KM
MF
iMK
Celle proposition prouve que le point K partage la droite
MM' dans le rapport des côtés FM, FM' ; K, étant d'ailleurs extérieur au segment MM', nous reconnaissons ainsi que FK est la bissectrice de Tangle adjacent à MFM'.
S94L. Théorème IX. Le lieu des symétriques (F un foyer de Vellipse par rapport aux tangentes de cette courbe^ est un cercle ayant pour centre Vautre foyer, et pour rayon le grand axe de Vellipse considérée.
Fig. 116.
Abaissons du point F une perpendiculaire sur la tangente MT, et prolongeons F'M jusqu'à sa rencontre avec cette perpendiculaire. L'égalité des angles TMF, T'MF (§ 32îi) prouve que le point H ainsi obtenu est, précisément, le symétrique du foyer F' par rapport à TT'. Nous avons donc
MFrrMH, et, par suite,
F'H = MF'-f-MF = 2a.
Le lieu du point H est donc un cercle décrit, du foyer F comme centre, avec %a pour rayon. Ce cerde est appelé, quelquefois, cercle directeur de l'ellipse, correspondant au foyer F'.
819&. Théorème X. L'ellipse peiU être considérée comme le lieu géométrique des points également éloignés d'un des foyers F, et du cercle directeur qui correspond au foyer F'.
En effet, soit M un point de la courbe et soit H le symétrique du foyer F, par rapport à la tangente à Tellipse au point M ; nous venons de reconnaître : 1® que les trois points H , M , F étaient en ligne droite ; 2» que le point M était égale-
ment éloigné des points F et H. La distance de M, au cercle directeur, étant égale à MH, nous pouvons donc dire que tout
Fig. 117.
point de Tellipse est également éloigné du foyer F et du cercle directeur qui correspond au second foyer F'.
39B. Théorème XI. La droite qui va du foyer F à un 'point quelconque V^pris dans le plan d'une ellipse, est la bissectrice de r angle formé par les rayons vecteurs qui joignent F aux points de contact des tangentes issues de? à V ellipse.
Soient M et M' les points de contact des tangentes issues de P à l'ellipse considérée ; ayant pris le point symétrique H de F, par rapport à PM ; et le symétrique H' de F' par rapport
à PM' ; nous savons que les points H,M,F', d'une part; H',M',F', d'autre part, sont en ligne droite et que nous avons
F'H = FH' = aa.
Les deux triangles FPH'9 F'PH ont donc Ieai*s trois côtés égaux. Nous pouvons conclure^ de cette remarque, que les angles PF'fl , PH'F sont égaux, et, comme les angles PH'F et M'F'P sont eux-mêmes égaux, pour des raisons de symétrie, nous reconnaissons ainsi Tégalité des angles MTT et PF'M.
BftH. Théorème XII. Les droites qui joignent un foyer F au pâle P de la corde MM' (fîg. n5), et au point qui est commun à cette droite et à la directrice qui correspond à F. sont rectangulaires.
Cette propriété, déjà établie (§ 238), est la conséquence évidente des théorèmes VIII et XI. Elle fournit deux corollaires remarquables qui peuvent s'énoncer ainsi :
1* La portion d'aune tangente à F ellipse, comptée depuis le point de contact jttsqu'au point oii elle rencontre une directrice de la courbe, est vue du foyer correspondant sous im angle droit.
a® Si, d'un point A pris sur une directrice de Fellipse, on mène des tangentes à la courbe, la projection de A, sur la corde des contacts^ est le foyer correspondant à la directrice considérée.
