so
Soient x\y' les coordonnées de M, on a : ou^
et
ou, encore,
FM — — i aca/ H- a
Le second membre de cette égalité est le carré parfait de
(cx'\ a j, et l'on peut poser
ex
En effet , x' variant de -h a à — a, — est plus petit que l'unité ; par conséquent, - - est inférieur à c ou, à forliori,
inférieur à a.
Un calcul analogue donne
ex a
aiV. Théorème II. Lorsqu'un point M est mobile sur une ellipse, la somme des distances de ce point aux deux foyers est constante et égale au grand axe.
Cette propriété est la conséquence des formules (i) et {»)» que nous venons d'établir.
Il résulle de cette remarque que si Ton donne les axes de Tellipse et si Ton veut déterminer ses foyers, il suffit de décrire, du point B comme centre (flg. m), avec a pour rayon. Tare de cercle FF'.
318. Théorème III. La directrice qui correspond au foyer F, est la droite qui est perpendiculaire au grand axe en un point D, ce point ayant pour polaire^ dans le cercle principal, une droite passant par F.
Nous appelons Cercle principal celui qui est décrit sur le grand axe de Tellipse, comme diamètre; nous insisterons d'ailleurs, dans la leçon suivante, sur ses propriétés.
La relation
prouve que le pied D de la directrice DE (fig. m), est situé au point de concours, avec Taxe OX, de la tangente en N au cercle principal ; N étant l'extrémité de Tordonnée du point F. La propriété en question se trouve ainsi établie.
319. Théorème IV. Le rapport des distances d'un point mobile sur une ellipse^ au foyer et à la directrice correspondante est constant^ et égal à Vexcentricité de la courbe.
Fig. 113.
On a (§ 3i6;,
/ N iMf ^^ a^ — cxl
(i) FM =1(1 — ,
et, d'autre part,
(a) MP-::HD=: x' — .
Les égalités (i) et (2) donnent :
890. Théorème 1^. Xa podaire cTun foyer est le cercle principal. Soit M un point pris sur Tellipse ; abaissons du foyer F une perpendiculaire FI sur la tangentiî en ce point et cherchons le lieu du point I, quand M parcourt l'ellipse.
.iB
Fig. 11 3.
L'équation de ir est :
(t) y — mxz^dr, ^a*m* -h à* celle de FI :
(2) my + x=: c.
Pour avoir le lieu décrit par le point I, il faut éliminer m entre les équations (t) et (2). En élevant ces équations aa oarré, et en ajoutant les résultats obtenus, on obtient :
y' + x*=za\
On a supprimé le facteur m* -H 1 , auquel, pour des raisons déjà données (p. 3i2, ex. 2), correspond le foyer.
Bftl. Théorème TI. Le produit des distances des foyers F, F' à une tangente quelconque est constant^ et égal à b\
UELLIPSE 433
On a, en effet, (fig. 1 13)
, v^am'4-6" — me
,,, y/aW-hb^-hmc ri zz -Tzzi^^^z ;
ces formules sont obtenues en calculant la distance des points F, F' à la droite 1 V qui est tangente à l'ellipse et qui a pour équation :
yzzmx± ^a*m* -h b\ On a donc :
ou,
FI . F'r =: b\
999. Théorème VII. Les rayons vecteurs qui partent des foyers et qui aboutissent à un même point de Vellipse coupent la courbe sous des angles supplémentaires.
Soit M le point pris sur Tellipse, la tangente en ce point rencontre le grand axe en un point T, et si l'on appelle a?', y' les coordonnées de M, on a :
par suite,
a* a* — coc'
TF = --c^— -— ,
et.
Ces égalités donnent, par combinaison,
TF a* — ex'
TF' ~ a' -f car"
On a, aussi,
et.
TRENTE-DEUXTÈME LEÇON
ex* a — ex
MF ir fl zz .
MF'rra
ex' a* -h ex'
Fig. lin.
On a donc, finalement.
MF
a —ex
MF
a* -^cx
En comparant (i) et (2) on voit que le point T, qui esl extérieur au segment FF', partage cette droite dans le rapport des côtés MF, MF'. La droite MT est donc la bissectrice de l'angle extérieur du triangle FMF' ; ainsi les deux angles FMT, F'MT sont supplémentaires (*).
1 . On peut établir la propriété en question de bien des faqons différestes. Si Ton vent la reconnaître par un procédé purement analytique, en posaot FMT= V, F'.\IT=V', les angles V et V sont bien déterminés et l'on trouve î
on a donc
ou
tgV = -^, et tgV' = .
cy. ^ cy*
tgV = -tg\v, V+V'=rir.
L*ELUPSE
On conclut de cette propriété que la normale MN à Vellipse en un point M, est la bissectrice de t angle formé par les semi-droites qui vont de ce points aux foyers de la courbe,
3598. Théorème "WVOL. Lorsqu'une transversale placée dans le plan d'une ellipse rencontre la courbe aux points M et M', et la directrice au point K ; la droite qui joint K au foyer correspondant est la bissectrice de F angle formé par la droite FM, et le prolongement de MT.
Ce théorème et quelques-unes des propriétés suivantes s^établissent, facilement^ par des considérations géométriques ; nous les considérerons comme des corollaires immédiats des théorèmes que nous venons de démontrer par l'analyse.
Abaissons, sur la directrice considérée, les perpendiculaires : ME, M'E'. Le théorème IV donne :
MF M'F ME " M'E" *no
