Voyez les exercices proposés à la fia de cette leçon
f . Démontrer que si par le foyer F dune ellipse on mène un rayon vecteur qui rencontre la courbe en A^ et la directrice correspondante de F, en B ; on a
FA FB ~p
«. Si l'on joint un point M prii sur une ellipse à ses foyers F, F' et « l'on désigne par A, B les extrémités des deux cordes focales, ainsi obtenues, o.'i a
MF MF' FB"^F
S. Soient AB une corde focale mobile et A une droite quelconque du plan de l'ellipse ; démontrer que si des points A et B, on abaisse des perpendiculaires AA', BB ' sur A, on a, constamment^
A A' BB' 2h
AF BF "" p '
h désignant la distance du foyer F d A,
On démontre cette propriété très simplement, par la géométrie, en observant que Ton a ,
h (FA-f- PB) =1 AA' . FB f- BB' . FA,
et,
FÂ"^FB^p* 4. Si Von considère dewc cordes focales , rectangulaires, AB etCDtOna
FA . FB FC . FD " p* *
Cette propriété est la conséquence immédiate des théorèmes XY et XM.
S. On considère une ellipse E et une autre conique E' ayant avec elle: 1» un foyer commun F, a» les mêmes directions principales. Démontrer que si par V on mène deux rayons vecteurs FAA', FBB', on a
FA FB ^.
FA'^FB' •
6. À/ ton mène une corde focale AB et si l'on désigne par ô le demi» diamètre parallèle à AB, on a :
FA . FB — rie
Déduire de M, que si deux diamètres sont rectangulaires y le losange obtenu en joignant les extrémités de ces diamètres est circonscrit à un cercle de rayon constant, quels que soiejit les diamètres rectangulaires considét^s.
7. On considère une ellipse et par les foyers F, F', on mène deux rayons vecteurs mobiles parallèles et dans la même direction \ on Joint les extrémités de ces rayons vecteurs aux foyers ; les dtvites ainsi obtenues, ont un point commun I ; trouver le lieu décrit par I.
Soit posé:
FA = q, F'A' zz q' ;
ou a
ïl - ? FI g
On trouve ainsi :
Fig. ijo.
(r) Ki^^('^«-^')
Une remarque semblable donue :
(2) Vïzz —.
^ ^ q-hq
En obseirant que
on Toii que FI-f-F'l ^^^ unç quantité conslaute, le lieu du point 1 est une ellipse homofocale à la proposée.
8. Démontrer que la somme des rayons vecteurs menés, d*un point pris dans le plan de Vellipse', aux Heux foyers, est plus grande que ja pour un
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point P, extérieur à la courbe; et plus petite que aa pour un point N, pris dans ^intérieur de Vellipse.
En déduire que tous les points d'une tangente à l'ellipse, à Cexception du point de contact sont extérieurs à la courbe.
Soit M le point de rencontre de l'ellipse et de PF/. On a :
