Théorème XIII (Théorème de PoneeleÉ). Les
tangentes issues d'un point P à une ellipse, et les droites qui joignent ce point atw? foyers, forment deux angles qui admettent la même bissectrice.
En effet, l'égalité des triangles FPH', F'PH (fig. 1 18), prouve que les angles F'PH, FPH', sont égaux. En retranchant à ces angles la partie qui leur est commune, on a
FPH - F'PH',
2FPM z= aF'PM', ou, enfin,
FPMizF'PM'.
399. Théorème XMW. La longueur p du rayon vecteur qui va du foyer F' à un point de r ellipse, et P angle u que fait
celle direclion aoec la direction F'F du grand axe, vérifient constamment la relation :
- — 1 — e cos co.
dans laquelle p désigne le paramètre de r ellipse y et e son excentricité.
Soit x' Tabcisse du point M (fig 112) ; nous avons trouvé plus haut (§ 3i6) la relation :
««f « m ex
D*autre part, le triangle HF'H donne
F'H zzx'-^ czzp cos (â).
On a donc
p — a + - (p cos Cl) — c),
ou,
ap zzb*-i- cp cos Ci).
Cette égalité peut encore s'écrire :
1 = h - cos W,
ap d
et en posant, suivant Tusage,
on a
- zi 1 — ecos Cl).
Cette relation a été établie en supposant que le point M était, placé sur le premier quadrant de Tellipse ; mais on reconnaît, sans difficulté, qu'elle est générale, et qu'elle est vérifiée par les coordonnées polaires de tous les points de Tellipse.
Nous reviendrons d'ailleurs (§ 419), sur cette équatioB polaire ; nous voulons seulement, pour le moment, en déduire deux propriétés sur les foyers, qui compléteront celles que nous avons déjà obtenues.
830. Théorème XW. La somme des inverses des rayom vecteurs qui partent d'un foyer et qui ont des directions opposées y est constante, et égale à -•
On a, en effet,
P — zzi— ccosû),
et.
prrg = »—«cos(o)+TC)
On a donc.
Fig. 119.
ou, enfin,
881. Théorème XWE. La somme des inverses de deux cordes rectangulaires^ passant par le foyer y est constante. Soit ÀB (fig. 119) une corde focale quelconque, on a :
F'A= ^ , et F'B = -— ^^ ;
1 — e cos o) * + ^ ^^s w
par suite,
1 — e*cos'(o
ou,
(i) -^ = 1 — e'cos'd).
AB
Pour avoir la longueur de CD il suffit de changer, dans celle formule, w en - + w ; on obtient alors
(a) — -I— e'sin"w.
Les égalités (i) et (a) donnent
AB"*"(n3^ ap *
Nous pourrions poursuivre cette étude , car il existe (*) un grand nombre de propriétés remarquables sur les cordes focales, propriétés qui se déduisent très simplement de la formule
- =: 1 -»- e cos ù) ;
mais les exemples que nous venons de produire suffisent pour montrer Tusage que Ton peut faire de cette importante relation.
