenant connue, nous pouvons calculer les coordonnées du point m". Nous avons, d'abord,
puis, par combinaison avec (A'),
7TT'"* "" 1 -h r 1 4- r "" 1 -f- r'
Nous trouvons donc, finalement,
(I) ^=-; (Il T=-^
o a au
Ce sont les formules que nous voulions établir, et que nous allons appliquer à une démonstration nouvelle des théorèmes d'Apollonius (*).
a04L. Théorèmes d*Apolloiilas {^^ démonstraHon), Soii posé :
OM'zra', OWzzb'; on a
(i) a'*=:x'* + y'% et b'*=:x'''\'y'\
Cette dernière égalité peut s'écrire, en utilisant les formules de Chasles,
Les égalités (i) et (a) donnent alors :
En remarquant que
il vient,
fa" -h 6" -a' + 6*.
1 . Les formules de Chasles se démontreul aussi, plus «lirectemenl, ?o observant que Ton a
et, par suite,
or'
En élevant les deux membres au carré et en faisant la somme des numérateurs et des dénominateurs, ou voit que chacune de ces fractions a poor valeur -f-ti ou — i.
C'est le premier théorème d'Apollonius.
Pour établir le second théorème, remarquons que la tangente en M', à l'ellipse, est parallèle à OM" et que, par suite, le triangle M^OT a môme surface que M'^OM'. Or, nous avons :
OTi=^, et, Wttz^y";
par conséquent.
Fig. i()6.
aM'OM" =a'^,;
ou, en appliquant la formule (I),
aM'OM" = a' - ir ah.
La surface du triangle formé par le centre et par deux points conjugués est donc constante, et égale à celle du triangle formé par le centre et deux sommets de la courbe.
C'est le second théorème d'Apollonius.
30&. Réciproques des théorèmes d'Apollonius.
La réciproque du premier théorème n'est pas exacte ; car si Ton ima'gine deux diamètres conjugués OM', OM" et si Ton prend, par rapport à OY, ladiamètre OMJ' symétrique de 0M%
la somme OM + OMi est bien égale à a* 4- 6* et pourtant les diamètres OM', OMJ', ne sont pas conjugués, leurs extrémités étant placées dans le même quadrant d'ellipse.
Mais la réciproque du second théorème est exacte et elle peut s'établir ainsi.
Soient OM', OM'' deux demi-diamètres tels que le triangle
/ï/i M'OM'' ait une surface égale à — ; nous voulons montrer que
ces diamètres sont conjugués.
En effet, soit OM'^ le demi-diamètre conjugué de OM', OM" étant située par rapport à la droite indéfinie M'O, dans la même région que OM". Les deux triangles M'^OM', M'^OM', ayant la même surface^ la droite M'^M'^ est parallèle à OM' ; mais nous savons que la parallèle menée à un diamètre, par Textrémité du diamètre conjugué, est tangente à la conique ; par suite, M"' et M*' se confondent, et OM" est bien le diamètre conjugué de OM'.
90G. Tang^entes conjog^ées. Nous appelons ainsi deux tangentes qui ont des directions conjuguées, ou si Ton préfère, les tangentes dont les points de contact sont deux points conjugués.
Cherchons le lieu des points d'où parient deux tangentes conjugués,
A cet effet, déterminons d'abord les coordonnées du pôle d'une corde AB, dont les extrémités ont pour paramètres, respectivement, f et i\
Les équations des tangentes en ces points A el B, sont :
on en tire :
x^-J^ y t' + t" ('^ a" i^/Y" ^^ b-'tr + i'
Si les points A et B sont conjugués, on a aussi (§ 3o3),
UELLIPSE 419
Le lieu s'obtient en éliminant V et f entre ces trois relations. Celte élimination peut se faire par des méthodes diverses ; la plus rapide consiste à remarquer que Ton a :
:T'f-Ti =
et que la relation (3) donne :
rf^ H- 1 - /" + r — ivi\
On a donc, finalement,
Ainsi :
Théorème. Le lieu des points d'où partent deux tangentes conjuguées à une ellipse, est une ellipse homothétique à la proposée et dont les axes sont égaux à ceux de cette conique^
multipliés par y/a .
