Aperçu historique, p. 36j

Posons, maintenant,

OPna', OQ =ib\ RQN=MQB=:a;

Fig. icK),

Le triangle QNK donne :

(i) a;'z:a'sina;

d'autre part, nous avons :

ou,

IS OS QT BP-'ÔP-ÔM-''^^''

(2) y'^ô'cosa.

Les relations (1) et (2) donnent, par combinaison,

et cette égalité prouve que le point L appartient à rellipsc que Ton veut construire.

Celle conslruclion offre ce coté avantageux de donner facilement et, pour ainsi dire, d'un seul coup, huit points de TeBipse.

81&. Remarque. Lorsque Ton connaît deux diamètres conjugués OP, OQ en grandeur et en position, et, par surcroît, le grand axe de la courbe, il est inutîle d'appliquer la construction de Cbasles pour trouver le second axe, ou, pour

déterminer la direction des axes. 11 suffit de décrire, du point commun aux diamètres proposés comme centre, avec un rayon égal au grand axe, une circonférence qui coupe les cotés MP, MQ du parallélogramme OPMQ aux points K et H. Si, en ces points, on élève des perpendiculaires aux droites MP, MQ, on obtient un point F qui, par une propriété connue (§ 242), est le foyer de Tellipse. De cette remarque, on déduit : i"" la direction des axes ; 20 la grandeur du petit axe.

i . Trouver la relation que vérifient constamment les longueurs r, r' de deux cordes supplémentaires aboutissant aux extrémités du grand axe.

On remarquera d'abord que Ton a :

puis on appliquera le théorème relatif au carré de la médiaue eti'on trou- Tera, finalement,

c* (r'' — r*; — Sa'' ^7^' + r") -f 1 6a* {a* + b') zz o.

S. Démontrer que la somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués mobiles, sur un diamètre fixe, est constante,

3. Démontrer les théorèmes d'Apollonius en coupant Vellipte p€U^ un cercle concentrique f de rayon R, et en exprimant que les diamètres qui joignent les points communs à l'ellipse et au cercle sont coïncidents.

On trouve ainsi, pour déterminer R, Téquation :

R* — R* (a" + 6'*) -h a'^b'* sin* 8 = o ;

ies axes [de coordonnée» étant les deux diamètres conjugués. Cette équation prouve les théorèmes d'Apollonius ; cette méthode est attribuée à Galois,

4. Démontrer que le rayon du cercle oscillateur, en un point quelconque M de Vellipse, est une troisième proportionnelle à la distance de ce point au diamètre conjugué de M, et à la moitié de ce diamètre conjugué.

(Cours d'analyse de T Université de Liège par E. Catalam)

5. En désignant par u et v les longueurs des rayons vecteurs qui abou-tissent au point M d'une ellipse, et par a/ la longueur du demi^iamélrt conjugué de celui qui a pour extrémité le point M'i on a :

UV :=. a'*.

L'ELLIPSE (suite)

Dans rétude que nous allons faire, d*après Téquation réduite, des foyers et des directrices de l'ellipse, nous définirons les foyers : des points F, F', situés sur le grand axe à une distance du centre égale à ± c. Les directrices DE, D'E', sont, elles-mêmes, définies comme étant les polaires des foyers ; elles correspondent aux équations :

Ces points et ces droites coïncident d'ailleurs avec ceux et avec celles que nous avons, précédemment, dénommés de cette façon.

Nous allons retrouver, dans les développements qui suivent, quelques-unes des propriétés que nous avons déjà démontrées (Leç. 24) ; nous établirons aussi plusieurs théorèmes nouveaux, et nous les appliquerons à la résolution géométrique de quelques problèmes élémentaires relatifs au tracé des tangentes à Tellipse.

816. Théorème M, La distance d*un foyer F, à un point M, pris sur une ellipse, la courbe étant rapportée à ses axes, est donnée par la formule :

FM r: a — — , a

xf désignant Vabcisse delA.

De L. Tome II. 29