CD = AD — AC
et, par conséquent^
p n: a cos w,
cosw
ou,
, , rfsin'd)
COS (i)
C'est réquation polaire de la cissoïde. Pour obtenir son équation cartésienne, on écrit Téquation (•) sous la ibnne :
p cos w . p* r= dp" sin* w.
ou,
x{.if'hy'):=.dy%
ou, encore,
Cette courbe est comprise toute entière entre la droite A', et Taxe des y\ elle passe par les points P et Q, extrémités du diamètre perpendiculaire à AB, et des considérations, qui seront développées plus tard, permettent de lui donner la forme générale indiquée par la figure. Nous montrerons, seulement, comment on peut construire la tangente en un point de celle courbe.
18* Transversales réciproques. Soit ABC un triangle et soit, dans son plan, une transversale quelconque A'. Prenons le point A", symétrique de A' par rapport au milieu de
COUKBES CÉLÈBKES t9
BG; déterminons de même les points B" etC\ Il résulte du Ihéorème de Ménélaûs et de sa réciproque, que les trois points A'^B'C", ainsi obtenus, sont en ligne droite. Ces deux
Fi«. 8.
droites A' et A", ainsi liées Tune à Taulre, el telles que A" corjrespondant à A', réciproquement, à A" correspond A', seront nommées transversales réciproques.
Ces droites, ainsi associées, se rencontrent dans plusieurs questions et nous allons les utiliser pour construire les tangentes aux courbes remarquables que nous éludions en ce moment.
19» Tann^ente à la cissoide. Considérons deux transversales ACD, AC'D' et'prenons sur ces droites A1 = CD, AI' zr CD'; les deux points I et V, ainsi obtenus, sont deux points de la cissoïde. Les deux droites C'C et l'I sont deux transversales réciproques, dans le triangle ADD'; on peut donc dire que les points M et M' sont symétriques par rapport au milieu de DD'. Si nous supposons maintenant que la trans^ versale AC'D' vienne se confondre avec ACD> la droite II', par définition, a pour position limite la tangente, au point I, à
DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇONS
la cissoîde et, d'autre part, CC devient, à la limile, la tangente au cercle, au point C.
De celle remarque résulte une construction de la tangenlc à la cissoîde; cette construction est indiquée sur la figure ;. Pour obtenir la tangente \\l\ on a pris D[x' iz Dji..
90. Mam, cissoîde oblique. La cissoîde oblique est engendrée de la manière suivante. Soit A un point fixe pris sur un cercle A; par ce point A menons une transversale qui rencontre A au point G et une tangente fixe A', au point D. Si nous prenons, à chaque instant, AI zz CD; le lieu du point I est une strophoïde oblique. Lorsque le point A est diamétralement opposé au point de contact de A et de A', le lieu du point I est la cissoîde droite, que nous avons étudiée tout à l'heure.
Des formules connues, donnent les relations :
AC z:dcos(w-ha), AB zrrfcosa; et,
AD AB __ rfcosa cos a cos (a — w) (cos a — w/
COURBES CÉLÈBRES
SI
Oûdi d'ailleurs,
d ros' 2 AI = p = AD — AC rz — rf ros (a + 0)) ;
cos (a — fo)
Fiff. lo.
et, par conséquent,
prrd
cos' a — cos (a — w) cos (a + w) cos (a — (i))
OU, finalement,
pzrrf
sin iù
cos (a — (I)) *
DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇONS
C'est réquation polaire de la strophoïde oblique. Celle équation transformée dans le système cartésien, devient :
{X* 4- y*) {x cos a 4- y sin a) zz dy\
La discussion de cette équation, discussion dans le détail de laquelle nous ne voulons pas entrer encore, prouve que la courbe a la forme générale indiquée par la figure.
La tangente à cette courbe s'obtient d'ailleuis, si Ton veut, en appliquant le théorème des transversales réciproques el en prenant, comme l'indique la figure, Dix', zz D;/.. Lorsque lo point [A s'éloigne à Tinfini, on obtient la tangente parallèle
5^1 . SÉrophoide droite* Soit A une droite fixe, el o un
point donné ; abaissons de o une perpendiculaire oA:=//,
sur A ; et, sur une transversale quelconque menée par <»,
prenons Bl = BI'— BA ; le lieu du point I, ou du point!',
est une courbe qu'on nomme strophoïde droile.
Fig. 11.
On a, en considérant le point I,
s zz oB 4- AB zz
ou.
COS co
i-f-sinw
COSCi)
+ /' Igw,
COURBES CÉLÈBRES
c*est l'équâtion polaire de la strophoïde. Dans le système cartésien, cette équation transformée, et débarrassée du facteur a-, e?t :
îiA — x*
La discussion de cette valeur de y^ prouve que la courbe a la forme générale que nous avons indiquée sur la figure cidessus.
^9. Seconde généra lion de la strophoïde* C^nstmetion de la tani^ente en nn point. Imaginons un cercle A, et deux diamètres rectangulaires ; si, autour du point 0, on fait tourner une transversale A' et que Ton prenne^ à chaque instant, 01 = CD; le lieu du point I est une strophoïde.
vs
Fi^. u.
En effet la perpendiculaire abaissée du cantre A, sur la transversale A' tombe au milieu de la corde OD, par consé-
24 DEUXIÈME ET TROISIÈME LEÇONS
quen', au milieu de CI, puisque l'on suppose que 01 z= CD. Le triangle lAC étant isocèle, le triangle lEO qui lui est semblable, est aussi isocèle et cette remarque prouve que le lieu du point I est une strophoïde, ayant pour sommet le point A, et pour point double le point 0.
Le théorème des transversales réciproques, appliqué à celte figure, montre que si Ton prend, comme l'indique la figure D(A'=Dii.,la droite |x'l est la tangente à la strophoïde au point L
f^B, !§^trophoiide oblique. Imaginons, dans un cercle A (fig. 14) deux diamètres obliques OAB, PAQ ; par le point O menons une transversale gur laquelle nous prenons 01 = CD : le lieu du point I est une courbe qu'on nomme strophoïde oblique. On remarquera que, dans le cas où les deux diamètres considérés deviennent rectangulaires, celte courbe coïncide avec la strophoïde droite.
Fig. n.
La strophoïde oblique peut être engendrée, comme l'indique la figure (i3), en considérant deux droites obliques A, A' et en prenant, à chaque instant, CI'zzClnCB. Ces deux définitions rentrent Tune dans Tautre. On le reconnaît en observant, comme nous l'avons fait tout à Theure pour la strophoïde droite, que le milieu de CI (fig. 1 4), coïncide avec le milieu de OD. On en déduit que OMI est un triangle isocèle ; les deux définitions donnent donc la même courbe.
Si l'on désigne par qR, le diamètre du cercle A, on a
OD := aUcosti), •*
COURBES CÉLÈBRES
et,
OC
On a, d'ailleurs.
et, par suite,
— iz 2 eos (.)
sina sin (a — m)