Ce Ihéorème se démontre encore très simplement en se serrant des formules de Chasles, ou en utilisant Téquation générale des tangentes à Tellipse^ en fonction du coefficient angulaire.
son. Oiamétres csonjog^ués égaox. Si, dans la relation
m! m" — ;, on suppose m' — — m" ; on a m' = -, et m"
n . Les deux diamètres correspondants sont conjugués ;
de plus^ ils sont égaux puisqu'ils sont symétriques par rapport aux axes et leurs extrémités sont les points de rencontre de Tellipse avec les diagonales du rectangle des axes. En désignant par A la longueur commune de ces demidiamètres conjugués égaux, on a :
L^angle 6 formé par ces diamètres peut se calculer par la formule ;
a'V sin 6 = «6.
Cette égalité correspond au second théorème d*Apollonius et donne :
sm 6 — -j-
L'équation de Tellipse^ rapportée à ses diamètres conjugués égaux, est donc
et, si Ton remarque que les perpendiculaires abaissées d*ttn point de l'ellipse sur ces diamètres ont pour longueur: X sin 6, et Y sin 6, on peut énoncer le théorème suivant :
Théorème. La somme des carrés des distances d'un point quelconque de Vellipse à ses diamètres conjuguas égaux est
a*b* constante, et égale à a —= — r-,.
SUS. Définition des cardes supplémentaires. Deux cordes MC, MC qui passent par les extrémités d'un diamètre ce et qui se coupent sur Tellipse, sont appelées cordes supplémentaires.
Fig. J07.
800. Tiiéoréme I. Deux cordes supplémentaires ont des directions conjuguées.
En effet, soit CC un diamètre de Tellipse, et M un point de la courbe ; les droites MG , MC ont des directions conjuguées. En effet, les diamètres OD,OE, menés par le centre, parallèle-
L'ËLUPSE
ment à ces cordes, passent par leurs milieux, puisque OC=OC'; ainsi MC est la direction conjuguée de OD ; MC et MC ont donc des directions conjuguées.
81 0. Théorème II. ^'i par les extrémités d'un diamètre on mène deux droites parallèles à deux directions conjuguées ^ elles se coupent sur Fellipse et forment deux cordes supplémentaires.
Cette propriété résulte de la précédente et aussi de ce fait qa*à une direction donnée, ne correspond qu'une direction conjuguée.
311 . Théorème III. iSi, par un point de F ellipse, on mène deux cordes ayant deux directions conjuguées, leurs extrémités iont diamétralement opposées.
Le raisonnement nécessaire pour établir ce théorème est le même que celui que nous avons indiqué pour la démonstration de la propriété précédente.
819. l^arlation de l'angle de deax diamètres <H»n- Joi^és. Imaginons deux diamètres conjugués Diy,EE' et proposons-nous d'étudier la variation de l'angle DOE', ou de Tangle supplémentaire DOE. Si par les sommets A, A', nous
Fig. 107 bis,
menons deux droites AM,A'M parallèles aux droites considérées, ces droites se coupent sur l'ellipse (§ 3o) et nous allons étudier la variation de l'angle AMA'.
Soient x',y' les coordonnées de M, et soit posé : MM A' — a, MA'A — a' ; V désignant l'angle supplémentaire de A'MA, on a :
el, par suite,
.(0 igY=:'^"^'^'^
1 — tg a Ig a'
En tenant compte des relations :
la formule (i) devient :
. ,, a—x' a-f-x' tgVn
ir
ou,
tgv^ . ""y ;
si Ton remarque que
on a, enfin,
tg V IZ -r-r-
Cette formule permet d'apprécier la variation de V ; elle prouve que V est un angle toujours compris entre o et-, et qui
va constamment en diminuant quand le point M se déplace sur Tare AB, depuis le point A jusqu'au point B. Le minimum de V a lieu quand y' est maximum, c'esl-à-dire quand y :=^- Dans ce cas, les diamètres conjugués sont égaux ; el Fangle aigu 0, formé par ces deux diamètres, correspond à la formule :
lge= — .
318. Troaverles axes d*ane ellipse, CN»nnalssant deox diamètres eonjusués. — C^nstmetlon de
Chasles.
Nous supposons que Ton connaisse, en grandeur et en position, deux diamètres conjugués OD, OE ; et nous allons déterminer, en grandeur et en position, les axes de Tellipse.
Fig. 108.
La construction que nous allons donner est due à Chasles ; elle repose sur le théorème suivant.
Théorème* Les segments interceptés^ depuis le point de contact, sur une tangente fixe, par deux diamètres conjugués mobiles, ont un produit constant.
En effet le faisceau des diamètres conjugués mobiles a pour équation :
b'* (1) y*H. Xa;y — a;« - o,
en supposant que X soit un paramètre variable et que Téqualion de Tellipse, rapportée aux axes OD, OE, soit représentée par:
Si dans Téquation (1) on fait x — a', on obtient la relation :
y*-hXa'y — 6" = o,
et les racines de cette équation sont les longueurs DP et DQ. On a donc :
DP . DQ = — h'\
Cette relation établit le théorème en question. Revenons maintenant au problème que nous avons en vue. Les théorèmes d'Apollonius donnent :
a" -^ h" ir a* 4- b\ a'ô' sin 0 zz aô.
Ces égalités donnent, par combinaison,
(i) (a + 6yzza'- + 6'*--2a'6'cos(^-ho).
(2) (a — by - a'* H- V' - 2a'ô' cos (7 - o) ;
0 désignant Tangle aigu des deux demi-diamètres OD, OE.Les formules (1) et (2) prouvent: i® que {a-hh) est le troisième côté d'un triangle dont les deux autres côtés a', b' forment un
angle obtus, égal à - + e ; 2» que (a — 6) est le troisième coté d'un triangle dont les deux autres côtés a', 6', font un angle aigu, égal à - — 6 .
Elevons au point D, à la droite PQ, une perpendiculaire sur laquelle nous prenons DH = DK zz 6' ; les droites OK, OH ont donc pour valeur, respectivement, {a -f- 6) et (a — b). Par suite, si du point 0 comme centre, avec OH pour rayon, on décrit le demi-cercle IHL, les droites Kl, KL, représentent les longueurs des axes.
Déterminons maintenant leurs directions.
A cet effet, remarquons que nous avons :
DP . DQ - Dh' =: DÎC* ;
L£LL1PSE 425
le cercle circonscrit au triangle rectangle QOP passe donc par les points H et K, et comme le point P est le milieu de Tare KPH, la droite OA est bissectrice de Tangle KOll.
De ces remarques diverses, nous pouvons déduire la construction cherchée, qui a été donnée par Chasles (*) dans les termes suivants :
Par Vextrémité D d'un des demi-diamètres conjugués donnéSj on mènera une droite perpendiculaire au second demi-diamètre; on portera sur cette droite, à partir du point A, deux segments égaux à ce second demi-diamètre;
On joindra, par deitx droites, les extrémités de ces segments au centre de la courbe ;
On divisera en deux également, par deux nouvelles droites, r angle que ces deicx premières feront entre elles et son supplément ;
Ces deux nouvelles droites seront, en direction, les deux axes principaux de V ellipse ;
La somme des deux premières droites sera égale au grand axe, et leur différence sera égale au petit axe.
814. Construire ane ellipse, point par point, CN»n« naissant deux diamètres eonjug^nés. Soient Pr', QQ' les deux diamètres conjugués proposés et soit ABCD le parallélogramme construit avec ces deux droites. Sur AB comme diamètre^ décrivons le demi-cercle ARB et soit QR le rayon de ce cercle, rayon qui est perpendiculaire sur AB. Joignons BR et menons une corde MN parallèle à BR, puis faisons la construction indiquée par la figure. Nous obtenons ainsi huit points, tels que L ; ces points appartiennent à Tellipse qui a pour diamètres conjugués PP' et QQ^
Pour le démontrer, prenons pour axes de coordonnées les droites ÔP, OQ ; nous avons, en désignant par x' et y' les coordonnées de I,
OH^QL-a;', LlInlSny'.
